沿超曲面的振蕩奇異積分在加權(quán)Wiener共合空間上的有界性

劉慧慧，唐劍，趙金虎

(阜陽(yáng)師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236037)

0 引言

Wiener共合空間是時(shí)間頻率分析中的一類(lèi)重要函數(shù)空間，它同時(shí)刻畫(huà)了一個(gè)函數(shù)或分布的局部性質(zhì)和整體性質(zhì). 在應(yīng)用中，Wiener共合空間是建立在Lebesgue空間或Fourier-Lebesgue空間上，因其允許對(duì)函數(shù)的局部正則性和無(wú)窮遠(yuǎn)處的衰減進(jìn)行獨(dú)立控制,更加靈活. 這類(lèi)函數(shù)空間已被多次重新定義，它首次出現(xiàn)在Wiener[1]的廣義調(diào)和分析理論中，他引入了標(biāo)準(zhǔn)的共合空間W(Lp,Lq)，其上的范數(shù)定義為

當(dāng)p或q=∞時(shí)，只需用L∞范數(shù)替換Lp或Lq范數(shù)即可.

已有的結(jié)果給出，對(duì)于某些合適的曲線(xiàn)γ[12-13]，沿曲線(xiàn)的Hilbert變換

(1)

是Lp(n)有界的，其中1

(2)

其中,Γ(t)=(t,γ(t)),且γ(t)=|t|k或γ(t)=sgn(t)|t|k.Chandarana[14]證明了這類(lèi)算子不是L2有界的，因其Fourier乘子不是一致有界的. 注意到這類(lèi)算子在原點(diǎn)處的奇異性比Hilbert變換中的奇異性更差，一個(gè)自然的問(wèn)題是如何平衡由因子|t|α所產(chǎn)生的奇異性. 考慮到Hilbert變換本質(zhì)上是振蕩的，不妨在算子Hα中引入一個(gè)振蕩因子e-2πi|t|-β來(lái)平衡變差了的奇異性.

Zielinski[15]首次研究了如下定義的沿曲線(xiàn)的振蕩強(qiáng)奇異積分

(3)

他證明了當(dāng)γ(t)=t2時(shí)，有‖Tα,βf‖L2(2)≤C‖f‖L2(2)?β≥3α.之后，Chandarana[14]考慮了沿更一般的曲線(xiàn)γ(t)=|t|k或γ(t)=sgn(t)|t|k(k≥2)時(shí)算子Tα，β的有界性，且建立了該算子Lp(2)有界的充分定理，即當(dāng)β>3α>0且指標(biāo)p滿(mǎn)足

時(shí)，‖Tα,βf‖Lp(2)≤C‖f‖Lp(2).程美芳[16]等進(jìn)一步研究了算子Tα，β在Wiener共合空間W(FLp,Lq)上的映射性質(zhì)并得到當(dāng)γ(t)=|t|k或γ(t)=sgn(t)|t|k(k≥2)時(shí)，對(duì)于β>3α>0及1≤p<∞,1≤q≤∞，算子Tα，β在空間W(FLp,Lq)(2)上有界. 對(duì)比Wiener共合空間和Lebesgue空間中指標(biāo)p的取值范圍，明顯看出指標(biāo)p在Wiener共合空間的取值范圍更大，因此可以粗略地認(rèn)為算子Tα，β在Wiener共合空間上的有界性?xún)?yōu)于Lebesgue空間，或者說(shuō)在討論沿曲線(xiàn)的奇異積分算子的有界性問(wèn)題上Wiener共合空間可看作是Lebesgue空間的良好替代.

不同于探究曲線(xiàn)γ所滿(mǎn)足的最小條件(可參見(jiàn)文獻(xiàn)[17-18])，另一個(gè)起源于Hilbert變換的發(fā)展是沿曲面的強(qiáng)奇異積分. Hung Viet Le[19]研究了沿超曲面的強(qiáng)奇異積分

(4)

(5)

在下文中，我們先回顧一些必要的概念和定義，并給出定理證明中所需的一些引理，最后給出定理的具體證明過(guò)程. 本文中，用C來(lái)表示正常數(shù)，其在不同位置取值可能不同，但均不依賴(lài)于本文中的主要變量. 使用符號(hào)“B→C”和“*”分別表示線(xiàn)性空間B到C的連續(xù)嵌入和卷積運(yùn)算.

