數(shù)形結(jié)合下初中數(shù)學(xué)典型題解題策略探究

◎張嘉銘

(廣東省惠州市惠陽區(qū)第一中學(xué),廣東 惠州 516211)

數(shù)形結(jié)合的解題思想主要利用了數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，繪制出同其相對應(yīng)的數(shù)學(xué)圖形，同時通過對圖形特點及規(guī)律的運用，使數(shù)學(xué)問題得到解決，或是將圖形轉(zhuǎn)化為代數(shù)，無須推理，便將要解答的問題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)量關(guān)系數(shù)形結(jié)合的思想也可以使學(xué)生對于數(shù)學(xué)問題的解題效率變得更加高效，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升，為以后數(shù)學(xué)的高效學(xué)習(xí)做好充分的準(zhǔn)備

一、在數(shù)形結(jié)合下解典型數(shù)學(xué)問題的意義

(一)有利于提升數(shù)學(xué)解題的效率和質(zhì)量

對初中數(shù)學(xué)這門學(xué)科來說，它的很多內(nèi)容都是比較抽象的，使得學(xué)生理解起來比較困難在解題的過程中運用數(shù)形結(jié)合的解題思想，可以將抽象的數(shù)學(xué)問題通過圖形的形式進行直觀的表達，加強學(xué)生對數(shù)學(xué)題目的理解，從而有利于學(xué)生提升數(shù)學(xué)解題的效率和解題質(zhì)量

(二)有利于促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維模式的構(gòu)建

數(shù)學(xué)對學(xué)生抽象思維、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)都具有重要的作用在數(shù)形結(jié)合的背景下開展初中數(shù)學(xué)的典型題解題，可以有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維模式、數(shù)學(xué)解題思路，使學(xué)生在解決數(shù)學(xué)的復(fù)雜問題的時候可以自如運用數(shù)學(xué)的模型等方式，將復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問題簡單化，促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的高效培養(yǎng)，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的構(gòu)建

(三)有利于促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的運用

在新課程標(biāo)準(zhǔn)改革的背景下，初中數(shù)學(xué)不僅要幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能，還要求學(xué)生可以將所學(xué)的知識靈活運用到實際問題的解決中，建立起科學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法因此，在解題的過程中運用數(shù)形結(jié)合的解題方法，有利于促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的運用

二、數(shù)形結(jié)合下初中數(shù)學(xué)典型題解題的策略

(一)數(shù)形結(jié)合思想在解有關(guān)圓的相關(guān)問題的應(yīng)用

(1)求點的縱坐標(biāo)；

(2)如圖2，以為直徑作圓，交直線于，交圓于，聯(lián)結(jié)并延長交于，求△的面積；

(3)另有一圓過點，與軸切于點，與直線交于點、，求證：·=2

圖1

圖2

在做題的過程中運用數(shù)形結(jié)合的解題方法，可以將上述題目中的數(shù)據(jù)或有關(guān)的描述在數(shù)學(xué)的圖形中展示出來，以利于學(xué)生對數(shù)學(xué)題目有一個直觀的理解，促進解題的高效開展，也促進學(xué)生對相關(guān)問題解決思路的把握

(二)數(shù)形結(jié)合的解題思想在銳角三角函數(shù)解題中的運用

很多數(shù)學(xué)問題在解題的過程中是比較抽象的，不利于學(xué)生理解對于初中階段的學(xué)生來說，他們的抽象思維還沒有得到完全的發(fā)展，對于一些難以理解的問題其解題思路是薄弱的，這就會導(dǎo)致學(xué)生對于數(shù)學(xué)問題失去學(xué)習(xí)的興趣，致使學(xué)生的抽象思維和抽象能力得不到及時的發(fā)展比如初中數(shù)學(xué)中的銳角三角函數(shù)這部分知識，很多學(xué)生對三角形中的函數(shù)是第一次接觸，那么對于一些題目理解不清也是正常的現(xiàn)象在解題的過程中，教師應(yīng)該發(fā)揮對學(xué)生的引導(dǎo)作用，巧妙地借助數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法，將與題目相關(guān)的數(shù)學(xué)關(guān)系通過圖形的形式進行展現(xiàn)，幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解題目例如：會堂里豎直掛著一條幅，如圖3，小剛從與水平的點觀察，∠=30°，當(dāng)他沿方向前進2米到達點時，視角∠=45°，求條幅的長度如果只是對文字進行解讀，對其中的很多知識是很難完全把握的，但是在圖形的輔助下，就會對題目的要求有更深層次的理解

圖3

(三)數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)解題中的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，二次函數(shù)也是一個不可忽視的內(nèi)容，是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時，教師一般會先帶領(lǐng)學(xué)生充分認識二次函數(shù)的相關(guān)定義和二次函數(shù)的性質(zhì)，這就需要結(jié)合二次函數(shù)的圖像來理解數(shù)形結(jié)合的思想可以使學(xué)生對二次函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容理解得更加透徹比如二次函數(shù)的定義：一般地，把形如=++(、、是常數(shù))的函數(shù)叫作二次函數(shù)，其中稱為二次項系數(shù)，為一次項系數(shù)，為常數(shù)項為自變量，為因變量等號右邊自變量的最高次數(shù)是2二次函數(shù)的圖像是一條對稱軸與軸平行或重合的拋物線二次函數(shù)的主要圖像如圖4所示

圖4

對函數(shù)的基本圖像掌握之后，其對稱軸、開口方向之類的性質(zhì)就可以巧妙地借助于二次函數(shù)的圖像進行了解在對二次函數(shù)的基本內(nèi)容了解之后，有關(guān)二次函數(shù)的相關(guān)題目也可通過數(shù)形結(jié)合來解決

(四)數(shù)形結(jié)合思想在一元二次方程解題中的應(yīng)用

在有關(guān)一元二次方程的題目中，最常見的一類問題就是航海問題在解這類數(shù)學(xué)問題的時候，僅僅依靠題目的內(nèi)容是很難將題目中的要求弄懂的，對于題目的理解往往需要配合相關(guān)的圖形比如：某海軍基地位于處，在其正南方向200海里處有一重要目標(biāo)，在的正東方向200海里處有一重要目標(biāo)，小島恰好位于的中點，島上有一補給碼頭小島位于上且恰好處于小島的正南方一艘軍艦從出發(fā),經(jīng)到勻速巡航，一艘補給船同時從出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送往軍艦

(1)小島和小島相距多少海里?

