高中數(shù)學課堂教學中落實直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)的設(shè)計

201600 上海市松江一中 曹素玲

伴隨著新一輪課程改革的推進及新教材的實施，如何落實數(shù)學核心素養(yǎng)，提高課堂教學效率成為廣大教師面臨和亟需解決的問題

.

與此同時，課堂教學作為落實教育教學的“主戰(zhàn)場”，便自然而然地成為培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的主要陣地

.

直觀想象素養(yǎng)作為數(shù)學六大核心素養(yǎng)之一，是學生數(shù)學學習過程中必不可少的一種基本素養(yǎng)，它是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng)

.

筆者結(jié)合具體實例，闡述直觀想象素養(yǎng)在高中數(shù)學課堂教學中的培養(yǎng)

.

一、 注重教學情境的創(chuàng)設(shè)，激發(fā)學生學習的興趣

在教學中要合理創(chuàng)設(shè)直觀情境，其中包括實際情境、科學情境、數(shù)學情境、歷史情境等

.

合理創(chuàng)設(shè)情境便于學生理解學習內(nèi)容和要完成的任務，能夠激發(fā)學生的興趣和熱情，也有利于提高學生應用數(shù)學的能力

.

例如，對于“函數(shù)的單調(diào)性”一節(jié)的引入環(huán)節(jié)進行如下設(shè)計

.

情境1

回顧我們之前學習過的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像，分別說說當

a

>1和0<

a

<1時，圖像所表現(xiàn)出的趨勢如何？指數(shù)函數(shù)圖像如表1所示

.

表1

y=axa>10<a<1圖像

對數(shù)函數(shù)圖像如表2所示

.

表2

y=logaxa>10<a<1圖像

設(shè)計意圖：

新教材對函數(shù)的編排做了很大的調(diào)整，將指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)提到函數(shù)的概念之前，體現(xiàn)了由特殊到一般的思想，順應學生的認知發(fā)展規(guī)律，便于學生由具體函數(shù)直觀地認識函數(shù)的性質(zhì)

.

本節(jié)課從學生熟悉的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖像入手創(chuàng)設(shè)情境，讓學生直觀感受圖像中“當

a

>1時，

y

隨

x

的增大而增大”和“當0<

a

<1時，

y

隨

x

的增大而減小”的趨勢，在感知函數(shù)值增減變化的過程中，推動學生對單調(diào)性由形到數(shù)的認識，將感性認識升華為理性認識

.

情境2

氣溫曲線你注意過一天之內(nèi)的氣溫變化嗎？請根據(jù)我市某日氣溫隨時間變化的曲線圖(如圖1所示)，說說氣溫的變化情況

.

圖1

設(shè)計意圖：

氣溫波動是學生在現(xiàn)實生活中能夠切實感受到的，借助學生實際生活的感受經(jīng)驗引入，讓學生感受氣溫在某個時間段“上升”“下降”的趨勢與圖像單調(diào)性的聯(lián)系，初步獲得對函數(shù)單調(diào)性的感性認識，為理性概念的生成做鋪墊

.

理解函數(shù)單調(diào)性的形式定義僅僅是理解函數(shù)性質(zhì)的一部分，在教學中，教師也要培養(yǎng)學生的模型意識，使學生在頭腦中“留住”一批具體的函數(shù)模型，這樣不僅可以幫助學生提升直觀想象素養(yǎng)，還可以對輔助函數(shù)性質(zhì)的教學起到事半功倍的效果

.

二、 注重實物模型的制作，增進直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展

從平面幾何過渡到立體幾何時，思維方式會發(fā)生較大的變化

.

從以往學生的數(shù)學學習經(jīng)驗來看，很多學生不具備從二維空間迅速切換到三維空間的能力，尤其對于空間想象能力欠發(fā)達的學生來說，他們遇到的困難更大

.

因此，教師在進行立體幾何教學時，可引導學生親手制作立體幾何模型，通過觀察現(xiàn)實模型，恰當運用類比思想，不斷培養(yǎng)、發(fā)展和完善學生的直觀素養(yǎng)

.

例如，讓學生動手制作圓錐模型，觀察從圓錐側(cè)面沿母線剪開得到的展開圖是扇形，在此基礎(chǔ)上，教師再啟發(fā)引導學生尋找平面幾何與立體幾何之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)扇形弧長與底面圓周長相等，從而掌握二者間的轉(zhuǎn)化

.

除了制作模型，教師還要引導學生通過對模型的理解與洞察將問題直觀化

.

例如，在講解“多面體的表面積”時，筆者布置了一道2005年的高考題作為拓展題

.

有兩個相同的直三棱柱，高為底面三角形的三邊長分別為3

a

,4

a

,5

a

(

a

>0)，請同學們動手制作模型并解決以下問題

.

(1)用它們能拼成什么樣的幾何體？

(2)在所有可能拼成的直四棱柱情形中，全面積最小的是哪一個？全面積是多少？

(3)在所有的情形中，全面積最小的是一個四棱柱，求

a

的取值范圍

.

設(shè)計意圖：

模型是想象的基礎(chǔ)，通過利用模型，學生可以更容易地理解和推理數(shù)學問題，本題主要考查棱柱的側(cè)面積和表面積，學生通過動手制作模型，拼接模型，很快就會發(fā)現(xiàn)這兩個直三棱柱可以拼成一個直三棱柱和三個直四棱柱，接著根據(jù)公式分別求出棱柱的側(cè)面積和表面積，通過比較，問題就迎刃而解了

.