1 預(yù)備知識(shí)

記S(n)為由所有復(fù)值速降、無(wú)限次可微函數(shù)構(gòu)成的Schwartz函數(shù)空間，S′(n)是其對(duì)偶函數(shù)空間. 對(duì)于函數(shù)f∈S(n)，其Fourier變換和Fourier反演變換分別定義為

函數(shù)f的平移及調(diào)幅算子定義為T(mén)xf(t)=f(t-x)和Mξf(t)=e2πiξ·tf(t)，其中x,t∈n.對(duì)于s∈及x∈n，記權(quán)函數(shù)s=(1+|x|2)1/2.給定非零函數(shù)φ∈S，函數(shù)f∈S′相應(yīng)于窗函數(shù)φ的短時(shí)Fourier變化定義為

定義1.1[11]給定非零函數(shù)φ∈Σ及1≤p,q≤∞，s∈.加權(quán)調(diào)幅空間n)定義為全體關(guān)于范數(shù)

有限的Schwartz函數(shù)f構(gòu)成的集合. 對(duì)于p或q=∞，只需將Lp或Lq范數(shù)替換為本性上確界即可. 當(dāng)s=0時(shí)，即為經(jīng)典的調(diào)幅函數(shù)空間Mp,q(n)且不同的φ生成相同的函數(shù)空間.

有限的緩增廣義函數(shù)f∈S′組成的函數(shù)集合. 當(dāng)p或q=∞時(shí)，使用L∞范數(shù)相應(yīng)替換Lp或Lq范數(shù). 當(dāng)s=0時(shí)，簡(jiǎn)記為W(FLp,Lq)(n).且該定義與窗函數(shù)g的選取無(wú)關(guān)成，即不同的窗函數(shù)g1，g2定義的Wiener共合空間具有等價(jià)的擬范數(shù).

下面引理給出了Wiener共合空間的一些重要性質(zhì)，在定理證明中有重要的作用.

引理1.1[20]令Bi,Ci,i=1,2,3是Banach空間且使得W(Bi,Ci)有定義，則下列結(jié)論成立.

i)(卷積性)若B1*B2→B3且C1*C2→C3，則W(B1,C1)*W(B2,C2)→W(B3,C3).特別地，當(dāng)1≤p,q≤∞時(shí)，有‖f*u‖W(FLp,Lq)≤‖f‖WF(L∞,L1)‖u‖W(FLp,Lq)；

ii)(嵌入性)若B1→B2且C1→C2，則W(B1,C1)→W(B2,C2).此外，結(jié)論中的B1→B2是局部的，而C1→C2是整體的；

iii)(插值性)當(dāng)時(shí)0<θ<1，有[W(B1,C1),W(B2,C2)][θ]=W([B1,C1][θ],[B2,C2][θ])，其中空間C1和C2有絕對(duì)連續(xù)范數(shù)；

iv)(對(duì)偶性)設(shè)B′,C′分別為Banach空間B,C的對(duì)偶空間，則W(B,C)′→W(B′,C′).

引理1.2[21]設(shè)1≤p1,p2,q2,r1,r2≤∞，1≤q1<∞，s∈且滿(mǎn)足則成立

引理1.3的證明利用空間W(FL∞,L1)和M∞,1的定義可得

引理1.5[19]設(shè)定義在[0，+∞)上的函數(shù)γ(r)滿(mǎn)足|γ′(r)|在suppγ′∩[0，+∞)上單調(diào)遞增，同時(shí)滿(mǎn)足γ′(r)∈L1([0,+∞))或者γ(r)單調(diào)且γ(r)∈L∞([0,+∞))之一. 若0≤a≤b≤∞且ξn∈，則

其中常數(shù)C獨(dú)立于ξn.

引理中的符號(hào)“supp”表示“支集”概念. 此外，我們還需要下面的Van der Corput引理，這是估計(jì)振蕩積分時(shí)所用到的最重要引理.

引理1.6[22]設(shè)φ(t)和ψ(t)為定義在區(qū)間(a,b)上的實(shí)值光滑函數(shù)且k∈N.若對(duì)任意t∈(a,b)，φ(t)滿(mǎn)足|φ(k)(t)|≥λ>0及

i)k≥2，或者

ii)k=1且φ′(t)在(a,b)上單調(diào)，則有

成立，其中常數(shù)Ck與變量φ和λ無(wú)關(guān).

2 主要定理及證明

這一節(jié)，我們將給出本文中的主要定理，并完成定理的證明.

