課程視域下的數(shù)學單元作業(yè)重構
——以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質復習課為例

韋慶賀

(江蘇省連云港市厲莊高級中學 222121)

1 引言

《學記》中說“時教必有正業(yè),退息必有居學”，其中“居學”指課外作業(yè)，作業(yè)是達到“學以致用”和“以用促學”的重要手段.在教學過程中，為保證學生掌握知識的持久性和提升知識運用的靈活性，很多教師無力采取其他途徑，只有通過大量、重復的作業(yè)訓練，讓學生收集各種題型，以緩解學生在考試過程中面對新題型而產生的陌生感．隨著課程改革的進一步深化,如何利用作業(yè)提升教學質量和促進學生發(fā)展是一線教師亟待解決的問題．2019年國務院辦公廳印發(fā)了《關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》，提出提高作業(yè)設計質量，精心設計基礎性作業(yè)，適當增加探究性、實踐性、綜合性作業(yè)．作業(yè)設計要從學習活動整體考慮，系統(tǒng)、科學、合理設計不同層次的作業(yè)，引導學生自覺預習、及時整理和鞏固所學知識，養(yǎng)成良好的學習習慣．

2 單元作業(yè)有關概述

單元作業(yè)是為某個教學單元所設計的所有作業(yè)的總和．合理的單元作業(yè)應具有整體性、結構化和進階性的特點．單元作業(yè)可以增強同一單元不同課時作業(yè)之間的結構性和遞進性，減少一些僅僅針對低水平目標、反復操練性質的作業(yè)，進而留出時間增加發(fā)展高階思維、關鍵能力的作業(yè)比例，有助于發(fā)展學生的學科核心素養(yǎng)．

3 單元作業(yè)重構的教學實踐

根據(jù)課堂內容設計單元作業(yè)，本節(jié)課內容 為高三復習課:指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質．

3.1 教學目標

(1)理解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質；

(2)能夠利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質解決比較大小，會用研究函數(shù)性質的一般方法研究簡單的復合函數(shù)性質；

(3)解決簡單的含參復合函數(shù)、抽象函數(shù)不等式恒成立及存在性、函數(shù)零點等問題，體會從特殊到一般、數(shù)形結合、函數(shù)與方程等數(shù)學思想方法，發(fā)展學生數(shù)學運算、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)．

3.2 教學重點和難點

本節(jié)課教學重點和教學難點主要體現(xiàn)于兩個層面：一是掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質，會應用函數(shù)性質解決簡單問題；二是解決不等式恒成立、存在性等問題的常用方法，會運用數(shù)形結合、函數(shù)與方程等思想方法解決問題．

3.3 教學過程

引題

若不等式4>log

x

在上有解，則

a

的取值范圍是

.

設計意圖

此題入口寬，回顧指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質，回顧解決不等式存在性問題及恒成立問題的常用方法，激活學生思維．

例題

已知函數(shù)

f

(

x

)=

a

+

b

，其中

a

>0且

a

≠1，

b

>0且

b

≠1．(1)請寫出一組數(shù)對(

a

,

b

)，使函數(shù)

f

(

x

)為偶函數(shù)

.

(2)設給出以下三個條件：①方程

f

(

x

)-

k

=0在[-1,2]上有兩個實根；②對任意的

x

∈[-1，2],使

f

(

x

)≤

k

恒成立；③存在

x

∈[-1，2],使得不等式

f

(

x

)+

x

-

k

>0成立

.

從這三個條件中任選一個作為已知條件，求

k

的取值范圍．

設計意圖

第(1)問以兩個指數(shù)函數(shù)“疊加”形式呈現(xiàn),給學生一個相對陌生的情境,并用“例題”的形式給出,是學生相對陌生的設問情境,激發(fā)其探究欲望,幫助回顧研究函數(shù)性質的基本方法

.

第(2)問以“結構不良”的形式設問,是新高考中的常見題型,不同的學生根據(jù)自身認知結構選擇條件嘗試解決,掌握解決復合函數(shù)方程根的問題、不等式恒成立問題、不等式存在性問題的常用方法與基本數(shù)學思想．變式1：已知函數(shù)

f

(

x

)=

a

+

b

，其中

a

>0且

a

≠1，

b

>0且

b

≠1

.

