由三視圖還原空間幾何體
——流水線上的“切割”技術

侯杰文，廖 洋

(四川省成都市鹽道街中學，四川成都，610000)

由三視圖還原空間幾何體的過程中，如果把三個方位的空間想象，降低到單方向的空間想象上，可以大大降低空間想象的難度.這就好比是在流水線上對原材料進行“切割”加工，一道接著一道工序，直到產(chǎn)品成型.按照“由易到難，由里向外，重實避虛，三方檢驗”的原則，可以輕松應對所有三視圖還原空間幾何體問題.

1 方法展示

例1已知某幾何體的三視圖如下,請畫出該幾何體的直觀圖.

解析：(1) 加工過程，如下圖所示

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

(2) 加工說明

① “由易到難”選原料：觀察三個視圖的輪廓線，不考慮視圖內(nèi)部的連線，選擇正方體作為加工原材料，如圖1；

② “由外向里”先外部切割：觀察正視圖，根據(jù)幾何體坐標平面xoz的投影，可以做切割平面ABCD，如圖2；將右上部分幾何體切割掉，所剩幾何體為三棱柱ABE-DCF，如圖3；

③ “重實避虛”內(nèi)部精細切割，觀察側(cè)視圖，根據(jù)幾何體在坐標平面yoz的投影，由于內(nèi)部連線是實線(從左往右看是看得見的棱)，因此在幾何體左側(cè)面作出且切割線DE；觀察俯視圖，根據(jù)幾何體在坐標平面xoy的投影，由于內(nèi)部連線是虛線(看不見的棱)，因此在幾何體底面作出切割線EC，即可得到切割面CDE，如圖4.最后將三棱錐D-EFC切割掉，所剩幾何體為四棱錐E-ABCD,如圖6；

④ “三方檢驗”做完善：將所剩幾何體做三個坐標平面的投影，滿足三視圖，故切割后的幾何體為圖6.

變式題已知某幾何體的三視圖如下,請畫出該幾何體的直觀圖.

解析：(1) 加工過程，如下圖所示：

圖7

圖8

圖9

圖10

(2) 加工說明

① “由易到難”選原料：觀察三個視圖的輪廓線，不考慮視圖內(nèi)部的連線，為了增強幾何圖形的直觀，選擇長方體作為加工原材料，并做第一步切割，保留幾何體三棱柱ABC-A1B1C1，如圖7；

② “由外向里”做第二步切割：觀察正視圖，外圍輪廓線是直角梯形，根據(jù)幾何體坐標平面xoz的投影，可以做切割平面AB1D1(如圖8，D1為A1C1中點)，將右上部分三棱錐A-A1B1D1切割掉；

③ “由外向里，重實避虛”做第三步切割，觀察側(cè)視圖，根據(jù)幾何體在坐標平面yoz的投影，由于內(nèi)部連線是實線(從左往右看是看得見的棱)，因此在幾何體左側(cè)面恰好是切割線AB1；觀察正視圖，根據(jù)幾何體在坐標平面xoz的投影，由于內(nèi)部連線既有實線也有虛線(看不見的棱)，實線的切割線恰好是BB1，作出虛線的切割線AC1，即可得到切割面AB1C1，如圖9.最后將三棱錐B1-AC1D1切割掉，所剩幾何體為四棱錐A-BCC1B1,如圖10；

④ “三方檢驗”做完善：利用三視圖檢驗四棱錐A-BCC1B1，符合題意.

例2(2022年全國甲卷第4題)如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為( ).

解析：(1) 加工過程，如下圖所示：

圖11

圖12

圖13

(2) 加工說明

① “由易到難”選原料：從三個視圖中首先選擇加工原材料，不難發(fā)現(xiàn)最簡單的視圖是側(cè)視圖，可以發(fā)現(xiàn)利用長方體(長為4，寬為2，高為2)作為加工原材料比較簡單.為了增強直觀感，將幾何體放到空間直角坐標系中，如圖11；

② “由外向里”做外部切割：根據(jù)正視圖在投影面xoz的投影，作出切割平面ABCD,如圖12；

③ “由外向里，重實避虛”做精細切割：根據(jù)俯視圖在投影面yoz的投影，經(jīng)檢驗無需再切割，即可得到最終切割后的幾何體,如圖13；

④ “三方檢驗”做完善.

(3) 解決問題

例3(2017全國卷2理科第4題)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為( ).

A． 90π B． 63π C． 42π D． 36π

解：(1) 加工過程

圖14

圖15

圖16

(2) 加工說明

① “由易到難”選原料：從俯視圖可以發(fā)現(xiàn)利用圓柱作為加工原材料比較簡單，如圖14；

② “由外向里”做外部切割：根據(jù)側(cè)視圖視圖在投影面yoz平面作出切割線，然后過切割線作切割面ABCD，如圖15；

③ “三方檢驗”做完善：根據(jù)正視圖驗證所作切割面ABCD是否滿足題意，同時由三視圖確定幾何體相關線段長度，不難發(fā)現(xiàn)CE=DF=4,底面圓的直徑為6.

(3) 解決問題

故該組合體的體積V=V1+V2=36π+27π=63π．故選B．

2 歸納總結

三視圖還原空間幾何體的流水線上的“切割”步驟：

(1) “由易到難”選原料：一般從簡單視圖入手，選擇簡單空間幾何體作為加工原材料.如：直棱柱、正棱錐、圓錐、球等簡單幾何體或簡單幾何體的組合體；

(2) 選擇加工“機床”，增強直觀感：一般將空間直角坐標系，長方體、正方體作為加工“機床”；

(3) “由外向里，重實避虛”做切割：選擇較簡單的視圖入手，首先在投影面上確定“切割線”，然后過“切割線”作出切割面；

(4) “三方檢驗”做完善：檢查切割后的幾何體是否滿足三視圖.

3 方法提煉

總而言之，在處理三視圖還原空間幾何體的問題中，首先是利用簡單幾何體的模型建構空間幾何體，若遇到較復雜的三視圖，則可以嘗試利用本文中提到的流水線加工策略.

流水線上的“切割”策略本質(zhì)是：將三個方位的空間想象，分步聚焦到一個方位的空間想象，將發(fā)散式思維模式轉(zhuǎn)化為線性思維模式，從而聚焦了思維能量，步步為營，直到成功還原空間幾何體.這種方法與策略也體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想，為聚焦空間想象力、培養(yǎng)學生直觀想象的數(shù)學核心素養(yǎng)提供了方法與策略.