線性規(guī)劃模型及其應(yīng)用

鄭秋沛

（西藏自治區(qū)體育運(yùn)動(dòng)技術(shù)學(xué)校 西藏 拉薩 850000）

模型是揭示某一研究對(duì)象的性能和特征而建立的結(jié)構(gòu)，咱們所說的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)而不局限于一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，以往數(shù)學(xué)規(guī)劃也被稱為最優(yōu)化問題。那么我們?yōu)槭裁匆x擇建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型？因?yàn)橥ㄟ^建立模型經(jīng)常能揭示出許多不明了的關(guān)系，建立模型后，人們可以利用數(shù)學(xué)工具對(duì)它進(jìn)行分析，從而幫助我們提出那些不是顯而易見的行動(dòng)方針。根據(jù)決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件的不同，數(shù)學(xué)規(guī)劃可分為：線性規(guī)劃、（線性）整數(shù)規(guī)劃、非線性規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃。[1]本文所探討的便是這其中的一個(gè)分支：線性規(guī)劃，這是求解最簡(jiǎn)單的一種規(guī)劃問題。如果能利用線性規(guī)劃描述一個(gè)規(guī)劃問題，則說明我們得到了一個(gè)簡(jiǎn)單容易處理的模型結(jié)構(gòu)，而簡(jiǎn)單容易處理是模型好壞的重要判別依據(jù)。

1.簡(jiǎn)單線性規(guī)劃在高中教學(xué)中的應(yīng)用

在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到一些光靠筆算推理解決不了的問題，比如在含不等式的函數(shù)中的求取值范圍的問題，按照一般思路，我們很難求解，如果我們運(yùn)用簡(jiǎn)單線性規(guī)劃構(gòu)建模型的方法便能輕松解出。因此，我們將高中所學(xué)線性規(guī)劃問題進(jìn)行歸類，這樣有助于高中學(xué)生更好的學(xué)習(xí)并使用線性規(guī)劃。解題策略方面，我們大致可總結(jié)出四種結(jié)論：（1）利用縱截距（2）利用兩點(diǎn)間距離（3）利用斜率（4）利用點(diǎn)線距離。線性規(guī)劃課程基本按照“畫”“作”“求”“答”四個(gè)步驟，是以程序化的模式組織起來的邏輯體系。

我們高中所學(xué)線性規(guī)劃問題大致可分為以下幾類：

（1）簡(jiǎn)單線性規(guī)劃在函數(shù)與不等式中的應(yīng)用

例1 設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+bx,且-1≤f（-1）≤2,2≤f（1）≤4,求f（-2）的取值范圍。

分析：在我們沒學(xué)習(xí)線性規(guī)劃的之前，做這樣的題，我們只能先求出a,b的范圍，之后才能求出f（-2）的范圍，但是，求a,b的范圍我們是很容易出錯(cuò)的，而現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了線性規(guī)劃知識(shí)，那就無需按照老方法計(jì)算這樣的題。

做出以上不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，并做出平行線族4a-2b=Z，如圖。然后再從圖中尋找特殊點(diǎn)分別代值，即可求出目標(biāo)函數(shù)的最大值與最小值。

通過上述舉例論證，我們可以得出，簡(jiǎn)單線性規(guī)劃對(duì)解決不等式問題很有效。因?yàn)檫@種方法的習(xí)得，大大的方便了我們對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)科中難度問題的研究。雖然線性規(guī)劃知識(shí)在高中數(shù)學(xué)課程里是一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的知識(shí)系統(tǒng)，但它與直線方程、不等式、函數(shù)、圓錐曲線都是有緊密聯(lián)系的，學(xué)生解這一類題需要完美的將線性規(guī)劃知識(shí)和直線方程、不等式等知識(shí)相結(jié)合，通過老師在課堂上反復(fù)的給學(xué)生講解和操練，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解與掌握，學(xué)生在理清各種約束條件及目標(biāo)函數(shù)后，通過作圖建立可行域，便可將此類問題輕松解出。

（2）簡(jiǎn)單線性規(guī)劃在應(yīng)用性問題中的應(yīng)用

例24枝郁金香與5枝丁香的價(jià)格之和小于22元，而6枝郁金香與3枝丁香的價(jià)格之和大于24元，則2枝郁金香和3枝丁香的價(jià)格比較的結(jié)果是什么？

