改進(jìn)麻雀搜索算法及其應(yīng)用研究

嚴(yán)浩洲 劉旺盛 蔡振亮 敬添俊

(集美大學(xué) 現(xiàn)代物流研究中心，福建廈門 361021)

隨著人工智能及工業(yè)技術(shù)的發(fā)展，對(duì)算法性能的要求越來越嚴(yán)格，傳統(tǒng)的優(yōu)化算法越來越難以滿足其發(fā)展的需求。同時(shí)，群智能優(yōu)化算法因結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、求解效率高等優(yōu)點(diǎn)，受到了學(xué)者的青睞，越來越多的群智能優(yōu)化算法被提出。群智能算法是通過模擬自然界中的一些事物或生物的生命特征與行為規(guī)則，搜索分布在一定范圍內(nèi)解空間的最優(yōu)解。學(xué)者們通過螞蟻、鯨魚、狼、飛蛾、麻雀等各種智能生物的群集行為，提出了許多的群智能優(yōu)化算法，包括蟻群算法(Ant Colony Optimization, ACO)、粒子群算法(Particle Swarm Algorithm, PSO)、灰狼優(yōu)化算法(Grey Wolf Optimization, GWO)、鯨魚優(yōu)化算法(Whale Optimization Algorithm, WOA)、麻雀搜索算法(Sparrow Search Algorithm, SSA)等[1-6]。其中，薛建凱等[7]于2020年提出的麻雀搜索算法是一種新型的群智能優(yōu)化算法。

SSA相較于其它群智能優(yōu)化算法具有易操作、魯棒性強(qiáng)、應(yīng)用范圍廣的優(yōu)點(diǎn)，受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注。但SSA同其它群智能優(yōu)化算法一樣，具有收斂過早和迭代后期易陷入局部最優(yōu)等問題。因此為進(jìn)一步提高SSA的優(yōu)化能力，研究者們進(jìn)行了一系列的研究和改進(jìn)。大多改進(jìn)方法集中在利用帳篷映射、混沌映射、反向?qū)W習(xí)、Levy飛行策略、Tent混沌序列以及柯西變異[8-19 ]等方面。如Ouyang C等利用透鏡反向?qū)W習(xí)策略、隨機(jī)逆向?qū)W習(xí)策略、正余弦搜索和可變螺旋搜索策略等方法先后提出了學(xué)習(xí)型麻雀算法和自適應(yīng)螺旋麻雀搜索算法[8-9]；Yuan J和Zhao Z等先后將粒子群算法和SSA結(jié)合以解決求解精度低的問題，并利用重心反向?qū)W習(xí)和變異算子提高了跳躍出局部極值的能力[12]；毛清華和張強(qiáng)針對(duì)基本麻雀搜索算法在迭代后期種群多樣性減小，容易陷入局部極值的問題，提出了一種融合柯西變異和反向?qū)W習(xí)的改進(jìn)麻雀算法[16]。

以上改進(jìn)算法在一定程度上提高了全局搜索能力，避免了過早收斂，但仍存在不足，主要體現(xiàn)兩個(gè)方面：1)在上述相關(guān)改進(jìn)策略中，缺少對(duì)動(dòng)態(tài)參數(shù)的調(diào)整，容易限制算法的可搜索性；2)目前的各種改進(jìn)方法主要集中在利用各種改進(jìn)理論對(duì)麻雀位置進(jìn)行調(diào)整，忽略了SSA本身的機(jī)理參數(shù)設(shè)置上的缺陷(麻雀跳躍方式和發(fā)現(xiàn)者與跟隨者的位置變化)。針對(duì)此類問題，本文提出一種改進(jìn)的麻雀搜索算法(ISSA)：首先針對(duì)發(fā)現(xiàn)者位置進(jìn)行調(diào)整，改變最優(yōu)位置的跳躍方式，在跟隨者處采用非線性的正余弦搜索進(jìn)行改進(jìn)；其次，為解決算法在迭代后期易陷入局部最優(yōu)的問題，對(duì)發(fā)現(xiàn)者和跟隨者位置進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，為避免算法易受隨機(jī)性干擾，利用反向?qū)W習(xí)對(duì)種群進(jìn)行初始化；最后，為解決算法過早收斂的問題，利用柯西—高斯變異選擇適應(yīng)度最好的個(gè)體進(jìn)行變異。筆者用12個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到簡(jiǎn)單的車輛路徑問題中，驗(yàn)證了此算法的可行性和有效性。

