特殊擬算術(shù)型平均與算術(shù)、調(diào)和平均的最佳不等式

徐仁旭 徐會作 錢偉茂

(1. 浙江建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 教務(wù)處，浙江杭州 311231；2.溫州理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江溫州 325000；3.湖州廣播電視大學(xué) 遠程教育學(xué)院，浙江湖州 313000)

對于r∈(0,1), 第一類和第二類完全橢圓積分κ(r)和ε(r)[1-2]分別表示為

設(shè)a,b,c∈R和c≠0,-1,-2,…,高斯超幾何函數(shù)定義為

眾所周知,第一類完全橢圓積分κ(r)和第二類完全橢圓積分ε(r)是高斯超幾何函數(shù)F(a,b;c;x)的特殊情形[4-5]。實際上有

高斯超幾何函數(shù)尤其是兩類完全橢圓積分在數(shù)學(xué)理論和工程實踐中有諸多重要應(yīng)用。近年來，相關(guān)的學(xué)術(shù)研究成果不斷涌現(xiàn)，在各類設(shè)定情形下，國內(nèi)外學(xué)者得出一些完全橢圓積分和高斯超幾何函數(shù)的重要性質(zhì)和不等式(參見文獻[6-25])。

Toader在文獻[6]介紹了一個經(jīng)典擬算術(shù)平均Mp,n(a,b)并且定義如下:

其中p是一個嚴格單調(diào)函數(shù),以及

(1)

兩個正數(shù)a和b的算術(shù)平均、調(diào)和平均和p階冪平均分別定義為

(2)

則有不等式

H(a,b)=M-1(a,b)

對所有a,b>0且a≠b成立, 并且雙向不等式(參見文獻[20],定理19.9.4])

對所有r∈(0,1)成立。

設(shè)

錢偉茂和褚玉明(參見文獻[13],推論3.2)得到了雙向不等式

H(a,b;λ)

根據(jù)二元平均值的定義，顯然有

(3)

從不等式(2), 我們淸楚地看到

(4)

對所有a,b>0且a≠b成立。

根據(jù)不等式(3)和(4), 我們發(fā)現(xiàn)了最佳參數(shù)α1,α2,β1,β2∈[0,1]和α3,β3∈[0,1/2]使得雙向不等式

α1A(a,b)+(1-α1)H(a,b)<

β1A(a,b)+(1-β1)H(a,b),

對所有a,b>0且a≠b成立。

1 主要結(jié)果

為了證明我們的主要結(jié)論，首先需要如下引理。

引理2(參見文獻 [3], 定理3.21以及練習(xí)3.43)

證明設(shè)

(5)

簡單計算可得

(6)

(7)

從等式(8)和引理2(4)可知

(8)

對所有r∈(0,1)成立。

所以, 引理3容易從等式(6)和(8)得到。

定理1雙向不等式

α1A(a,b)+(1-α1)H(a,b)<

β1A(a,b)+(1-β1)H(a,b)，

對所有a,b>0且a≠b成立當且僅當α1≤4/π2=0.405 2…和β1≥1/2。

證明根據(jù)A(a,b),H(a,b)和E(a,b)是對稱的且齊次系數(shù)為1,不失一般性, 我們假設(shè)a>b>0和r=(a-b)/(a+b)∈(0,1)，則從等式(1)和(2)得到

H(a,b)=A(a,b)r′2，

(9)

根據(jù)等式(9)可知

(10)

設(shè)f1(r)=4ε2(r)/π2-r′2,f2(r)=r2和

(11)

簡單計算可得

f1(0+)=f2(0)=0,

(12)

(13)

(14)

所以,定理 1容易從等式(10), (14)和f(r)的單調(diào)性得到。

定理2雙向不等式

對所有a,b>0且a≠b成立當且僅當α2≤16/π4=0.164 2…和β2≥1/2。

證明不失一般性, 我們假設(shè)a>b>0和r=(a-b)/(a+b)∈(0,1)，則從等式(9)得到

(15)

設(shè)g1(r)=16ε4(r)/π4-r′4,g2(r)=1-r′4和

(16)

簡單計算可得

g1(0+)=g2(0)=0,

(17)

(18)

(19)

所以,定理2容易從等式(15), (19)和g(r)的單調(diào)性得到。

定理3雙向不等式

證明不失一般性, 我們假設(shè)a>b>0,r=(a-b)/(a+b)∈(0,1)和p∈[0,1/2]，則從等式(1)和(2)得到

(20)

設(shè)

(21)

簡單計算可得

h(0+)=0,

(22)

(23)

h′(r)=2rh1(r),

(24)

其中

(25)

從引理3和等式(20)得到

(26)

h1(1-)=+∞.

(27)

下面分四種情形證明：

h1(0+)=0.

(28)

從引理3,等式(25)和(28)我們清楚地看到

h1(r)>0,

(29)

對所有r∈(0,1)成立。

所以, 從等式(20)，(21)，(22), (24)和不等式(29)容易得

h(1-)=0,

(30)

(31)

從引理3,(24), (25), (27)和(31)我們知道存在一個實數(shù)r0∈(0,1)使得h(r)在區(qū)間(0,r0)內(nèi)是嚴格單調(diào)遞減和在區(qū)間(r0,1)內(nèi)是嚴格單調(diào)遞增。

所以, 從等式(20)，(21)，(22), (30)協(xié)同h(r)的單調(diào)性可得

h1(0+)<0.

(32)

由等式(20)，(21)，(22)，(23)，(24)協(xié)同不等式(32)，可知至少有一個充分小實數(shù)δ0∈(0,1)使得不等式

對所有a>b>0且(a-b)/(a+b)∈(0,δ0)成立。

h(1-)>0.

(33)

等式(20), (21)和不等式(33) 意味著存在一個充分小實數(shù)δ1∈(0,1)使得不等式

對所有a>b>0且(a-b)/(a+b)∈(1-δ1,1)成立。

根據(jù)定理1～3,我們得到如下三個關(guān)于第二類完全橢圓積分ε(r)的不等式。

成立當且僅當α1≤4/π2=0.405 2…和β1≥1/2。

成立當且僅當α2≤16/π4=0.164 2…和β2≥1/2。

推論3對于r∈(0,1),不等式