分析：首先，這道題并不是很難，學(xué)習(xí)過線性規(guī)劃知識(shí)的同學(xué)都能知道，題干中涉及兩種花的價(jià)格比較，這里可以直接采用設(shè)未知數(shù)來解決。我們就設(shè)郁金香價(jià)格為x元，丁香價(jià)格為y元，然后直接將兩者價(jià)格代入題干所給的信息，直接能得到幾個(gè)不等式，我們將所得不等式建立好模型。

解：設(shè)郁金香價(jià)格為x元，丁香價(jià)格為y元

目標(biāo)函數(shù)為Z=2x-3y

作出一組平行線2x-3y=t（t為參數(shù)），該平行線族會(huì)經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)，此時(shí)只需觀察t的正負(fù)即可。

由于直線4x+5y=22與6x+3y=24的交點(diǎn)為A（3，2）,直線2x-3y=0恰好經(jīng)過點(diǎn)A，因此經(jīng)過可行域的點(diǎn)且斜率為2/3的直線在y軸上的截距為負(fù)，即從而t＞0,所以目標(biāo)函數(shù)Z=2x-3y的值總是大于0.所以2枝郁金香比3枝丁香貴。

應(yīng)用型題目這些年來頻繁在各地中高考中出現(xiàn)，而調(diào)配人力、物力、資金的問題更是屢見不鮮，只能說明現(xiàn)在的中高考出題也越來越貼近生活。這方面也確切說明了解決生活中很多問題也離不開線性規(guī)劃知識(shí)的學(xué)習(xí)。同樣又體現(xiàn)了這一類問題雖然常常是考生覺得棘手的但又是不得不掌握的。不過現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了線性規(guī)劃，這類問題還是比較好解決的。

（3）簡(jiǎn)單線性規(guī)劃在解析幾何中的應(yīng)用

利用線性規(guī)劃“同側(cè)同號(hào)，異側(cè)異號(hào)”的結(jié)論，不僅可以求動(dòng)直線和定線段問題，無需畫圖，又可避免討論，而且還可以延伸到解決圓錐曲線中的問題，簡(jiǎn)潔明快。[2]

由上述可知，線性規(guī)劃在我們整個(gè)高中學(xué)習(xí)生涯中占了一定的主導(dǎo)地位，學(xué)好有關(guān)它的知識(shí)，對(duì)我們將來的學(xué)習(xí)和發(fā)展都十分有利。比如，有些愛好數(shù)學(xué)的小伙伴大學(xué)時(shí)填報(bào)與數(shù)學(xué)有關(guān)的專業(yè)，你有一定的有關(guān)線性規(guī)劃的基礎(chǔ)，你在學(xué)習(xí)運(yùn)籌學(xué)、解析幾何、數(shù)學(xué)建模等課程就比其他人多一點(diǎn)優(yōu)勢(shì)；再比如你想學(xué)習(xí)物理或計(jì)算機(jī)方面的專業(yè)，有時(shí)候建立模型也離不開我們之前學(xué)的線性規(guī)劃知識(shí)；再比如，一些小伙伴以后想從事與經(jīng)濟(jì)、管理等等有關(guān)的工作，這也離不開線性規(guī)劃知識(shí)的應(yīng)用。

2.線性規(guī)劃模型在生活中的應(yīng)用

線性規(guī)劃在生活中的應(yīng)用就可謂是無孔不入，它不像高中數(shù)學(xué)只是某幾個(gè)板塊才需要，而是大部分生活問題的解決都需要用到線性規(guī)劃知識(shí)。在實(shí)際生活中，我們所得到的約束條件可能就不像筆者在前面所舉例的題目中那小小的兩個(gè)了，所要求解的目標(biāo)函數(shù)可能也不止那么簡(jiǎn)單了。

首先，線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型的一般形式為：

目標(biāo)函數(shù)：max（min）z=c1x1+c2x2+...+cnxn

滿足的約束條件：

這就和我們之前涉及的只是兩個(gè)變量?jī)蓚€(gè)約束條件完全不是一個(gè)檔次了。一般來講，我們所建立的數(shù)學(xué)模型具有這幾個(gè)特點(diǎn)：（1）每個(gè)模型都有若干個(gè)決策變量，且這些變量都是非負(fù)的。（2）目標(biāo)函數(shù)是決策變量的線性函數(shù)，根據(jù)具體問題可以最大或最小化，二者統(tǒng)稱為最大化。（3）約束條件是線性函數(shù)。

