多項式插值Runge現(xiàn)象交互實驗軟件包的設(shè)計

張光輝

宿州學(xué)院 1.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院；2.科學(xué)與工程計算研究中心，安徽宿州,234000

代數(shù)多項式插值是應(yīng)用非常廣泛的插值方法。在一個區(qū)間上插值逼近一個函數(shù)，Lagrange插值中使用的點越多，插值多項式的次數(shù)就越高。Runge現(xiàn)象是在等距高次多項式插值中出現(xiàn)的振蕩不收斂現(xiàn)象，20世紀(jì)初德國數(shù)學(xué)家Runge給出Runge現(xiàn)象實例[1-2]。深刻認(rèn)識Runge現(xiàn)象并理解Runge現(xiàn)象產(chǎn)生的原因，以及在插值逼近理論和應(yīng)用中如何有效避免Runge現(xiàn)象是數(shù)值分析和數(shù)值逼近方向關(guān)注的重要課題。林永從課程教學(xué)角度對高次插值Runge現(xiàn)象的可視化進(jìn)行探討[3]，朱琪對某個函數(shù)的高次插值是否會產(chǎn)生Runge現(xiàn)象的測試進(jìn)行了研究和程序設(shè)計[4]，壽媛等討論了利用 MQ 擬插值解決龍格現(xiàn)象的問題[5],但以上研究均未從理論角度綜合系統(tǒng)地闡述分析Runge現(xiàn)象產(chǎn)生的原因。本文首先從勢能定理的角度，對Runge現(xiàn)象出現(xiàn)的原因進(jìn)行理論分析，其次基于MATLAB GUI，設(shè)計了用于課程教學(xué)的Runge現(xiàn)象交互實驗軟件包，并進(jìn)行相關(guān)交互實驗。

1 多項式插值理論基礎(chǔ)

定義1[6]Chebyshev點：切比雪夫多項式Tn(x)=cos(narccosx)在區(qū)間[-1,1]上的n+1個極值點(包含端點)xk=cos(kx/n),k=0,1,…,n，稱為(第二類)Chebyshev點。

(2)當(dāng)x0,x1,…,xn為Chebyshev網(wǎng)格點時，則勢能函數(shù)φ(x)=-log2,x∈[-1,1],從而|P(x)|≈eNφ(x)=2-N,x∈[-1,1]

易見φ(0)=1，φ(±1)=-1-log2。

則有

φ(x)=-log2,x∈[-1,1]

定理1表明：以[-1,1]區(qū)間上等距均勻分布的N+1個節(jié)點為根的多項式，在x=±1附近的取值約為在x=0附近取值的2N倍，即在區(qū)間邊界嚴(yán)重振蕩，如圖1所示(N=16)；而以[-1,1]區(qū)間上的N+1個Chebyshev點為根的多項式取值在[-2-N,2-N]內(nèi)振蕩，振蕩能得到有效控制，如圖2所示(N=16)。

圖1 以等距節(jié)點為根的多項式振蕩圖

圖2 以Chebyshev點為根的多項式振蕩圖

2 Runge現(xiàn)象交互實驗軟件包的設(shè)計

2.1 軟件包設(shè)計平臺、原則及目標(biāo)

本軟件包的設(shè)計系統(tǒng)基于 MATLAB(R2016a) GUI平臺，通過“figure()”“Uimenu()”“uicontrol()”和“callback”等函數(shù)進(jìn)行圖形、菜單、控件和回應(yīng)的屬性和功能設(shè)計，編寫對應(yīng)代碼，實現(xiàn)程序包內(nèi)控件的交互調(diào)用。

該Runge現(xiàn)象交互實驗軟件包基于MATLAB 簡潔的語言結(jié)構(gòu)，GUI高度智能化的調(diào)試技術(shù)[8-9]，以理工類具有插值計算和數(shù)值逼近基礎(chǔ)的學(xué)生為用戶主體，以方便快捷地完成實驗?zāi)康臑樽谥?，遵循整體風(fēng)格一致性、標(biāo)志選取習(xí)常性和交互操作簡單性的基本原則[10]，呈現(xiàn)給用戶一個操作便捷可預(yù)告，并且可反復(fù)使用的專用工具。