(2)已知軍艦的速度是補給船的05倍，軍艦在由到的途中與補給船相遇于處，那么相遇時補給船航行了多少海里?(精確到01海里)

在解這道題的過程中，由于題目的敘述比較長，看完題目內(nèi)容就已經(jīng)一頭霧水，更不用提繼續(xù)做題了如果借助數(shù)形結(jié)合的思想，將題目中的數(shù)量關(guān)系用圖的形式展現(xiàn)出來，學(xué)生就可以對題目中的要求有直觀的了解(如圖5所示)

圖5

運用數(shù)形結(jié)合思想進行此類問題的解決，可以使學(xué)生對問題有直觀的把握，促進問題解決效率的提升，也促進學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的理解，提升讀題解題的能力

(五)數(shù)形結(jié)合思想在勾股定理解題中的應(yīng)用

圖6

(六)數(shù)形結(jié)合思維在不等式解題中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合可以有效提升學(xué)生的思維能力，將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系與直觀圖形結(jié)合，以減小解題的難度實際解題過程中，學(xué)生可以根據(jù)題目內(nèi)容，將已知條件轉(zhuǎn)化為圖形來獲取答案初中階段數(shù)的最大范圍是實數(shù)，點是最簡單的幾何圖形，通過數(shù)軸可以將兩個不同的事物建立緊密的聯(lián)系數(shù)軸是解決數(shù)學(xué)問題的重要途徑之一比如：解不等式|-3|-|+5|>2解題過程中可以借助數(shù)軸進行表示，如圖7所示|-3|和|+5|分別表示點到點、的距離，可以假設(shè)一個點使-=2，由圖可知，表示數(shù)字-2時，|-3|-|+5|=2，所以不等式的解集為<-2解這一題時，通過數(shù)形結(jié)合，可以將復(fù)雜的問題化為比較簡單的問題，同時能有效鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力

圖7

(七)數(shù)形結(jié)合思維在平行四邊形解題中的應(yīng)用

平行四邊形的應(yīng)用是中考的一項重要內(nèi)容，并且數(shù)形結(jié)合思想在平時解題過程中也發(fā)揮著重要的作用初中數(shù)學(xué)知識所涉及的范圍較廣，不能局限于應(yīng)對考試，要注重培養(yǎng)學(xué)生正確的思維方式和學(xué)習(xí)方法，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力數(shù)形結(jié)合思維有助于學(xué)生更加直觀地理解概念原理及結(jié)構(gòu)關(guān)系等，能夠大大豐富學(xué)生解題的思路，進而達到一題多解、舉一反三比如：如圖8，菱形中點是邊的中點，點是邊上一動點(不與點重合)，延長交射線于點，聯(lián)結(jié)、求證：無論在何處，四邊形都是平行四邊形

圖8

解題過程中，首先要厘清平行四邊形的一些相關(guān)概念，而后進行解答

證明：∵四邊形是菱形，∴∥，∴∠=∠，∠=∠∵為的中點，∴=，∴△≌△，∴=，又=，∴無論在何處，四邊形都是平行四邊形

通過數(shù)形結(jié)合的思維進行解題，學(xué)生可以更加直觀地找出相關(guān)判定條件，有效鍛煉解題思維，大幅提升學(xué)習(xí)成績

(八)數(shù)形結(jié)合思維在概率解題中的應(yīng)用

圖9

(九)數(shù)形結(jié)合思維在相似三角性的判定中的應(yīng)用

圖10

從數(shù)學(xué)視角來看，如果教學(xué)過程中只注重結(jié)論，而忽視教學(xué)過程，將生動的過程變成刻板的程序，會嚴重阻礙學(xué)生個性思維的發(fā)展數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維，以此豐富學(xué)生獲得知識的體驗，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，鞏固學(xué)生學(xué)到的知識

比如：如圖10所示，點、在上，且∥，∥求證：△∽△這道題主要考查三角形相似的判定定理：(1)如果三角形的兩對角相等，那么這兩個三角形相似；如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似；如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似

證明：根據(jù)∥，∥，就可以得出∠=∠，∠=∠，根據(jù)三角形的判定定理，即可得出△∽△

通過這道題可以看出數(shù)形結(jié)合的重要性，如果解題過程中只有理論知識，而沒有圖形的輔助，學(xué)生將很難進行解題運用數(shù)形結(jié)合的方法答題，可以有效培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力為了有效促進數(shù)形結(jié)合的實施，教師需要提高數(shù)形結(jié)合方法的運用水平和能力，多角度思考問題

三、結(jié)束語

綜上所述，數(shù)形結(jié)合的解題思想在初中數(shù)學(xué)解題中的運用是十分廣泛的，它可以使復(fù)雜的問題簡單化，還能鍛煉學(xué)生的觀察能力對于初中階段的學(xué)生來說，熟練掌握數(shù)形結(jié)合的解題思想，可以為以后數(shù)學(xué)的高效學(xué)習(xí)奠定扎實的基礎(chǔ)