我們將線性規(guī)劃的知識(shí)運(yùn)用到企業(yè)中去，可以使企業(yè)適應(yīng)市場(chǎng)激烈的競(jìng)爭(zhēng)，并及時(shí)、準(zhǔn)確、科學(xué)的制定生產(chǎn)計(jì)劃、投資計(jì)劃、對(duì)資源進(jìn)行合理配置。過去，企業(yè)在制定計(jì)劃、調(diào)整分配方面很困難，考慮到諸多因素，企業(yè)不可能做什么決定都去進(jìn)行人工測(cè)算，那樣真的是耗時(shí)耗力又耗資源，先不說在進(jìn)行人工測(cè)算之后所做的決斷對(duì)企業(yè)來說到底是盈利還是虧損，但這前期的投入可能就付諸東流了。[3]再者，人工預(yù)算也不能做到靈活機(jī)動(dòng)，若市場(chǎng)稍微出點(diǎn)變動(dòng)，之前所做的測(cè)算可能就得從頭再來。但是，如果我們運(yùn)用線性規(guī)劃知識(shí)并配合計(jì)算機(jī)建立模型進(jìn)行測(cè)算，就顯得主動(dòng)很多，這種方式簡(jiǎn)便易行，在短時(shí)間內(nèi)就能拿出最優(yōu)方案，不僅降低了成本，還提高了企業(yè)決策的科學(xué)性和可靠性。

將實(shí)際生活中的線性規(guī)劃問題，抽象為數(shù)學(xué)形式，目的在于找到解決問題的方法。為此，我們作以下一些討論。

例3：某工廠在計(jì)劃期內(nèi)要安排生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的設(shè)備臺(tái)時(shí)及A、B兩種原材料的消耗，如表1所示：

ⅠⅡ設(shè)備 1 2 8臺(tái)時(shí)原材料A 4 0 16kg原材料B 0 4 12kg

該廠每生產(chǎn)一件產(chǎn)品Ⅰ可獲得2元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品Ⅱ可獲利3元。問應(yīng)如何安排計(jì)劃，使該工廠在限定條件下獲利最多？

顯見，這個(gè)問題可以用以下的數(shù)學(xué)模型來描述：

設(shè)x1,x2分別表示在計(jì)劃期內(nèi)產(chǎn)品Ⅰ、Ⅱ的產(chǎn)量，因?yàn)樵O(shè)備的有效臺(tái)時(shí)8，這是一個(gè)限制產(chǎn)量的條件，所以確定產(chǎn)品Ⅰ、Ⅱ的產(chǎn)量時(shí)，要考慮不超過設(shè)備的有效臺(tái)時(shí)數(shù)，即可用不等式表示為:x1+2x2≤8.同理，因原材料的限量，可以得到兩個(gè)不等式：4x1≤16,4x2≤12.用z表示利潤，這時(shí)z=2x1+3x2,綜合上述，此計(jì)劃問題可用數(shù)字模型表示為：

數(shù)：z=2x1+3x2

根據(jù)約束條件作出可行域，找出滿足目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解便是最大獲利。這里只涉及兩個(gè)變量，因此我們可以不用計(jì)算機(jī)構(gòu)建模型。

企業(yè)在生產(chǎn)、運(yùn)輸、市場(chǎng)營銷等方面，不能很好的利用線性規(guī)劃進(jìn)行合理的配置，往往會(huì)造成增加企業(yè)生產(chǎn)卻不能使企業(yè)利潤達(dá)到最大化的局面，還有可能會(huì)造成另一種更為嚴(yán)重的局面，就是實(shí)踐模擬了一大堆之后發(fā)現(xiàn)計(jì)劃落了空，不管是哪一種局面，都會(huì)為企業(yè)造成不必要的資源浪費(fèi)。在競(jìng)爭(zhēng)日益激烈的今天，如果某個(gè)企業(yè)的管理還按照老辦法制定決策時(shí)采用人工測(cè)驗(yàn)，那么這個(gè)企業(yè)的發(fā)展前景是堪憂的。通過以上一系列舉例說明以及陳述，我們便能看出，線性規(guī)劃不光能解決高中課程中遇到的問題，比如高中數(shù)學(xué)中的不等式及函數(shù)應(yīng)用，還能解決我們生活中遇到的各種問題，比如求最大利潤或最小消耗等問題的最優(yōu)解。隨著線性規(guī)劃模型的發(fā)展，我們已經(jīng)看到了運(yùn)用線性規(guī)劃模型的必要性和重要性。