尋根問道追本溯“圓”

文／康葉紅

戰(zhàn)國時期數(shù)學(xué)家墨子撰寫的《墨經(jīng)》一書中記載：“圓，一中同長也。”意思是：圓，只有一個圓心，由圓心到圓上各點的長都相等。這一句話也道出了圓的本質(zhì)屬性，圓的構(gòu)成要素是圓心和半徑。圓是平面幾何中基本的圖形之一，它不僅在幾何中有重要地位，而且是進一步學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識的重要基礎(chǔ)。

一、會用數(shù)學(xué)的眼光去觀察“圓”

圓是一種美麗的圖形，具有獨特的對稱性，無論從哪個角度看，它都具有同一形狀。它既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，它的任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。垂徑定理，弦、弧、圓周角、圓心角關(guān)系定理，切線長定理都是圓的對稱性的具體表現(xiàn)，可以通過圓的對稱性來研究這些內(nèi)容。

圓是研究曲線形圖形的開端。作為一種特殊的曲線形圖形，與“直線形”圖形相比，我們還需要用動態(tài)的眼光去研究圓。例如，在平面內(nèi)一條線段繞它固定的一個端點旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點所形成的圖形叫作圓。這是從運動的角度出發(fā)，對圓的形成過程作出了說明。此外，在研究垂徑定理以及弦、弧、圓周角、圓心角關(guān)系中，大量地運用了運動變化思想。因此，我們要多觀察、多操作，根據(jù)圓的對稱性來推理論證，用運動的眼光探究圖形在運動變化中的特點和規(guī)律，感悟圓的魅力。

二、會用數(shù)學(xué)的思維去思考“圓”

圓是初中平面幾何中較為復(fù)雜的幾何圖形之一，其中包含了圓自身眾多構(gòu)成要素（圓心、半徑）和相關(guān)要素（圓心角、圓周角、弧、弦）之間的關(guān)系，其研究方法和以前研究圖形的方法有著相似之處，因此，我們可以借鑒前面研究幾何圖形的經(jīng)驗來類比學(xué)習(xí)圓。例如，圓的對稱性所產(chǎn)生的性質(zhì)，可以參照等腰三角形的軸對稱性和平行四邊形的中心對稱性來類比研究；圓與其他圖形的位置關(guān)系，可以參照圖形與圖形之間的位置關(guān)系來類比研究；弧長公式和扇形面積公式的推導(dǎo)，可以參照圓來類比研究，感悟圖形的整體與部分之間的聯(lián)系……我們在學(xué)習(xí)幾何圖形的過程中，也應(yīng)體會學(xué)習(xí)的方法，感悟圖形研究的途徑。

與圓的位置關(guān)系包括點與圓、直線與圓的位置關(guān)系，其研究對象、研究方法、研究內(nèi)容都有很強的可類比性。從研究對象上來看，它們研究的都是兩個圖形間的位置關(guān)系；從研究方法上來看，都是將兩個圖形之間的關(guān)系進行分析，從“數(shù)”“形”兩個方面進行分析比較；從研究內(nèi)容上來看，都是研究“數(shù)的刻畫”特性（兩個圖形間的距離與圓的半徑的數(shù)量關(guān)系）和“形的刻畫”特性（圖形與圓交點的個數(shù)和區(qū)域分布）。

轉(zhuǎn)化思想是解決圓中問題的常用思想方法。如，在研究垂徑定理以及弦、弧、圓周角、圓心角關(guān)系定理的過程中，大量地運用了運動變化思想、轉(zhuǎn)化思想等；在解決與圓有關(guān)的問題時，弦、弧、圓周角、圓心角經(jīng)常互相轉(zhuǎn)化、相互利用；由于正多邊形與圓之間存在著很多內(nèi)在的聯(lián)系，涉及二者的問題或計算也常常通過互相轉(zhuǎn)化來解決。

三、會用數(shù)學(xué)的語言去表達“圓”

幾何問題通常由基本圖形構(gòu)成，掌握這些基本圖形可以更好地解決一些復(fù)雜問題。“對稱圖形——圓”這一章有著豐富的基本圖形（如圖1—圖6），我們只要從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形，由已知聯(lián)想可知，由未知聯(lián)想需知，由可知進一步聯(lián)想、組合需知，問題便可迎刃而解。

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

幾何學(xué)習(xí)還應(yīng)重視數(shù)學(xué)語言的表達，數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)思維交流的工具。表1以垂徑定理為例，呈現(xiàn)文字語言、圖形語言、符號語言之間的轉(zhuǎn)化，而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程也是數(shù)學(xué)語言不斷內(nèi)化、不斷形成、不斷運用的過程。

表1