課堂留白，讓數(shù)學(xué)思考走向深度

◎陳德劭

(江蘇省濱?？h第一初級(jí)中學(xué)西湖路分校,江蘇 鹽城 224500)

學(xué)習(xí)者在面對(duì)不完美之處時(shí)，會(huì)設(shè)法去填補(bǔ)空白，并留下深刻的記憶教師在課堂上也要適當(dāng)留白，引發(fā)學(xué)生的填補(bǔ)欲望，調(diào)動(dòng)他們的求知欲望，引導(dǎo)他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)、分析、解決問(wèn)題數(shù)學(xué)知識(shí)嚴(yán)謹(jǐn)、抽象，教師要針對(duì)學(xué)生的差異，持有“靜待花開(kāi)”之心，留時(shí)于生，讓學(xué)生去探究、建構(gòu)，并積極地融入學(xué)習(xí)中教師要遵循初中生的認(rèn)知規(guī)律，在課堂中適當(dāng)留白，引發(fā)學(xué)生補(bǔ)白的熱情，使學(xué)生獨(dú)立思考、協(xié)作探究，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造數(shù)學(xué)的過(guò)程，從而促使他們提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

教師在留白時(shí)要保持適度，對(duì)留白次數(shù)、難度都要進(jìn)行控制，為學(xué)生留有思考、消化的時(shí)間教師的留白能將自主思考的時(shí)間還給學(xué)生，能調(diào)動(dòng)學(xué)生的求知欲望，但如果過(guò)于頻繁，學(xué)生就會(huì)疲于應(yīng)對(duì)教師要抓住重點(diǎn)內(nèi)容、疑點(diǎn)內(nèi)容留白，要做到“少而精”，引領(lǐng)學(xué)生挖掘深層次的內(nèi)容教師的留白難度不宜過(guò)大，要借助變式、問(wèn)題串等方式降低難度，為學(xué)生設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)的問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生的思維攀爬，讓他們通過(guò)積極的思考獲得正確的解題思路教師要調(diào)控好留白時(shí)間，不能一味追求教學(xué)進(jìn)度，在回顧舊知、理解概念等低難度內(nèi)容時(shí)可留時(shí)較短，而在拓展、變式等處可給予較長(zhǎng)的時(shí)間讓學(xué)生探究

一、概念處留白，促進(jìn)深入感悟

數(shù)學(xué)概念具有一定的抽象性、邏輯性，它是數(shù)學(xué)系統(tǒng)的重要起點(diǎn)，學(xué)生只有理解了數(shù)學(xué)概念，才能實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)，如果教師照本宣科，直接講授概念，那么學(xué)生的思維只會(huì)停留在表層

如果教師機(jī)械地引入概念，那么學(xué)生就難以實(shí)現(xiàn)真正理解教師可以為學(xué)生設(shè)計(jì)留白，讓學(xué)生通過(guò)自學(xué)去探尋概念的本質(zhì)學(xué)生可以從自己的生活中尋找數(shù)學(xué)概念的原型，或與同學(xué)開(kāi)展討論交流，以深入理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵如在教學(xué)“認(rèn)識(shí)三角形”一課時(shí)，教師讓學(xué)生拿出不同長(zhǎng)度的小木棒，讓他們?cè)囍鴩梢粋€(gè)三角形，在分組操作時(shí)，有的學(xué)生能圍成一個(gè)三角形，而有的學(xué)生則不能，教師繼而引出三角形的概念，并在實(shí)驗(yàn)中把“三條線段”“首尾依次連接”“封閉”等關(guān)鍵詞準(zhǔn)確體現(xiàn)出來(lái)，為學(xué)生后面學(xué)習(xí)三角形的三邊關(guān)系打下基礎(chǔ)教師在引入概念時(shí)留白，可為學(xué)生留有實(shí)驗(yàn)探索的時(shí)間，能增進(jìn)學(xué)生對(duì)概念中關(guān)鍵內(nèi)容的理解