1 麻雀搜索算法

1.1 基本原理

麻雀搜索算法(Sparrow Search Algorithm，SSA)數(shù)學(xué)模型中的主要規(guī)則如下。

1)發(fā)現(xiàn)者負(fù)責(zé)搜索食物位置，為跟隨者的飛行提供方向。模型中發(fā)現(xiàn)者通過對(duì)某一位置的適應(yīng)度值進(jìn)行分析，判斷位置的好壞。

2)當(dāng)群體中的麻雀發(fā)現(xiàn)捕食者后，個(gè)體發(fā)出警告信號(hào)，如果警告值大于安全值時(shí)，發(fā)現(xiàn)者會(huì)進(jìn)行飛行，尋找其他位置進(jìn)行覓食。

3)發(fā)現(xiàn)者和跟隨者的身份可以相互轉(zhuǎn)換，每只麻雀都可以成為發(fā)現(xiàn)者，但是發(fā)現(xiàn)者和跟隨者的比例是一定的。

4)跟隨者的能量越低，覓食位置越差。此時(shí)，食物不充足的跟隨者會(huì)飛行到其他位置，向食物多的位置移動(dòng)。

5)跟隨者總能尋找到發(fā)現(xiàn)者的位置，能夠在發(fā)現(xiàn)者或者跟隨者附近覓食。同時(shí)，跟隨者為獲得更好的覓食位置會(huì)不斷監(jiān)控發(fā)現(xiàn)者的位置，再跟隨發(fā)現(xiàn)者移動(dòng)。

6)當(dāng)麻雀意識(shí)到危險(xiǎn)時(shí)，位于邊緣位置的麻雀會(huì)向安全區(qū)靠近，位于種群中間的麻雀則會(huì)隨機(jī)向其他麻雀的位置移動(dòng)。

麻雀算法中，n只麻雀組成的種群可表示為：

(1)

其中，d為待求解問題的維數(shù)，n表示麻雀的數(shù)量，每只麻雀所在位置的食物量即待求解問題的適應(yīng)度值，適應(yīng)度值可用下式表示：

(2)

其中，f表示適應(yīng)度值。算法中，正在覓食的麻雀能感受到捕食者的臨近，它們通過鳴叫信號(hào)發(fā)出警報(bào)。當(dāng)警報(bào)值大于保護(hù)閾值時(shí)，麻雀將會(huì)飛離原位置；當(dāng)警報(bào)值小于保護(hù)閾值時(shí)，則在原位置附近進(jìn)行廣泛覓食。

由于發(fā)現(xiàn)者負(fù)責(zé)尋找食物，為了擴(kuò)大食物的搜索范圍，其位置經(jīng)常發(fā)生變化，發(fā)現(xiàn)者位置變化方式如下：

(3)

跟隨者的位置變化方式如下所示：

(4)

種群覓食時(shí)，會(huì)隨機(jī)選取部分麻雀負(fù)責(zé)警戒，當(dāng)天敵靠近時(shí)，無論是發(fā)現(xiàn)者還是跟隨者，均會(huì)放棄當(dāng)前的食物飛到其他位置。每次從種群中隨機(jī)選取若干只麻雀進(jìn)行預(yù)警行為(一般取麻雀總數(shù)的10% ～ 20%)，位置更新方式為：

(5)

式(5)中，Xbest表示全局最佳位置；β為步長(zhǎng)調(diào)整系數(shù)，是一個(gè)均值為 0，方差為 1 的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)；K∈[-1,1]范圍內(nèi)的一個(gè)均勻隨機(jī)數(shù)。這里，fi是當(dāng)前麻雀的適應(yīng)度值；fg和fw分別為目前全局最優(yōu)和最差適應(yīng)度值；ε為最小常數(shù)，防止出現(xiàn)分母為0的情況。當(dāng)fi>fg時(shí)，表示麻雀處于種群的邊緣地帶，易被天敵襲擊；fi=fg表明在種群中心的麻雀察覺到了被天敵襲擊的危險(xiǎn)，需要向其它麻雀靠攏。K表示麻雀運(yùn)動(dòng)的方向，即步長(zhǎng)調(diào)整系數(shù)。