定理2.1設(shè)函數(shù)h(y)和γ(y)為定義在n-1(n≥3)上的實(shí)值徑向函數(shù)且在[0,+∞)上幾乎處處可微. 函數(shù)h連續(xù)有界且滿(mǎn)足h單調(diào)遞增或者h(yuǎn)′∈L1().γ(r)滿(mǎn)足|γ′(r)|在suppγ′∩[0,+∞)上單調(diào)遞增，同時(shí)滿(mǎn)足下列條件之一

1)|γ′(r)|∈L1()；

2)γ∈L∞()，且γ(r)在[0,+∞)上單調(diào)遞增.

定理2.1的證明利用Fourier變換，有

(6)

從而算子T*可寫(xiě)為

其中算子T*的Fourier乘子m*為

由卷積運(yùn)算與Fourier變換的關(guān)系及引理1.2，要證定理2.1只需證明核函數(shù)Fm*∈W(FL∞,L1)(n)即可. 結(jié)合引理1.3和引理1.4，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為估計(jì)函數(shù)的L∞范數(shù)，其中多重指標(biāo)(λ,λn)∈n-1×滿(mǎn)足利用極坐標(biāo)變換，有

其中

其中

|ψ″(t)|=β(β+1)·2vβt-β-2≥C·2vβ.

從而，利用引理1.5和Van der Corput引理，對(duì)于β>2α>0，可得

≤C.

≤C·‖Ω‖L1(Sn-2)

≤C

成立，證畢.

不失一般性，利用上述定理2.1的證明方法可自然地得到以下推論.

推論2.1設(shè)定義在上的可測(cè)偶函數(shù)γ滿(mǎn)足|γ′(r)|在suppγ′∩[0,+∞)上單調(diào)遞增. 假設(shè)γ′∈L1()或者γ∈L∞()且γ(r)在[0,+∞)上單調(diào). 設(shè)定義在上的函數(shù)h是連續(xù)有界的偶函數(shù)，且h在上幾乎處處可微. 若h滿(mǎn)足單調(diào)性或者h(yuǎn)′∈L1()，當(dāng)β>2α>0時(shí)，強(qiáng)奇異積分算子T#定義為

定理2.2設(shè)h(y)為定義在n-1上的實(shí)值徑向、連續(xù)有界的函數(shù)，且在[0,+∞)上幾乎處處可微. 假設(shè)函數(shù)h是單調(diào)的或者h(yuǎn)′∈L1()，函數(shù)Ω是定義在n-1上的零次齊次函數(shù)且Ω∈L1(Sn-2).若γ(y)=|y|k，則下列結(jié)論成立：

定理2.2的證明類(lèi)比(6)式的計(jì)算，有

其中

類(lèi)似定理2.1的證明，只需估計(jì)當(dāng)多重指標(biāo)(δ,δn)∈n-1×滿(mǎn)足時(shí)，有即可. 進(jìn)一步地，由極坐標(biāo)變換可得

其中

|φ0″(t)|=|β(β+1)t-(β+2)|≥β(β+1)r-(β+2).

≤C

(7)

|φ1″(t)|=|β(β+1)t-(β+2)|≥β(β+1)r-(β+2)

成立. 由Van der Corput引理，類(lèi)似于式(7)的處理，可得

≤C

(8)

由(7)和(8)式，當(dāng)k=0或k=1時(shí)，簡(jiǎn)單計(jì)算可得

≤C·‖ Ω‖L1(Sn-2)

≤C

(9)

故定理2.2的1)得證.

Case 3. 當(dāng)k≥2.接下來(lái)分三步來(lái)證明這種情形.

φk″(t)=k(k-1)ηntk-2+β(β+1)t-(β+2)

≥β(β+1)t-(β+2).

對(duì)任意的t∈(0,r]，恒有|φk″(t)|≥β(β+1)r-(β+2).重復(fù)Case 2的證明，可得

(10)

情形2. 當(dāng)ηn<-1.函數(shù)φk(t)的三階導(dǎo)數(shù)為

φ?k(t)=k(k-1)(k-2)ηntk-3-β(β+1)(β+2)t-β-3

≤-β(β+1)(β+2)t-β-3，

且對(duì)任意的t∈(0,r]，有

|φ?k(t)|≥β(β+1)(β+2)t-β-3

≥β(β+1)(β+2)r-β-3.

(11)

|φ″(t)|=|β(β+1)t-(β+2)|

≥β(β+1)r-(β+2).

進(jìn)一步可得

(12)

綜合(10)～(12)式及定理?xiàng)l件可知，當(dāng)k≥2且β>3α>0時(shí)，有|I*(η,ηn,y′)|≤C.從而可得估計(jì)(9)式，故定理2.2得證.

3 結(jié)語(yǔ)