數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中的滲透

◇毛銀鶴（甘肅：臨洮縣北街小學(xué)）

毫無(wú)疑問(wèn)，數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于數(shù)學(xué)思想。當(dāng)前，大部分小學(xué)老師只注重知識(shí)的傳授和培養(yǎng)，而忽略學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解和把握，導(dǎo)致老師教得很辛苦，學(xué)生學(xué)得很累。如何更新教學(xué)觀念，加深對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解？怎樣才能使數(shù)學(xué)思想的滲透更有效？有什么戰(zhàn)略方法、要把握什么原則？從什么角度來(lái)看？本文對(duì)此進(jìn)行了研究，以期為相關(guān)人員提供借鑒。

一、數(shù)學(xué)思想概述

關(guān)于數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)尚無(wú)定論，學(xué)者的觀點(diǎn)不盡相同，關(guān)于數(shù)學(xué)思想的界定也存在著分歧，主要從兩個(gè)方面進(jìn)行論述。

（一）從數(shù)學(xué)教學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)

鄭毓信指出，數(shù)學(xué)思想的最初含義，是在與具體的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容，尤其是其最終的嚴(yán)格表達(dá)方式的矛盾中被證實(shí)的。數(shù)學(xué)思想的含義是一種思想方式或原理，它脫離了特定的數(shù)學(xué)內(nèi)容，并具有更廣泛的普遍性。臧雷認(rèn)為，對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)要分兩個(gè)角度。一種是狹義的，它是指通過(guò)對(duì)特定數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知過(guò)程而產(chǎn)生的認(rèn)知結(jié)果或看法，并在后續(xù)的認(rèn)知活動(dòng)中不斷地被應(yīng)用和證明。廣義的數(shù)學(xué)思想，除了以上幾個(gè)方面之外，還應(yīng)該包含數(shù)學(xué)的概念、理論、方法和形態(tài)的形成和發(fā)展的規(guī)律。張國(guó)棟、李建華等人都認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教育中，數(shù)學(xué)思想往往被用來(lái)解釋，而非從認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)出發(fā)。

（二）從哲學(xué)的知識(shí)論視角出發(fā)

丁石孫認(rèn)為，數(shù)學(xué)思想是指人們?nèi)绾慰创龜?shù)學(xué)。其中包括：數(shù)學(xué)在人的認(rèn)識(shí)系統(tǒng)中所占據(jù)的位置、與生產(chǎn)實(shí)踐和其他學(xué)科的聯(lián)系、數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律、數(shù)學(xué)研究方法的特征等。蔡上鶴指出，數(shù)學(xué)思想是把真實(shí)世界的空間形態(tài)、數(shù)量關(guān)系，通過(guò)思維活動(dòng)，在人的意識(shí)中呈現(xiàn)出來(lái)。張奠宙、過(guò)伯祥等人認(rèn)為，數(shù)學(xué)思想通常被用來(lái)概括一些具有重要意義、內(nèi)容豐富、系統(tǒng)完整的數(shù)學(xué)成果。

二、在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想的意義

（一）有利于推動(dòng)數(shù)學(xué)應(yīng)用理論的發(fā)展

其實(shí)，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，是人類思想和解決問(wèn)題的基本原則。實(shí)踐已經(jīng)證明，數(shù)學(xué)思想和方法已經(jīng)被廣泛地運(yùn)用于現(xiàn)代技術(shù)，經(jīng)濟(jì)學(xué)、心理學(xué)、社會(huì)學(xué)，甚至是最常見(jiàn)的科學(xué)技術(shù)，如工業(yè)和胚胎學(xué)，都是由新的數(shù)學(xué)思想和新的算法所決定的。

（二）有利于推動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展

學(xué)科的教育因子對(duì)人的成長(zhǎng)起到了循序漸進(jìn)的、深遠(yuǎn)的作用。每一門學(xué)科都能以其自身的內(nèi)在魅力、多方面的力量來(lái)滋養(yǎng)和培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)素質(zhì)，使他們形成科學(xué)的、獨(dú)立的、有意義的學(xué)習(xí)能力。因此，學(xué)科教育的本質(zhì)就是培養(yǎng)人，將人的全面發(fā)展與學(xué)科教學(xué)活動(dòng)相結(jié)合，使其從各方面，或?qū)ζ溥M(jìn)行影響，或直接傳授，從而使個(gè)人的綜合素質(zhì)得到提升。從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生的綜合素質(zhì)有很大的促進(jìn)作用，對(duì)現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展有更深的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)是一種科學(xué)的工具和語(yǔ)言，就像語(yǔ)言、宗教、藝術(shù)，都是人類文化的一部分。

