從“充分與必要”視角辨析一道三角題的解法

蘭詩全

(福建省古田縣第一中學(xué) 352200)

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，找到答案只是數(shù)學(xué)解題的前一半，更重要的是解題后的反思．“不思故無惑，不惑故無問，不問故無得．”為什么是正確的、為什么是錯誤的、錯在哪里呢，對這些“為什么”的追問一定可以大大提升分析、解決數(shù)學(xué)問題的能力．反思才能悟出其中的方法與思想，反思才能悟出問題的真本質(zhì)、真規(guī)律、真道理．

以下從充分與必要視角對一道題目的多種解法進(jìn)行正誤辨析，以示解題中要對充分與必要條件加以高度重視，理清思路、認(rèn)識到位、理解深刻，要發(fā)現(xiàn)規(guī)律，要揭示本質(zhì)，才能真正掌握知識，提高解題能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

題目

在銳角三角形

ABC

中，角

A

,

B

,

C

所對的邊為

a

,

b

,

c

，若

b

=

ac

，求cos

B

的取值范圍．錯解當(dāng)且僅當(dāng)

a

=

c

時取等號．又在銳角三角形

ABC

中，故cos

B

<1，所以cos

B

的取值范圍為

辨析

以上解法對嗎？為什么？銳角三角形

ABC

與等價嗎？顯然不等價，解題中條件的相互轉(zhuǎn)化一定要等價！銳角三角形

ABC

等價于角

A

,

B

,

C

都是銳角，以上解法只考慮到銳角三角形

ABC

的一個必要條件就得答案，一般會擴(kuò)大所求的取值范圍．錯解2 由

b

=

ac

，得

b

不是最長邊也不是最小邊，不妨設(shè)

a

≤

b

≤

c

，則

A

≤

B

≤

C

．又由△

ABC

為銳角三角形，且

A

+

B

+

C

=π，得2

B

+

C

≥π，所以2

B

≥π-

C

，由

C

為銳角，得即得又當(dāng)且僅當(dāng)

a

=

c

時取等號，所以cos

B

的取值范圍為

辨析

很多學(xué)生認(rèn)為以上解法是正確的，但事實(shí)上是錯誤的．這又是為什么？細(xì)想

b

=

ac

這個條件用到位了嗎？沒有用到位，沒有用充分！由

b

=

ac

?

b

不是最長邊也不是最小邊(不妨設(shè)

a

≤

b

≤

c

)?

A

≤

B

≤

C

，但反過來由

A

≤

B

≤

C

推不出

b

=

ac

，即

b

=

ac

內(nèi)在的本質(zhì)關(guān)系未充分利用，錯解2也是條件不等價變形造成的！利用已知條件的必要條件

A

≤

B

≤

C

來解答就得出問題的解，這與解法1類似，往往會擴(kuò)大所求的取值范圍．錯解3 由

b

=

ac

，得

b

不是最長邊也不是最小邊，不妨設(shè)

a

≤

b

≤

c

，則

A

≤

B

≤

C

．由△

ABC

為銳角三角形且

b

=

ac

?

C

為銳角且

b

=

ac

?0C

<1且且

b

=

ac

設(shè)則所以

辨析

cos

B

的最大范圍為[-1,1]，所以cos

B

的范圍不可能是不是利用了

b

=

ac

的準(zhǔn)確數(shù)量關(guān)系了嗎？不是關(guān)注了條件的轉(zhuǎn)化要等價嗎？又錯在哪里？不斷追問，問個水落石出！原來

a

≤

b

≤

c

這個條件還沒用到位，由

a

≤

b

≤

c

應(yīng)有所以解法3中應(yīng)得故有以下正確解法．正解1 由

b

=

ac

，得

b

不是最長邊也不是最小邊，不妨設(shè)

a

≤

b

≤

c

，則

A

≤

B

≤

C

．由△

ABC

為銳角三角形且

b

=

ac

及

a

≤

b

≤

c

?

C

為銳角且

b

=

ac

且

設(shè)則∈

所以

辨析

以上解法正確嗎？“水本無華，相蕩乃成漣漪；石本無火，相擊而發(fā)靈光．”經(jīng)過廣泛討論，積極思考后又有學(xué)生認(rèn)為不對，理由是因?yàn)槭紫纫獦?gòu)成三角形，從而在上述解法的基礎(chǔ)上還應(yīng)滿足條件

a

+

b

>

c

，故有以下正解2．正解2 在正解1的基礎(chǔ)上還應(yīng)滿足

a

+

b

>

c

，即再由正解1得后同正解1．

辨析

正解1與正解2的最后答案是一樣的，這是偶然還是必然？要想找出內(nèi)在本質(zhì)規(guī)律，要想打破砂鍋問到底，此問題還應(yīng)從以下命題說起．

命題

已知三個正實(shí)數(shù)

a

,

b

,

c

，且

a

≤

b

≤

c

，角

C

∈(0,π)，若滿足則

a

+

b

>

c

．證明 因?yàn)?<

C

<π，所以因?yàn)?p>a

,

b

,

c

>0，所以故從而

a

+

b

>

c

．這說明，滿足余弦定理形式的三邊

a

,

b

,

c

一定能構(gòu)成三角形．本題中，

C

為銳角故正解2中考慮

a

+

b

>

c

是多余的，正解1的解答為最佳．

經(jīng)常性地像這樣進(jìn)行數(shù)學(xué)問題辨析，錯中求正、敗中求勝，數(shù)學(xué)問題將越辨越清，認(rèn)識將越來越深刻．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)若不能揭示問題的本質(zhì)，則對知識方法認(rèn)識依然“云里霧里”，不能從錯誤的陰影中真正走出來，不能從正確中掌握規(guī)律，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的大忌．以上辨析說明，對充要條件是否準(zhǔn)確應(yīng)用直接關(guān)系到解題的成敗，許多時候解題出錯都是因?yàn)槌湟P(guān)系沒用對，對充要條件的應(yīng)用要特別注意，已知條件的相互轉(zhuǎn)化要注意充要性，一定要利用已知條件或與已知等價的條件來解題，這是本質(zhì)，這是關(guān)鍵．

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