2.2 主界面設(shè)計思路及各組件布局

打開GUI設(shè)計工具，選擇空白模板，將主界面分為由菜單欄、繪圖區(qū)和功能區(qū)三個主要部分。通過GUI界面組件布局編輯器在圖形用戶界面中完成對象添加。繪圖區(qū)由2個坐標(biāo)軸(axes)和2個靜態(tài)文本框(static text)構(gòu)成；功能區(qū)布置有4個按鈕(pushbutton)、1個可編輯文本框(edit text)、7個靜待文本框(static text)和一個滑動條(slider)；在主界面頂端菜單欄并列4個功能平行的菜單。各區(qū)域各控件的功能如表1所示。利用排列工具，對各對象的相對次序進(jìn)行排列；雙擊控件，打開屬性編輯器，進(jìn)行屬性值檢查和設(shè)置；點擊菜單編輯器，進(jìn)行圖形窗口預(yù)設(shè)菜單創(chuàng)建。該交互實驗軟件包的主界面如圖3所示。主界面的底色采用灰白色(RGB=[0.94,0.94,0.94])，用戶可以根據(jù)需要，更改RGB三元組進(jìn)行顏色的重新設(shè)置和調(diào)整；繪圖區(qū)和功能區(qū)的靜態(tài)文本框和按鈕的ForegroundColor 值分別設(shè)置為“藍(lán)色”和“紅色”，F(xiàn)ontSize值設(shè)置為“15”，滑動條的BackgroundColor值設(shè)置為“綠色”，F(xiàn)oregroundColor設(shè)置為“黃色”；為了更清楚的呈現(xiàn)插值取樣點函數(shù)的表達(dá)式，將可編輯文本框的FontSize值設(shè)置為“18”。打開菜單編輯器，對4個菜單的Text屬性分別賦值為“等距節(jié)點插值”“chebyshev點插值”“Clustered grids 類點插值”和“退出系統(tǒng)”；Tag屬性依次記為“menu1”“menu2”“menu3”和“menu4”。依次雙擊4個按鈕控件，對其“string”屬性和“Tag”屬性依次進(jìn)行類似設(shè)置。

表1 主界面各控件功能

圖3 Runge現(xiàn)象交互實驗包主界面

3 Runge現(xiàn)象交互實驗功能設(shè)計及代碼實現(xiàn)

以主界面的生成和“等距節(jié)點插值”按鈕為例進(jìn)行功能設(shè)計說明。

首先，建新Blank GUI，另存為“Runge_1”，MATLAB自動生成函數(shù)文件Runge_1.m和圖形文件Runge_1.fig。

雙擊“等距節(jié)點插值”按鈕，打開屬性檢查器，該按鈕的string屬性值和Tag屬性值分別為“等距節(jié)點插值”和“pushbutton1”，該按鈕的預(yù)設(shè)功能為點擊按鈕進(jìn)行等距節(jié)點插值計算和在第一個坐標(biāo)軸中進(jìn)行可視化演示。

打開Runge_1.m文件，編寫pushbutton1控件的Callback程序代碼。主要代碼和功能如下：

f=str2sym(get(handles.edit2,′string′));%從可編輯文本框獲取取樣點函數(shù)的符號表達(dá)式

f = matlabfunction(f);%將獲取的符號表達(dá)式轉(zhuǎn)化為匿名句柄函數(shù)

n=ceil(get(handles.slider1,′value′));%從滑動條獲取插值取樣點/插值節(jié)點個數(shù)

ch=-5:10/(n-1):5;fch=f(ch);%獲取等距節(jié)點，并計算取樣點函數(shù)等距節(jié)點處的值

Pch=polyfit(ch,fch,n-1);x1=-5:0.05:5;fchn=polyval(Pch,x1);% 完成等距節(jié)點插值，求插值多項式在加密點處的值

axes(handles.axes1);% 將axes1設(shè)置為當(dāng)前坐標(biāo)軸窗口

fx1=f(x1);plot(x1,fx1,′r′)；hold on；plot(x1,fchn,′b--′) ;%等距節(jié)點插值Runge現(xiàn)象效果圖

當(dāng)用戶輸入插值取樣點函數(shù)“1/(1+x^2)”,滑動條的取值“n=15”時，各參數(shù)如圖4所示，點擊“等距節(jié)點插值”按鈕，可得[-5,5]區(qū)間上插值可視化結(jié)果，如圖5所示。

圖4 Runge現(xiàn)象應(yīng)用實例輸入?yún)?shù)

圖5 等距節(jié)點插值Runge現(xiàn)象

對pushbutton2控件可類似編制Callback程序代碼，完成“chebyshev(clustered grids類)點插值”，可調(diào)用MATLAB 庫函數(shù)chebpts(n)實現(xiàn)n個chebyshev點的獲取。圖6顯示，chebyshev點插值可有效避免高次插值的Runge現(xiàn)象。

雙擊滑動條，打開屬性檢查器，將其Min和Max屬性值分別設(shè)置為“1”和“99”，將插值節(jié)點個數(shù)n控制在[1,99]內(nèi)的整數(shù)上。用鼠標(biāo)指向滑動條控件指示器，移動指示器，可實現(xiàn)插值取樣節(jié)點個數(shù)n的調(diào)整。 各菜單的功能設(shè)置，類似于對應(yīng)功能的控件設(shè)置，這里略去詳細(xì)代碼。

圖6 Chebyshev點插值(未出現(xiàn)Runge現(xiàn)象)

4 結(jié) 語

Runge現(xiàn)象交互實驗軟件包主要研究當(dāng)插值節(jié)點個數(shù)n增加時，Lagrange等距節(jié)點插值多項式是否收斂到被插值函數(shù)，對被插值函數(shù)的近似是否越來越好。通過不斷調(diào)節(jié)n的取值，發(fā)現(xiàn)隨著插值節(jié)點個數(shù)n的增加，等距高次插值多項式在插值區(qū)間兩端附近振蕩越來越嚴(yán)重，逼近效果嚴(yán)重失真。由定理1結(jié)論可知，將等距節(jié)點插值調(diào)整為Chebyshev(clustered grids類)點插值，可有效避免Runge現(xiàn)象的出現(xiàn)，保證插值逼近的實用性和有效性。