教師在講解數(shù)學(xué)概念時(shí)，要激發(fā)學(xué)生的補(bǔ)白欲望，引領(lǐng)學(xué)生去深度思考，促進(jìn)學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)概念如在學(xué)習(xí)“合并同類項(xiàng)”一課時(shí)，學(xué)生對(duì)概念中的“相同的字母”“相同字母的指數(shù)”中的“相同”理解起來(lái)較困難，教師可以針對(duì)學(xué)生對(duì)概念的理解提出問(wèn)題：這里面的“相同”是指什么？學(xué)生經(jīng)過(guò)思考、交流，發(fā)現(xiàn)“相同”的本質(zhì)是字母、指數(shù)皆相同，從而他們對(duì)“同類項(xiàng)”概念中的“相同”有了更深入的理解教師在講解概念時(shí)，可針對(duì)學(xué)生難以理解的內(nèi)容進(jìn)行留白，引發(fā)學(xué)生思考、探索，讓他們感受“相同”的內(nèi)涵，從而透徹地理解概念

如果學(xué)生對(duì)概念的學(xué)習(xí)只是處于淺層的感知，那么他們就無(wú)法順利地運(yùn)用概念概念的學(xué)習(xí)是為解決問(wèn)題而服務(wù)的，學(xué)生只有真正地理解概念、內(nèi)化概念，才能順利地運(yùn)用概念去解決問(wèn)題教師在設(shè)計(jì)題目時(shí)要刻意留白，引領(lǐng)學(xué)生深入探究問(wèn)題，從而促進(jìn)他們對(duì)概念的內(nèi)化如在教學(xué)“黃金分割”一課時(shí)，教師向?qū)W生呈現(xiàn)臉型相同、五官基本相同的3張臉的圖片，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)哪個(gè)更美教師引導(dǎo)學(xué)生從圖片中發(fā)現(xiàn)五官比例的不協(xié)調(diào)，然后呈現(xiàn)《蒙娜麗娜的微笑》畫作，讓學(xué)生理解符合“黃金分割比”的圖片會(huì)給人留有美的視覺(jué)感受最后教師提出問(wèn)題：模特如何選擇合適高度的高跟鞋？學(xué)生可以運(yùn)用所學(xué)的黃金分割的概念，指出鞋底到肚臍的距離要與身高成黃金分割比(或肚臍到頭頂?shù)木嚯x要與鞋底到肚臍的距離成黃金分割比)學(xué)生只有形成應(yīng)用概念的意識(shí)，具有解決實(shí)際問(wèn)題的能力，才能真正內(nèi)化概念，形成屬于自己的知識(shí)教師也要提升應(yīng)用意識(shí)，為學(xué)生留有內(nèi)化的空間，讓學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)運(yùn)用于解決生活問(wèn)題之中，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的深度理解

二、定理處留白，把握來(lái)龍去脈

學(xué)生不僅要會(huì)使用公式，還要“知其所以然”，理解定理的推導(dǎo)過(guò)程教師要適時(shí)留白，讓學(xué)生通過(guò)思考去探索定理法則的由來(lái)，使學(xué)生形成靈活運(yùn)用定理法則的能力教師要在類比時(shí)留白，讓學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)與方法去探索新知識(shí)，實(shí)現(xiàn)對(duì)所學(xué)方法的順利遷移如在教學(xué)“探索三角形相似的條件”一課時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生回憶三角形全等的判定方法，讓他們猜測(cè)相似三角形的判定方法此時(shí)教師可進(jìn)行停頓式留白，引發(fā)學(xué)生的熱烈討論，讓學(xué)生討論后展示小組交流的結(jié)果學(xué)生共匯報(bào)了四種結(jié)果：組一學(xué)生指出有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等；組二學(xué)生指出有兩組邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等；組三學(xué)生指出有三邊對(duì)應(yīng)成比例；組四學(xué)生指出有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，兩邊對(duì)應(yīng)成比例教師讓學(xué)生對(duì)各組的匯報(bào)結(jié)果進(jìn)行再思考，學(xué)生發(fā)現(xiàn)第四種結(jié)果后面的兩邊對(duì)應(yīng)成比例是多余的數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)離不開(kāi)學(xué)生的主動(dòng)發(fā)現(xiàn)，教師要針對(duì)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，引領(lǐng)他們自主探索，通過(guò)類比全等三角形的判定，找到相似三角形的判定條件，滿足學(xué)生的探索求知欲望教師留白于學(xué)生，讓學(xué)生參與小組合作交流，這樣能引發(fā)學(xué)生的深入思考，促進(jìn)他們對(duì)相似三角形判定的理解