設對任意的

x

∈

R

，

f

(2

x

)≥

mf

(

x

)-6恒成立，求

m

的最大值．

設計意圖

此題仍是一個恒成立問題，但與例題第(2)問中的恒成立問題相比較，需要對不等式進一步的觀察與發(fā)現(xiàn)，找出與之間的關系，從而將不等式恒成立轉化為不等式

t

-

mt

+4≥0對任意的

x

∈[2，+∞)恒成立的問題

.

對學生來說仍是一個“新情境(數(shù)學情境)”的問題，旨在激活和發(fā)展學生的高階思維能力，提升學生數(shù)學運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)．變式2：已知函數(shù)

f

(

x

)=

a

-

b

為奇函數(shù)，其中

a

>0且

a

≠1，

b

>0且

b

≠1

.

若

a

>

b

,對任意

x

∈[2,4]，不等式≥0恒成立，求

a

的取值范圍．

設計意圖

將研究對象

f

(

x

)=

a

+

b

為偶函數(shù)改為研究

f

(

x

)=

a

-

b

為奇函數(shù)，結構形式上的相似及研究方法的相似，能較好地保持學生思維的連續(xù)性，使其思維處在高階狀態(tài)

.

但此變式并沒有給出具體的

a

,

b

的值(這也是此題的另一個難點)，這需要學生調動研究抽象函數(shù)不等式問題的常用方法——轉化為“作用對象”大小關系問題．滲透類比思想、轉化與化歸思想，培養(yǎng)學生的邏輯推理、數(shù)學抽象等數(shù)學核心素養(yǎng)．

3

.

4 課堂小結

(1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質；

(2)利用函數(shù)性質解決相關方程有根(或函數(shù)存在零點)、不等式有解或恒成立問題的方法與思想；

(3)解決函數(shù)問題，特別要關注數(shù)形結合、化歸與轉化、分類討論思想的應用．

4 單元作業(yè)重構中的幾個原則

4

.

1 合理設計基礎性作業(yè)

作業(yè)1：已知集合則

M

∩

N

=( )

.

作業(yè)2：已知

f

(

x

)=|lg

x

|，若則( )

.

A

.a

<

b

<

c

B

.b

<

c

<

a

C

.c

<

a

<

b

D

.c

<

b

<

a

題目來源及意圖

作業(yè)1和作業(yè)2來源于人教A版《普通高中教科書高中·數(shù)學(必修第一冊)》復習參考題4，這兩道題旨在幫助學生回憶指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質，并利用單調性進行比較大小、求值域等，體現(xiàn)作業(yè)的基礎性原則，對應教學目標(1)．

教材是課程實施的重要載體，是教師設計作業(yè)的重要依據(jù)，明確教材中單元學習的目的和任務，并以此為標準設計整個單元的作業(yè)體系，才能確保作業(yè)設計不超綱、不走樣．

4

.

2 科學設計鞏固性作業(yè)

作業(yè)3：設函數(shù)

f

(

x

)=ln|2

x

+1|- ln|2

x

-1|，則

f

(

x

)( )

.

A

.

是偶函數(shù)，且在上單調遞增B

.

是奇函數(shù)，且在上單調遞減C

.

是偶函數(shù)，且在上單調遞增D

.

是奇函數(shù)，且在上單調遞減作業(yè)4：已知函數(shù)

f

(

x

)=2+

x

，

g

(

x

)= log

x

+

x

，

h

(

x

)=

x

+

x

的零點分別為

a

,

b

,

c

，則

a

,

b

,

c

的大小順序是

.

題目來源及意圖

作業(yè)3來源于教輔精選，考查復合函數(shù)性質的一般研究方法

.

作業(yè)4來源于人教A版《普通高中教科書高中·數(shù)學(必修第一冊)》復習參考題4，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結合的思想方法，這兩題體現(xiàn)作業(yè)的鞏固性原則，對應教學目標(2)

.

作業(yè)5：(多選)已知函數(shù)則下列結論正確的是( )

.