（三）有利于老師建立現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育觀

從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，其思想具有條理性、簡(jiǎn)練、嚴(yán)密、可擴(kuò)展性等特征，是一種廣泛應(yīng)用的教學(xué)方法。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅僅是一種態(tài)度，更是一種文化。只有了解了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，了解了它的內(nèi)在價(jià)值，才能從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看待問(wèn)題。近幾年，隨著新一輪課程改革的逐步深化，新的課程觀念不斷強(qiáng)化，要求一線老師提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、專業(yè)素質(zhì)、數(shù)學(xué)知識(shí)，從而使自己的數(shù)學(xué)思想得到充分的發(fā)揮。

三、數(shù)學(xué)思想的教學(xué)原則

（一）意識(shí)性原則

所謂意識(shí)，就是要讓老師認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的各種思想方法，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想的重要性。一是要樹(shù)立學(xué)生的主觀意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法。與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)相比，數(shù)學(xué)的思想方法是以不同的形式和不同的表象呈現(xiàn)的，在小學(xué)數(shù)學(xué)的許多知識(shí)點(diǎn)中，它們常常伴隨著傳統(tǒng)知識(shí)的產(chǎn)生，逐漸地表現(xiàn)出來(lái)，較難被發(fā)現(xiàn)，也較難解釋。在實(shí)際教學(xué)中，由于老師對(duì)教材內(nèi)容的疏忽，常常導(dǎo)致教材內(nèi)容的缺失。所以，數(shù)學(xué)老師除了要強(qiáng)化傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)和教學(xué)內(nèi)容，還要重視學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)和敏感度的培養(yǎng)，積極主動(dòng)地把數(shù)學(xué)的各種類型、內(nèi)容、形式的教學(xué)與數(shù)學(xué)思想相結(jié)合。二是要重視從教學(xué)內(nèi)容中發(fā)掘?qū)W生的數(shù)學(xué)思想方法。在教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)流程的設(shè)計(jì)中，要善于從數(shù)學(xué)思想的視角出發(fā)，對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行細(xì)致分析，探索其滲透點(diǎn)、結(jié)合點(diǎn)、蘊(yùn)含點(diǎn)，從而厘清教材中的思想方法，再通過(guò)設(shè)置情境、討論例題、組織練習(xí)等方法，使其成為可能。三是要把學(xué)生能理解和接受的數(shù)學(xué)思想方法融入教學(xué)中。首先，老師要從課本中精心挑選具有鮮明特色和具體內(nèi)容的重點(diǎn)內(nèi)容，或明或暗或詳或簡(jiǎn)地向?qū)W生展示，引導(dǎo)他們理解這些知識(shí)和思想方法的關(guān)系，讓學(xué)生親身體驗(yàn)這些知識(shí)中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想方法。其次，要在保證教學(xué)效果的基礎(chǔ)上，進(jìn)行教學(xué)方法的設(shè)計(jì)。小學(xué)數(shù)學(xué)老師要以學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)和學(xué)習(xí)能力為出發(fā)點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，杜絕生搬硬套。