教師要培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，并適當(dāng)“留白”，引發(fā)學(xué)生的頭腦風(fēng)暴，讓他們有更多探討的空間如在教學(xué)“用三角形的相似解決問(wèn)題”一課時(shí)，教師提出問(wèn)題：學(xué)校教學(xué)樓高16米，影長(zhǎng)25米，旗桿的影長(zhǎng)為9米，求該旗桿的高度在學(xué)生畫出圖形后，教師讓學(xué)生找出其中的相似三角形，并思考為什么相似，判定依據(jù)是什么有的學(xué)生指出這兩個(gè)三角形都有一個(gè)直角，有的學(xué)生提出還有另外的角對(duì)應(yīng)相等然后教師指出“太陽(yáng)光線是平行的”，學(xué)生頓悟最后教師追問(wèn)：當(dāng)我們知道這兩個(gè)三角形相似時(shí)，該如何做？要用到哪些知識(shí)？要用到哪些性質(zhì)？能列出怎樣的式子？在學(xué)生掌握了方法后，教師進(jìn)行評(píng)價(jià)式留白，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)自己收獲了什么教師以一連串的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生回憶學(xué)過(guò)的知識(shí)，并停頓留白，引發(fā)學(xué)生的思考，讓他們運(yùn)用三角形的判定與性質(zhì)去解決問(wèn)題教師在小結(jié)時(shí)進(jìn)行評(píng)價(jià)留白，讓學(xué)生說(shuō)出自己的收獲，使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容有更深層次的理解

三、重難點(diǎn)留白，促進(jìn)深入思考

教師要針對(duì)知識(shí)的重點(diǎn)處、難點(diǎn)處留白，引發(fā)學(xué)生的積極思考，促進(jìn)他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，對(duì)數(shù)學(xué)技能的掌握重難點(diǎn)是教材的關(guān)鍵內(nèi)容，也是學(xué)生的存疑、易錯(cuò)之處，教師如果一味要求學(xué)生枯燥記憶，往往難以得到良好的教學(xué)效果教師要讓學(xué)于生，要放手讓學(xué)生去探究、思考，并對(duì)他們存在疑惑之處加以引導(dǎo)、啟發(fā)，從而收到良好的教學(xué)效果

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師往往注重知識(shí)的灌輸，忽視學(xué)生探究知識(shí)的過(guò)程，只讓學(xué)生機(jī)械地記住結(jié)論，使學(xué)生難以深度理解教師要在難點(diǎn)知識(shí)的學(xué)習(xí)處為學(xué)生留有動(dòng)手操作的空間，讓他們經(jīng)歷動(dòng)手探究的過(guò)程，通過(guò)實(shí)踐、分析、探究實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的深入理解如“圓周角”一課，其中“圓周角定理的探究過(guò)程”是教學(xué)的難點(diǎn)，教師可先讓學(xué)生畫一個(gè)圓心角，再畫出同弧所對(duì)的圓周角，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)能畫多少個(gè)，再讓學(xué)生用量角器量一量圓周角及圓心角的度數(shù)，并說(shuō)說(shuō)有什么發(fā)現(xiàn)學(xué)生通過(guò)畫圖、度量、分析，發(fā)現(xiàn)同弧所對(duì)圓周角與圓心角之間的關(guān)系學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作活動(dòng)，將習(xí)得的理論知識(shí)運(yùn)用于生活實(shí)踐中，輕松地突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，提升動(dòng)手操作能力

