初中數(shù)學(xué)幾何圖形中有關(guān)最值問題的解題思路分析

◎田海霞

(重慶市酉陽土家族苗族自治縣酉州初級中學(xué),重慶 409800)

一、特殊位置與極端位置法求解幾何最值問題

幾何問題中出現(xiàn)的特殊位置與極端位置是解題的突破口運(yùn)用特殊位置與極端位置法求解幾何最值問題時，要學(xué)會在題目中對條件進(jìn)行深入分析，尋找題目中能夠出現(xiàn)的中點、垂直位置關(guān)系、端點、臨界點等特殊位置點，這常常需要學(xué)生在題目中給出的已知的特殊幾何圖形中通過做輔助線的形式尋找隱含條件，如例1所示

1如圖所示，已知存在=10，是線段上任意一點，在的同一側(cè)分別以和為邊作等邊三角形和等邊三角形，則的長的最小值為________

圖1

解：如圖所示，作′⊥于點′，′⊥于點′，⊥′于點

則△為直角三角形，

滿足=+

∵△、△為等邊三角形，

當(dāng)存在最小值時，=0，此時=，

即為中點時存在最小值，

拓展一：

如圖所示，正方形的邊長為1，點為邊上任意一點(可與點或點重合)，分別過點、、作射線的垂線，垂足分別是′、′、′，則′+′+′的最大值為________，最小值為________

圖2

解：連接、，

圖3

∴正方形的面積為=1×1=1

二、幾何定理(公理)法求解幾何最值問題

運(yùn)用幾何定理(公理)法求解幾何最值問題時，需要學(xué)生具備綜合所學(xué)知識的基本能力求解最大值、最小值的相關(guān)問題，往往可以通過把幾何問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€代數(shù)問題的形式來完成，這對學(xué)生的基本運(yùn)算能力和代數(shù)的相關(guān)定理(公理)的掌握有一定的要求與不等式的相關(guān)知識聯(lián)系在一起的情況居多，同學(xué)們要對此加以注意，在練習(xí)中也應(yīng)多多有針對性地開展訓(xùn)練

2如圖所示，在平行四邊形中，已知=，=(>)，為邊上的一個動點，延長直線，直線交于點，則+的最小值為________

圖4

在解這道題目時，可以通過設(shè)未知數(shù)的形式，把幾何問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€代數(shù)問題，然后利用學(xué)過的不等式等相關(guān)知識來求解在解此題時可設(shè)=，然后將題目中的、的長度分別用表示運(yùn)用自己學(xué)過的不等式+≥2(當(dāng)且僅當(dāng)=時等號成立)，即可求解最小值

由題可知，△∽△，

拓展二：

如圖所示，已知∠=45°，角內(nèi)有一點，=10，在角的兩邊有兩點、(均不同于點)，則△的周長的最小值為________

圖5

根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，作出關(guān)于、的對稱點、，連接，根據(jù)兩點之間線段最短得到最小值，再構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出的值即可

解：

圖6

分別作關(guān)于、的對稱點、，

連接交、與點、，

則所得△符合條件

連接、，

則===10，

∠=∠+∠=2∠=2×45°=90°，

故△為等腰直角三角形，

三、數(shù)形結(jié)合法求解幾何最值問題

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法求解幾何最值問題時，同學(xué)們應(yīng)該做到對題目當(dāng)中給出的已知條件進(jìn)行變量的適當(dāng)選取，要學(xué)會建立起幾何元素之間的函數(shù)關(guān)系、不等式關(guān)系、方程關(guān)系等，然后運(yùn)用學(xué)過的其他相關(guān)代數(shù)知識方法求解一般來講運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法求解幾何的最值問題需要通過一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，可以對一元二次方程進(jìn)行判別式的計算，求解幾何的最值，也可以選擇構(gòu)造二次函數(shù)的方法進(jìn)行求解，如例3所示

3已知△是等腰直角三角形，其中直角邊長為1，∠=90°，而等腰直角三角形的三個頂點又分別在Rt△的三條邊上，其中Rt△的∠=90°，求解Rt△中的直角邊長的最大可能值

對題目當(dāng)中給出的已知條件進(jìn)行分析，已知△的頂點在Rt△的邊上，可能是在直角邊或是上，也可能是在斜邊上，如圖7、圖8所示若頂點在Rt△的斜邊上，則可以取邊的中點，通過幾何不等關(guān)系來求解直角邊的最大值；若頂點在Rt△的直角邊或是上，可以通過設(shè)未知數(shù)的方法，設(shè)=，=，建立，之間的關(guān)系式，之后采用代數(shù)的方法求解直角邊的最大值

圖7

圖8

(1)若頂點在Rt△的斜邊上，如圖7所示，

取邊的中點，連接、、，作邊邊上的高，

又≤,

(2)若頂點在Rt△的直角邊或是上，

由對稱性，不妨設(shè)頂點在Rt△的直角邊上，如圖8所示，

設(shè)=，=

過點作⊥于點，

可證得△≌△，

∴==，==

又∵△是等腰直角三角形，

則=

設(shè)=，

則2+=，即=-2

在Rt△中，+(-2)=1，

即5-4+-1=0，

∵為實數(shù)，

則=16-20(-1)=20-4≥0，

拓展三：

如圖所示，△是一塊銳角三角形余料，邊=120 mm，高=80 mm，要把它加工成一個矩形零件，使矩形的一邊在上，其余兩個頂點分別在、上設(shè)該矩形的長=mm，寬=mm，

(2)當(dāng)與分別取多少時，矩形的面積最大？最大面積是多少？

圖9

分析：本題考查的是相似三角形的判定根據(jù)矩形的對邊平行可以得到△∽△，然后利用相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，可以證明與的關(guān)系根據(jù)矩形面積公式得到關(guān)于的二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)求出矩形的最大值

(1)根據(jù)已知條件易知∥，⊥，==，==，

∴△∽△，

(2)設(shè)矩形的面積為，

∴=，

綜上所述，當(dāng)=40，=60時，矩形的面積最大，最大面積為2400平方毫米

本文詳細(xì)介紹的這三種求解幾何最值的思路是最常用的方法，有利于培養(yǎng)邏輯思維能力和數(shù)學(xué)思維，同學(xué)們一定要理解領(lǐng)悟上述三種方法，熟練掌握，在實際運(yùn)用中做到舉一反三