（二）滲透性原則

滲透性原則，就是在課堂上，老師自覺(jué)地將數(shù)學(xué)思想相對(duì)獨(dú)立、抽象的方式，融入課本的具體知識(shí)點(diǎn)中，而不是一針見(jiàn)血。在教學(xué)中，學(xué)生的思想方法與學(xué)生學(xué)習(xí)具體的數(shù)學(xué)知識(shí)是有區(qū)別的。比如，一些數(shù)學(xué)方面的東西，很多人都是一學(xué)就會(huì)，而且還能用來(lái)解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題。然而，在數(shù)學(xué)思想的教學(xué)中，許多學(xué)生在解決同類問(wèn)題時(shí)卻常常遇到困難。所以，許多老師都會(huì)感慨，數(shù)學(xué)思想的滲透實(shí)在是太難了。而產(chǎn)生這種迷茫的主要原因是思想方法與知識(shí)技巧上的巨大差異。學(xué)習(xí)知識(shí)和技巧，大部分都是靠模仿。當(dāng)數(shù)學(xué)思想達(dá)到一定程度的時(shí)候，學(xué)生的思維和理解能力就會(huì)得到很大的提升，從而取得更好的教學(xué)效果。例如，在教學(xué)中，關(guān)于“王阿姨購(gòu)買15 塊糖，10 塊餅干，支付的金額和李大叔買10塊糖和15 塊餅干的價(jià)格是一樣的”一題，鼓勵(lì)學(xué)生自己找出相似的例子，或者用算法來(lái)表達(dá)。學(xué)生通過(guò)例子，逐漸地找到了“加法交換律”。然后老師鼓勵(lì)他們用不同的方式來(lái)表達(dá)這種規(guī)則，并討論哪一種最好。最后，學(xué)生一致同意用“a+b=b+a”來(lái)表達(dá)。在這個(gè)例子里，老師為學(xué)生設(shè)計(jì)了一個(gè)非常平常的生活場(chǎng)景，讓學(xué)生做一些簡(jiǎn)單的事情，并且樂(lè)意嘗試。因?yàn)樗麄兿矚g用最好的方式來(lái)表達(dá)自己對(duì)規(guī)則的理解。不可否認(rèn)的是，這種思想方法是一種象征思想的浸潤(rùn)。

四、數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

（一）在基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)中的滲透

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)把知識(shí)分成兩類：陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)。陳述性知識(shí)是一種可以用清晰語(yǔ)言表達(dá)的，對(duì)“是什么”“為什么”這樣的基礎(chǔ)問(wèn)題進(jìn)行解釋的方法，而程序性知識(shí)則是一種方法，是“怎么想”“怎么做”。小學(xué)數(shù)學(xué)思想是一種認(rèn)知策略，它包括收集、處理各種資料，推理、運(yùn)算方法的簡(jiǎn)便選擇。小學(xué)數(shù)學(xué)思想既有概念原則的陳述性知識(shí)，又有程序性知識(shí)的具體運(yùn)作過(guò)程。在數(shù)與代數(shù)課程中，小學(xué)生將學(xué)到不同種類的數(shù)及相應(yīng)的算術(shù)，在此基礎(chǔ)上，逐步體驗(yàn)、掌握數(shù)與代數(shù)的含義，提高其數(shù)感，并初步了解負(fù)數(shù)、方程等知識(shí)。其中包括分類、轉(zhuǎn)化、集合、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、極限、符號(hào)化等數(shù)學(xué)思想。在圖形與幾何課程中，小學(xué)生將會(huì)學(xué)習(xí)一些簡(jiǎn)單的幾何圖形，并且能夠理解和認(rèn)識(shí)其基本特性，體會(huì)旋轉(zhuǎn)、平移、對(duì)稱，對(duì)圖形轉(zhuǎn)換有初步的理解與認(rèn)識(shí)，也會(huì)學(xué)習(xí)如何描述、確定和測(cè)量對(duì)象的方位，逐步培養(yǎng)和發(fā)展空間概念。同時(shí)也包含了極限、轉(zhuǎn)化等主要數(shù)學(xué)思想。在統(tǒng)計(jì)與概率課程中，學(xué)生將初步了解統(tǒng)計(jì)的基本流程，并圍繞如何搜集、整理及描述資料，根據(jù)先前搜集、整理的結(jié)果，解答較簡(jiǎn)單的問(wèn)題或?qū)δ承┈F(xiàn)象做出簡(jiǎn)單的判斷。要對(duì)某些事件的可能和不確定因素有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，然后對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和分析。這些內(nèi)容貫穿于小學(xué)的整個(gè)教學(xué)過(guò)程，盡管所占比例較低，但對(duì)于提高小學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)用意識(shí)非常重要，而且還包含了統(tǒng)計(jì)、分類、概率等典型的數(shù)學(xué)思想。在實(shí)踐與綜合應(yīng)用課程中，通過(guò)實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)和體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的緊密關(guān)系，并能有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法，解決日常生活中常見(jiàn)的一些問(wèn)題。在小學(xué)的各個(gè)年級(jí)都有這樣的認(rèn)識(shí)，對(duì)于提高小學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力起到了很大的推動(dòng)作用。