由于知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、思想方法等方面的欠缺，學(xué)生往往難以逾越難點(diǎn)內(nèi)容，故教師要發(fā)揮引導(dǎo)者的作用，對(duì)學(xué)生進(jìn)行恰當(dāng)指導(dǎo)，幫助學(xué)生跨越“最近發(fā)展區(qū)”，幫助他們明晰解題思路，促進(jìn)他們數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升如在學(xué)習(xí)分解因式的內(nèi)容時(shí)，教師提出問(wèn)題：(分解因式)(1)(-2)+2(-2)+1；(2)(+)-4對(duì)于第(1)題，學(xué)生雖然掌握了分解因式的多種方法，但面對(duì)“復(fù)合式”往往束手無(wú)策，教師要引導(dǎo)學(xué)生將“整體代入”思想與因式分解聯(lián)系起來(lái)，使“復(fù)合式”變成“簡(jiǎn)單式”，促進(jìn)學(xué)生理解在“整體代入”思想的指導(dǎo)下，學(xué)生將(-2)視作一個(gè)整體，從而能將原式轉(zhuǎn)化為一個(gè)完全平方式，即(-2+1)，通過(guò)進(jìn)一步分解，將原式分解為(-1)對(duì)于第(2)題，學(xué)生要善于轉(zhuǎn)化，將4變?yōu)槠椒降男问?，即轉(zhuǎn)化為(+)-(2)，這樣會(huì)很容易地將其分解為(+2+)(-2+)，通過(guò)進(jìn)一步分解，能得到(+)(-)教師要通過(guò)留白為學(xué)生留有探索復(fù)雜問(wèn)題的空間，并對(duì)他們進(jìn)行恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，幫助他們降低學(xué)習(xí)難度，化解學(xué)習(xí)難點(diǎn)，從而深度理解數(shù)學(xué)問(wèn)題

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，他們應(yīng)該通過(guò)自己的探索形成自主學(xué)習(xí)的能力但在日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“愈改愈錯(cuò)”往往會(huì)影響學(xué)生的學(xué)習(xí)自信為何會(huì)出現(xiàn)“屢錯(cuò)不改”的現(xiàn)象呢？其實(shí)，易錯(cuò)點(diǎn)也是學(xué)生的理解薄弱之處，學(xué)生沒(méi)有對(duì)薄弱處進(jìn)行完善，未能靜心分析出錯(cuò)原因，因而會(huì)出現(xiàn)“一錯(cuò)再錯(cuò)”的狀況故學(xué)生要多思考，多探索，要深入探尋問(wèn)題的本質(zhì)，尋找其中的錯(cuò)誤因子，辨析存在的問(wèn)題，這樣再次面對(duì)問(wèn)題時(shí)才能輕松應(yīng)對(duì)教師也要培養(yǎng)學(xué)生做題后總結(jié)反思的良好意識(shí)，讓他們思考這道題中運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)方法，出錯(cuò)的原因是什么，自己對(duì)哪些知識(shí)點(diǎn)還不能熟悉地運(yùn)用，這個(gè)題目還可以有哪些變式學(xué)生只有深入剖析題目，并在思考、剖析中產(chǎn)生頓悟，才能觸及數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)

四、復(fù)習(xí)時(shí)留白，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

復(fù)習(xí)是教師通過(guò)概念的總結(jié)、例題的精講實(shí)現(xiàn)對(duì)所學(xué)內(nèi)容知識(shí)的梳理、關(guān)鍵內(nèi)容的深化，其能促進(jìn)學(xué)生解決問(wèn)題能力的提升教師要依托問(wèn)題，引領(lǐng)學(xué)生遞進(jìn)式探索，引發(fā)學(xué)生的思維攀升，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展教師在復(fù)習(xí)時(shí)留白，能讓學(xué)生對(duì)復(fù)習(xí)內(nèi)容有更深層次的認(rèn)識(shí)，能促進(jìn)知識(shí)的關(guān)聯(lián)，掀起探討交流的熱潮留白使學(xué)生有更充裕的時(shí)間去思考，能給學(xué)生營(yíng)造勤學(xué)樂(lè)思的氛圍，讓學(xué)生的創(chuàng)造性思維獲得發(fā)展問(wèn)題的難度決定了留白的時(shí)長(zhǎng)如在復(fù)習(xí)“圓”的內(nèi)容時(shí)，教師呈現(xiàn)生活中的圓桌、拱形橋等圖片，讓學(xué)生直觀地感受圓在生活中的運(yùn)用，并提出問(wèn)題：如何測(cè)量這些圓的半徑？我們?cè)诓恢缊A心的情況下要測(cè)量其半徑，有何妙法？教師停頓留白，讓學(xué)生去嘗試，并在嘗試后介紹自己的做法有的學(xué)生任意畫一個(gè)圓的內(nèi)接三角形，再作其中兩邊的垂直平分線，交點(diǎn)就是圓心，然后通過(guò)圓上的一點(diǎn)作圓的切線，過(guò)切點(diǎn)作垂線，圓心與切點(diǎn)之間的線段即圓的半徑有的學(xué)生用繩子、直尺量出周長(zhǎng)，再通過(guò)計(jì)算求出半徑；有的學(xué)生用量角器在圓內(nèi)作90°的圓周角，其所對(duì)應(yīng)的弦即直徑，通過(guò)直徑可求出半徑；有的學(xué)生在紙上畫出圓，將圓對(duì)折，折痕即直徑，通過(guò)直徑可求出半徑……教師以開(kāi)放性的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考“用什么方法”可得到圓的半徑，引發(fā)學(xué)生探究，并促使學(xué)生將圓的相關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，從而達(dá)到復(fù)習(xí)鞏固的目的