空間想象能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，在學習立體幾何之初，教師一定要多注重實物模型演示，讓學生多運用直觀感知、操作確認、度量計算等認識和探索空間圖形的性質(zhì)，逐步發(fā)展空間想象能力，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)

.

三、 注重多媒體技術(shù)的運用，促進直觀表象能力的形成

多媒體在新課程改革的背景之下?lián)斨匾慕巧诮虒W過程中有著不可替代的作用

.

由于信息技術(shù)具有較強的直觀性，可以將靜態(tài)的數(shù)學課堂轉(zhuǎn)化為動態(tài)的數(shù)學課堂，在很短的時間內(nèi)吸引學生的眼球，所以，在教學過程中應當注重相關(guān)教學軟件的應用

.

在研究

A

,

ω

,

φ

對函數(shù)

y

=

A

sin(

ωx

+

φ

)的影響時，可以先給

ω

賦值，然后通過對比各個圖像之間的差異，利用幾何直觀感受參數(shù)

ω

對函數(shù)的影響

.

例如，通過作出函數(shù)

y

=2sin

x

和及

y

=sin2

x

和的圖像，發(fā)現(xiàn)其與函數(shù)

y

=sin

x

圖像的區(qū)別和聯(lián)系

.

在此基礎(chǔ)上，通過對圖像的觀察，結(jié)合函數(shù)表達式進一步討論、抽象、歸納出參數(shù)

A

，

ω

對函數(shù)圖像及周期的影響，利用同樣的方法可以探究

φ

對函數(shù)的影響，最后得出結(jié)論

.

(如圖2所示)

圖2

又如，在講解由函數(shù)

y

=sin

x

的圖像經(jīng)過怎樣的變換得到的圖像時，兩種方法的分解圖分別如圖3-1、圖3-2所示

.

方法1：

先伸縮后平移(如圖3-1所示)

.

方法2：

先平移后伸縮(如圖3-2所示)

.

圖3-1

圖3-2

設(shè)計意圖：

函數(shù)

y

=

A

sin(

ωx

+

φ

)的圖像與性質(zhì)是三角函數(shù)中的一個較為抽象的內(nèi)容，在較為抽象的數(shù)學知識的教學過程中，應該充分利用多媒體技術(shù)，形象地揭示知識的產(chǎn)生或變化過程，在動態(tài)的分析探究中深化對概念的認知，促進學生直觀表象能力的形成

.

四、 注重數(shù)形結(jié)合的滲透，促進直觀素養(yǎng)的提升

直觀想象是學生發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題，分析和解決數(shù)學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)

.

直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一朝一夕能夠完成的，它需要教師在教學過程中不斷引導學生深入挖掘題目的條件，發(fā)現(xiàn)條件背后隱藏的數(shù)學思想方法，并盡可能幫助學生形成一些有用的“數(shù)學模型”

.

學生遇到新問題時，能對問題直觀地進行判斷，甚至無需論證推理就能直接看出一些結(jié)論，然后再運用相關(guān)結(jié)論解決問題

.

筆者在向量的習題課中選取了這樣一道例題

.

在△

ABC

中，若為

BC

邊的三等分點，則________

.

向量是數(shù)學中“形”與“數(shù)”的統(tǒng)一，它不僅具有幾何的“形”，還有“數(shù)”的特點．向量的“形”不僅是學生理解概念的一種直觀的方法，也可以為學生提供解決問題的思路

.

本題看似考查向量數(shù)量積的運算，而實質(zhì)考查向量的“距離”

.

在解決問題之前，學生需要明確兩點

.

(1)對于有公共始點的兩向量的和與差的模分別表示相應平行四邊形的兩對角線長，對角線長相等的平行四邊形一定是矩形

.

(2)有公共點的兩向量的和的模即為△

AEF

第三邊

EF

對應的中線長

AG

的兩倍

.

教材只講解了向量的幾何表示、三角形法則、四邊形法則等，它讓向量具備了“形”的特征，但對于條件表示矩形，△

AEF

中的和的模為第三邊

EF

對應的中線長

AG

的兩倍，則屬于需要學生積累的基本模型

.

明確這兩點之后就可以畫出圖形了(如圖4所示)

.

圖4

解答：

由知

AB

⊥

AC

，由

AB

=2，

AC

=1得因為

E

，

F

為

BC

邊的三等分點，取

EF

的中點

G

，則在△

AEF

中，由可得故

設(shè)計意圖：

知識的積累依賴于直觀，數(shù)形結(jié)合思想正是數(shù)學核心素養(yǎng)中“直觀想象”的體現(xiàn)

.

在處理本題時，正因為抓住了“公共始點”“和”“差”“模”“數(shù)量積”等關(guān)鍵詞，把向量問題轉(zhuǎn)化成三角形或四邊形中的“距離”問題，才達到了數(shù)形轉(zhuǎn)化的目的

.

在教學中，要增強學生運用“直觀想象”思考問題的意識，提高學生數(shù)學素養(yǎng)

.

直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)不是在短時間內(nèi)就能完成的，它需要依托具體的數(shù)學知識與方法，在數(shù)學知識的學習、數(shù)學思想方法的掌握過程中，通過逐步積累、領(lǐng)悟、內(nèi)省形成

.

對于絕大多數(shù)學生來說，數(shù)學能力的形成與數(shù)學核心素養(yǎng)的提升主要依賴于(或源于)數(shù)學課堂，因此，在結(jié)合新教材備課的過程中，教師要多思考教材編寫者的意圖是什么，教師應該向?qū)W生教什么，怎么教，這樣才能使直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)得到有效體現(xiàn)與落實

.