1.2 算法流程

算法具體流程如下：

步驟1：初始化麻雀種群，定義相關(guān)參數(shù)，確定最大迭代次數(shù)；

步驟2：根據(jù)麻雀的適應(yīng)度將麻雀劃分為發(fā)現(xiàn)者和跟隨者，確定初始適應(yīng)度值；

步驟3：更新發(fā)現(xiàn)者位置；

步驟4：更新跟隨者位置；

步驟5：隨機(jī)選擇麻雀進(jìn)行預(yù)警行為；

步驟6：更新適應(yīng)度值，若當(dāng)前迭代次數(shù)大于最大值，則結(jié)束，否則重新執(zhí)行步驟3。

2 改進(jìn)麻雀搜索算法

對(duì)基本麻雀算法提出如下幾點(diǎn)改進(jìn)，以下稱改進(jìn)的麻雀算法為ISSA(Improved Sparrow Search Algorithm)。

2.1 發(fā)現(xiàn)者位置調(diào)整

表1 F1測(cè)試函數(shù)

設(shè)置最大迭代次數(shù)為100，種群數(shù)量為100，發(fā)現(xiàn)者數(shù)量為20，跟隨者數(shù)量為80，統(tǒng)計(jì)種群適應(yīng)度值最低的50只麻雀(i>n/2)的坐標(biāo)值變化與函數(shù)圖像如圖1。

圖1顯示，從算法迭代開始，發(fā)現(xiàn)者麻雀出現(xiàn)在零點(diǎn)附近聚集的現(xiàn)象。該聚集現(xiàn)象，雖然對(duì)最優(yōu)解在零點(diǎn)附近的優(yōu)化問題可以提高問題的求解速度；但對(duì)最優(yōu)解不在零點(diǎn)附近的優(yōu)化問題，該現(xiàn)象會(huì)降低種群的多樣性。因此，去除麻雀向原點(diǎn)附近移動(dòng)的操作，并將向最優(yōu)位置的跳躍操作改為向最優(yōu)位置的移動(dòng)。公式如下：

(6)

圖1 發(fā)現(xiàn)者坐標(biāo)值變化與函數(shù)圖像

2.2 基于正余弦搜索的跟隨者位置調(diào)整

在SSA的跟隨者位置更新公式中，跟隨者的位置會(huì)隨適應(yīng)度值的大小而變化，但公式中動(dòng)態(tài)參數(shù)較少，易限制麻雀種群的搜索范圍，限制算法的可搜索性。為了解決此類問題，在跟隨者階段采用正余弦搜索策略，利用正余弦特性動(dòng)態(tài)更新麻雀?jìng)€(gè)體位置，擴(kuò)大搜索范圍。具體調(diào)整公式如下：

(7)

其中，r1是決定個(gè)體搜索范圍的關(guān)鍵參數(shù)，隨著迭代次數(shù)的增加，r1值逐漸減少，麻雀的搜索范圍也相應(yīng)減?。籥為常數(shù)；r2是[0,2π]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，決定了個(gè)體的運(yùn)動(dòng)距離；r3和r4分別為[0,2]和[0,1]中的隨機(jī)數(shù)。針對(duì)r1，常用的方法是采用線性的方式進(jìn)行搜索[8-9]，但該種方法在面對(duì)高緯的復(fù)雜函數(shù)時(shí)容易陷于局部最優(yōu)。因此本文采用非線性方式來設(shè)置r1，如式(8)。

(8)

式(8)中，b為固定值0.1，c為調(diào)節(jié)因子，通過多次調(diào)試發(fā)現(xiàn)c為0.9時(shí)效果最佳。引入正余弦策略以降低麻雀搜索盲目性，加速種群中處于最佳和最差位置的個(gè)體之間的信息交流，使追隨者的搜索更具有目的性。

2.3 發(fā)現(xiàn)者和跟隨者位置進(jìn)行動(dòng)態(tài)性調(diào)整

麻雀算法同其它基于概率的群智能搜索算法類似，在算法迭代后期易陷入局部最優(yōu)解。針對(duì)此問題，對(duì)發(fā)現(xiàn)者和跟隨者位置進(jìn)行動(dòng)態(tài)性調(diào)整，具體策略如下：

(9)