（二）在探求公式中的滲透

公式是用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)各種關(guān)系的一種數(shù)學(xué)表達(dá)式。它是由變量構(gòu)成的，具有普遍性，對(duì)同類問(wèn)題和關(guān)系都是有效的。它所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)邏輯含義，能夠用來(lái)表達(dá)對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)和解決方法，取決于它所包含的自由變量和特殊的邏輯關(guān)系。對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，想要理解公式，并不是一件容易的事情。在教學(xué)中，老師可以把數(shù)學(xué)思想滲透到學(xué)生的頭腦里，使他們對(duì)公式的意義和價(jià)值有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)。在數(shù)學(xué)課上，通過(guò)插圖來(lái)說(shuō)明分配法則。照片上的畫面，是一群學(xué)生在種樹(shù)，他們被分成了25 個(gè)小隊(duì)，每個(gè)小隊(duì)都有4 個(gè)人在挖坑，4 個(gè)人在種樹(shù)，2 個(gè)人給樹(shù)澆水。問(wèn)：參與植樹(shù)的學(xué)生一共有多少？在教學(xué)中，首先要讓學(xué)生得到兩種不同的方法，再將兩種方法的結(jié)果進(jìn)行比較，由學(xué)生推導(dǎo)出相應(yīng)的分配規(guī)律，并給出相應(yīng)的符號(hào)表示。可以看出，這種方法片面地強(qiáng)調(diào)了對(duì)結(jié)果的直接分析，學(xué)生只看到了簡(jiǎn)單、抽象的分析，而“分配”這個(gè)重要的思想過(guò)程，老師沒(méi)有涉及，學(xué)生也沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)，很難在腦海中形成意義上的連接。所以，學(xué)生只能死記硬背。為使學(xué)生更好地了解分配的實(shí)質(zhì)，老師可以在課堂一開(kāi)始就運(yùn)用數(shù)形組合來(lái)創(chuàng)造情境，使學(xué)生能更好地認(rèn)識(shí)和接受圖形的特點(diǎn)。通過(guò)計(jì)算矩形區(qū)域，讓學(xué)生直觀、形象地學(xué)會(huì)分配法則，使學(xué)生對(duì)矩形區(qū)域的學(xué)習(xí)和掌握更加深刻。數(shù)形結(jié)合是一種教學(xué)方法，它是一種與數(shù)字形狀相結(jié)合的有效方法，更符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，從而使形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)變。

（三）在知識(shí)生成過(guò)程中的滲透

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程其實(shí)就是數(shù)學(xué)思想的產(chǎn)生過(guò)程。比如，讓學(xué)生在腦海中構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念，從而得出相應(yīng)的結(jié)論，并通過(guò)這種方式來(lái)解決問(wèn)題，讓學(xué)生能夠更好地理解數(shù)學(xué)。例如，在“小數(shù)乘整數(shù)”的教學(xué)中，老師可以通過(guò)求四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角之和，由此導(dǎo)出其內(nèi)角之和的公式。所以，數(shù)學(xué)定理、公式、法則等結(jié)論的本質(zhì)就是一條知識(shí)鏈條，將數(shù)學(xué)知識(shí)壓縮成一條知識(shí)鏈條，在實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要適當(dāng)?shù)匮娱L(zhǎng)這些知識(shí)鏈條。老師指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究、發(fā)現(xiàn)和推理，闡明每一結(jié)論之間的因果關(guān)系，探究其與已有知識(shí)的聯(lián)系，理解其思想方法。

總之，在老師的指導(dǎo)下，學(xué)生可以選擇和篩選有用的信息，使自己的學(xué)習(xí)情緒更加活躍，對(duì)自己和別人的認(rèn)同感也更強(qiáng)，更愿意參與團(tuán)隊(duì)活動(dòng)。這就是數(shù)學(xué)思想對(duì)學(xué)生的最大益處。通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)思想的研究，在數(shù)學(xué)思想的滲透下，對(duì)學(xué)生的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)、解決問(wèn)題都有很大的促進(jìn)作用。