圖1

五、拓展處留白，增進(jìn)自我創(chuàng)造

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程也是學(xué)生建構(gòu)知識(shí)、創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，教師不僅要關(guān)注學(xué)生的知識(shí)習(xí)得，還要關(guān)注他們的思維的發(fā)展和探究能力的提升教師既要注重基礎(chǔ)的夯實(shí)，也要關(guān)注學(xué)生思維的發(fā)展，對(duì)所教內(nèi)容進(jìn)行必要的拓展留白，以促進(jìn)學(xué)生獨(dú)立思維能力的發(fā)展教師在開(kāi)展拓展訓(xùn)練前，要幫助學(xué)生夯實(shí)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，這樣才能實(shí)現(xiàn)題目的變式與融合，才能讓學(xué)生的思維得到拓展延伸如在學(xué)習(xí)“三角形的內(nèi)角和”內(nèi)容后，學(xué)生已經(jīng)掌握了三角形的內(nèi)角和與外角和的性質(zhì)，并可依此解決與三角形的內(nèi)角、外角有關(guān)的運(yùn)算有這樣一個(gè)題目：在△中，∠=80°，∠和∠的平分線相交于點(diǎn)，則∠等于多少度？如果∠的度數(shù)未知，試探索∠與∠之間的關(guān)系教師對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變式，將“∠，∠的平分線相交于點(diǎn)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤啊?∠的外角平分線相交于點(diǎn)”，再讓學(xué)生探索∠與∠之間的關(guān)系通過(guò)問(wèn)題變式，內(nèi)角平分線問(wèn)題轉(zhuǎn)換為外角平分線問(wèn)題，可實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維的過(guò)渡，可幫助學(xué)生透徹地理解知識(shí)

拓展訓(xùn)練不是脫離書(shū)本、脫離基礎(chǔ)去研究偏題、難題、怪題，而是引領(lǐng)學(xué)生通過(guò)自主探究、合作交流等方式對(duì)教材中的重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行再探索、再發(fā)現(xiàn)，從而拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升教師要精研教材，抓住題目中的關(guān)鍵詞進(jìn)行適當(dāng)改編，讓學(xué)生立足于不同的視角去探尋知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，從而促進(jìn)學(xué)生思維的進(jìn)一步發(fā)展，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到真正提升教師可以運(yùn)用針對(duì)性的拓展訓(xùn)練幫助學(xué)生鞏固所學(xué)內(nèi)容，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的進(jìn)一步思考，促進(jìn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法如在教學(xué)“一次函數(shù)”時(shí)，教師可將其與學(xué)過(guò)的“二元一次方程”聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生動(dòng)手繪圖，分析兩者的內(nèi)在關(guān)系，建立“數(shù)”與“形” 的聯(lián)系教師可以將二元一次方程變形為一次函數(shù)，也可以將二元一次方程的解與一次函數(shù)的圖像建立聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系教師在拓展、變式時(shí)要為學(xué)生留有探究的空間，讓學(xué)生通過(guò)自思自悟深度理解數(shù)學(xué)問(wèn)題

總而言之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于留白，讓學(xué)生開(kāi)展充分的數(shù)學(xué)思考，增進(jìn)他們對(duì)問(wèn)題的理解學(xué)生的思維不能滿足于淺層的探索，要通過(guò)深度思考探求數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升