JD是跟隨者在麻雀種群中的數(shù)量比重；itermax是算法的最大迭代次數(shù)；i是當(dāng)前的迭代次數(shù)；Fbest是當(dāng)前全局最優(yōu)適應(yīng)度值；若i>(itermax/2)，算法開始動(dòng)態(tài)調(diào)整發(fā)現(xiàn)者與跟隨者的比例。此時(shí)，若第i-1次迭代的最優(yōu)適應(yīng)度值f(i-1)與第i-30次迭代的最優(yōu)適應(yīng)度值f(i-30)的差的絕對(duì)值小于Fbest/10，表示最優(yōu)值多次未更新，需增加跟隨者群體的比重(令JD=0.6)以增加全局搜索概率，否則維持跟隨者種群比重(0.4)不變。

2.3 反向?qū)W習(xí)初始化種群

群智能算法的精度、收斂性和求解出的結(jié)果與初始種群的好壞有關(guān)。若麻雀種群數(shù)量較少，在初始化種群階段易受隨機(jī)性的干擾，發(fā)生聚集現(xiàn)象，導(dǎo)致后期尋優(yōu)精度不足且易陷入局部最優(yōu)。因此，令算法生成初始種群后，再經(jīng)反向?qū)W習(xí)產(chǎn)生一個(gè)新種群，選取適應(yīng)度排名前n個(gè)的解，隨機(jī)組成新的麻雀種群。

一維空間的反解可以定義為：

(10)

類似地，D維空間中的反向解定義為

(11)

利用動(dòng)態(tài)邊界來代替搜索空間的固定邊界，能積累搜索經(jīng)驗(yàn)，使生成的反向解位于逐步縮小的搜索空間，加速算法收斂。當(dāng)生成的反向解，位于邊界之外時(shí)，用隨機(jī)生成的方法進(jìn)行重置。

2.4 柯西-高斯變異

SSA迭代后期，麻雀逐漸向最優(yōu)個(gè)體靠近，導(dǎo)致算法缺乏種群多樣性，有過早收斂的趨勢(shì)。為解決該問題，引入了Cauchy-Gaussian變異策略，選擇當(dāng)前適應(yīng)度最好的個(gè)體進(jìn)行突變，再比較突變前后的位置，選擇較優(yōu)的位置進(jìn)入下一次迭代?？挛?高斯變異策略的數(shù)學(xué)定義如下：

(12)

(13)

2.5 算法流程

改進(jìn)的麻雀算法實(shí)現(xiàn)步驟如下：

步驟1：初始化算法參數(shù)；

步驟2：利用反向?qū)W習(xí)初始化麻雀種群(發(fā)現(xiàn)者、跟隨者)；

步驟3：求每只麻雀的適應(yīng)度值；

步驟4：根據(jù)全局適應(yīng)度值變化情況，調(diào)整發(fā)現(xiàn)者與跟隨者比例；

步驟5：更新發(fā)現(xiàn)者、跟隨者以及感知到危險(xiǎn)的麻雀的位置；

步驟6：按照適應(yīng)度值大小調(diào)整每只麻雀的順序；

步驟7：選取適應(yīng)度值最優(yōu)的麻雀進(jìn)行柯西-高斯變異；

步驟8：重復(fù)步驟3～4，直到迭代次數(shù)大于目標(biāo)值。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為測(cè)試改進(jìn)麻雀搜索算法的收斂精度、穩(wěn)定性和收斂速度，利用12種測(cè)試函數(shù)，并與鯨魚優(yōu)化算法(GWO)、灰狼優(yōu)化算法(WOA)、遺傳算法(GA)、粒子群算法(PSO)、原始麻雀搜索算法(SSA)進(jìn)行比較。

3.1 測(cè)試函數(shù)選取

分別采用6種單峰函數(shù)和6種多峰函數(shù)，對(duì)改進(jìn)麻雀搜索算法的收斂精度、穩(wěn)定性和收斂速度進(jìn)行檢驗(yàn)。F1～F6的單峰函數(shù)搜索范圍分別為[-100,100]、[-10,10]、[-100,100]、[-100,100]、[-30,30]和[-100,100]，F(xiàn)7～F12的多峰測(cè)試函數(shù)中搜索范圍分別為[-1.28,1.28]、[-500,500]、[-5.12,5.12]、[-32、32]、[-600,600]和[-50,50]，維度均為30，測(cè)試函數(shù)如表2。

表2 測(cè)試函數(shù)