A

.f

(

x

)為奇函數(shù)，

g

(

x

)為偶函數(shù)B

.

對任意

x

，

x

∈

R

，且

x

≠

x

，都有C

.

對任意

x

，

x

∈

R

，且

x

≠

x

，都有D

.

函數(shù)

f

(

x

)與

g

(

x

)既無最小值，也無最大值作業(yè)6：(多選)已知函數(shù)且

a

≠1)，則下列說法正確的是( )

.

A

.

函數(shù)

f

(

x

)為偶函數(shù)B

.

當

a

>1時,函數(shù)在

f

(

x

)在(0，+∞)上為減函數(shù)C

.

方程沒有實數(shù)解D

.

當時，函數(shù)

f

(

x

)-

t

有兩個零點

題目來源及意圖

作業(yè)5和作業(yè)6來源于教輔精選，考查研究復合函數(shù)性質的一般方法、數(shù)形結合思想等，與課堂例題相匹配，體現(xiàn)作業(yè)的鞏固性原則,對應教學目標(2)、(3)．

4

.

3 適度設計拓展性作業(yè)

作業(yè)7：已知函數(shù)則

y

=

f

(

f

(

x

))-1的零點個數(shù)為

.

題目來源及意圖

作業(yè)7為教輔改編題

.

本節(jié)課課堂上沒有出現(xiàn)“迭代函數(shù)”的相關例題及處理方法，但本題是一個利用數(shù)形結合解決問題的典型問題

.

設計在作業(yè)中，可以給部分優(yōu)生一個自主探索發(fā)現(xiàn)的機會，并在此過程中進一步感悟數(shù)形結合思想，體現(xiàn)作業(yè)的拓展性原則，對應教學目標(3)．

4

.

4 優(yōu)化設計綜合性作業(yè)

作業(yè)8：設函數(shù)

f

(

x

)=log(4+

a

·2-1)，

x

∈[0,1]

.

(1)若

a

=1，求方程

f

(

x

)+

x

=0的根；(2)若方程

f

(

x

)+

x

=0在[0,1]上無實數(shù)根，求實數(shù)

a

的取值范圍．

題目來源及意圖

作業(yè)8為教輔改編題，此題考查指對數(shù)運算、指對數(shù)函數(shù)的性質、恒成立問題、方程根的存在性問題等．問題分析和解決過程，體現(xiàn)了作業(yè)設計中注重方法指導、思維過程的表達與交流等功能，對應教學目標(3)．

4

.

5 創(chuàng)新設計新情境作業(yè)

作業(yè)9：對于定義在[

p

,

q

]上的函數(shù)

m

(

x

)，設

x

=

p

，

x

=

q

，用任意的

x

(

i

=1,2,…,

n

-1)將[

p

,

q

]劃分成

n

個小區(qū)間，其中

x

-1<

x

<

x

+1，若存在一個常數(shù)

M

>0，使得|

m

(

x

)-

m

(

x

)|+|

m

(

x

)-

m

(

x

)|+…+ |

m

(

x

-1)-

m

(

x

)|≤

M

恒成立，則稱函數(shù)

m

(

x

)為在[

p

,

q

]上的有界變差函數(shù)

.

(1)證明函數(shù)

f

(

x

)=2+2-是在[0,2]上的有界變差函數(shù)，并求出

M

的最小值；(2)寫出一個

f

(

x

)在[

p

,

q

]上是有界變差函數(shù)的充分條件，使上述結論成為其特例(不要求證明)

.

題目來源及意圖

作業(yè)9改編自2021年上海市期末考題，是一個“新定義”情境下的問題

.

首先，要熟悉函數(shù)

f

(

x

)=2+2-的性質(這是對課堂內容的回顧),其次需要從題干信息中分析出

M

的求法，考查學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng),對應教學目標(3)．

在強調作業(yè)“減負增效”的背景下,教師應當轉變觀念,科學評估作業(yè)質與量的關系．數(shù)學單元作業(yè)重構應貫徹全面育人理念，關注學生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成,關注學生個體間的差異,關注各學科各階段作業(yè)量,關注五育教育融合,助力每位學生全面發(fā)展．