3.2 算法對(duì)比分析

上述算法在函數(shù)測(cè)試時(shí)，統(tǒng)一使用相同的參數(shù)設(shè)置：算法的迭代測(cè)試均為1 000次，種群數(shù)為100；GWO和WOA中的和都為(0，1)中的隨機(jī)數(shù)，α值由0到2線性下降；GA中交叉概率設(shè)為0.8，變異概率0.01；PSO中c1和c2均為1.494 45，w為0.8；麻雀搜索算法(SSA)和改進(jìn)麻雀搜索算法(ISSA)中發(fā)現(xiàn)者數(shù)量占總麻雀數(shù)量的20%，意識(shí)到危險(xiǎn)進(jìn)行預(yù)警行為的麻雀數(shù)量占總麻雀數(shù)量的10%，安全閥值為0.8；各個(gè)算法獨(dú)立運(yùn)行1 000次，取最優(yōu)值、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、平均運(yùn)行時(shí)間。實(shí)驗(yàn)環(huán)境為2.50 GHz的英特爾i5處理器、12 GB內(nèi)存、Matlab2020a。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3～表5。

表3 算法測(cè)試對(duì)比(SSA、WOA)

表4 算法測(cè)試對(duì)比(GA、GWO)

表5 算法測(cè)試對(duì)比(ISSA、PSO)

由表3～表5可知，在收斂精度方面，ISSA在F1、F2、F3、F4、F9以及F11中均能尋到最優(yōu)值，F(xiàn)5、F6、F7、F8、F10、F12測(cè)試函數(shù)中雖未尋到最優(yōu)值，但在精度上均明顯優(yōu)于其它優(yōu)化算法，如F6函數(shù)中最優(yōu)解的精度相比SSA提高了16個(gè)數(shù)量級(jí)；在穩(wěn)定性方面，由表3～表5中的標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù)可以看出，ISSA的穩(wěn)定性在測(cè)試函數(shù)中表現(xiàn)最好，其中在F1～F4中標(biāo)準(zhǔn)差為0，如測(cè)試函數(shù)F5中，穩(wěn)定性排序?yàn)镮SSA>SSA>WOA>WGO>GA>PSO。

對(duì)算法的收斂速度的分析，例舉了F1～F2函數(shù)的迭代圖像，如圖2。從圖2中可以看出ISSA相比與其它五種算法其收斂速度更快，如F1函數(shù)中，SSA需迭代約100次尋到最優(yōu)解，而ISSA在50次左右既尋求了到最優(yōu)解。

圖2 F1～F2函數(shù)測(cè)試結(jié)果圖

綜上，ISSA算法在收斂精度、穩(wěn)定性以及收斂速度方面相比于其它五種算法更具優(yōu)勢(shì)，且有良好的尋優(yōu)能力。

4 ISSA算法在車輛路徑問題的應(yīng)用

為驗(yàn)證改進(jìn)麻雀搜索算法在車輛路徑問題中的應(yīng)用與測(cè)試函數(shù)中的優(yōu)化是否表現(xiàn)一致，選擇Solomon算例對(duì)改進(jìn)算法進(jìn)行驗(yàn)證。同樣地，為保證實(shí)驗(yàn)的嚴(yán)謹(jǐn)性，在實(shí)驗(yàn)中分別同鯨魚優(yōu)化算法(WOA)、灰狼優(yōu)化算法(GWO)、遺傳算法(GA)、粒子群算法(PSO)、原始麻雀搜索算法(SSA)進(jìn)行比較。此類車輛路徑問題為帶容量限制和時(shí)間窗的車輛路徑問題，數(shù)據(jù)中的節(jié)點(diǎn)數(shù)為30，車輛容量限制為200，車輛從節(jié)點(diǎn)0出發(fā)配送完成后返回節(jié)點(diǎn)0，目標(biāo)是為尋找配送距離最小的路徑[19]。

為保證實(shí)驗(yàn)不失一般性，選擇Solomon算例中三種算例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，分別為R、C和RC系列數(shù)據(jù)。這三種數(shù)據(jù)集的客戶節(jié)點(diǎn)的分布方式不一樣，R系列數(shù)據(jù)中客戶節(jié)點(diǎn)的位置分布較為分散，沒有聚集性，而C系列數(shù)據(jù)中的客戶節(jié)點(diǎn)有聚集性，RC系列既包括分散的節(jié)點(diǎn)又包括一部分聚集的節(jié)點(diǎn)。每種類型的數(shù)據(jù)各選取2組進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，一共6組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)獨(dú)立運(yùn)行100次取平均值，分別為R101、R102，C101、C102，RC101、RC102。算法中參數(shù)設(shè)置與上一節(jié)一致。

表6為R101的部分?jǐn)?shù)據(jù)，其他數(shù)據(jù)見附錄。

表6 R101數(shù)據(jù)集

R系列、C系列以及RC系列數(shù)據(jù)集實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下表7所示。

表7 R系列、C系列、RC系列數(shù)據(jù)集車輛路徑問題實(shí)驗(yàn)結(jié)果

六種算法在車輛路徑問題實(shí)驗(yàn)收斂曲線比較(選取了C101、R101、RC101)，如圖3。

圖3 六種算法在車輛路徑問題實(shí)驗(yàn)收斂曲線比較

從表7和圖3可以看出，ISSA能有效求解車輛路徑問題。從收斂精度方面，在三種數(shù)據(jù)集中，ISSA的收斂精度均為最高，收斂精度比其他五種算法高10%以上，WOA、GWO、SSA算法與ISSA收斂精度較接近，收斂精度最差的是PSO、GA算法。在穩(wěn)定性方面，ISSA優(yōu)于SSA、WOA和GWO，略低于PSO。由于GA算法一直未收斂，因此其標(biāo)準(zhǔn)差是六種算法中最小的。在收斂速度方面，R、C、RC三種系列數(shù)據(jù)集中，ISSA總是能快速收斂尋找到車輛路徑問題的最優(yōu)解，通常迭代300次左右就能尋找到最優(yōu)解，與其他五種算法相比具有著較大優(yōu)勢(shì)。由此驗(yàn)證了ISSA應(yīng)用到實(shí)際工程問題的可行性，為進(jìn)一步的研究奠定了基礎(chǔ)。

5 結(jié)論

通過12種基準(zhǔn)函數(shù)的測(cè)試，關(guān)于ISSA可以得到以下結(jié)論：

1)ISSA尋優(yōu)性能提升明顯，如ISSA在12個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的尋優(yōu)結(jié)果均優(yōu)于其他種算法，且相比對(duì)部分函數(shù)的最優(yōu)解的精度提高了16個(gè)數(shù)量級(jí)以上；

2)ISSA的隨機(jī)性和搜索性較高，具有優(yōu)良的開拓能力。筆者改變發(fā)現(xiàn)者的跳躍方式，引入非線性的正余弦搜索，并動(dòng)態(tài)的調(diào)整發(fā)現(xiàn)者和跟隨者的比例，采用反向?qū)W習(xí)的種群化初始策略，這樣可以豐富種群多樣性，避免了ISSA陷入局部最優(yōu)，增強(qiáng)了算法的全局搜索能力；

3)ISSA具有良好的穩(wěn)定性。ISSA在12個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上多次尋優(yōu)的標(biāo)準(zhǔn)差普遍低于其他5種算法的標(biāo)準(zhǔn)差，尋優(yōu)結(jié)果較為穩(wěn)定；

4)ISSA收斂速度快，搜索能力強(qiáng)。從ISSA的收斂曲線可以直觀看出其收斂速度明顯優(yōu)于其他5種算法。

從ISSA應(yīng)用于車輛路徑問題的對(duì)比實(shí)驗(yàn)可知，ISSA總是能快速收斂尋找到車輛路徑問題的最優(yōu)解，在收斂精度和收斂速度方面都明顯較優(yōu)于其它五種算法，在穩(wěn)定性方面明顯略低于PSO。

筆者利用Solomon算例驗(yàn)證了ISSA在車輛路徑問題中的有效性和可行性，但關(guān)于ISSA的研究尚處于初始階段，后續(xù)考慮將ISSA應(yīng)用到更復(fù)雜的車輛路徑規(guī)劃的實(shí)際工程問題中，如多配送中心車輛路徑問題、多車型車輛路徑問題、隨機(jī)車輛路徑問題、模糊車輛路徑問題等，再結(jié)合具體問題進(jìn)一步優(yōu)化算法性能，以檢驗(yàn)ISSA在車輛路徑的實(shí)際工程問題中的有效性。