基于標量衍射理論的兩種等大倒立實像系統(tǒng)研究

熊學輝，楊書羽，朱春蓮

（1.江漢大學光電材料與技術(shù)學院，湖北 武漢 430056；2.武漢墨光科技有限公司，湖北 武漢 430074）

0 引言

透鏡本質(zhì)是一種可實現(xiàn)空間相位變換的元件，不僅具有成像功能，還具有空間傅里葉變換功能［1-2］。透鏡的傅里葉變換性質(zhì)使得傅里葉分析方法在光學信息處理中得到廣泛應用。而4f系統(tǒng)可以實現(xiàn)物體準確的傅里葉頻譜，通過在該系統(tǒng)中的頻譜面上進行有目的的處理可改變物體的像，基本的4f系統(tǒng)進行一些特定的改進可被廣泛應用于光學檢測和光學圖像處理等領(lǐng)域［3-6］。韓亮課題組［3］為將光學小波變換應用于圖像壓縮，分析了光學4f系統(tǒng)中圖像實現(xiàn)方式和圖像采集對圖像空間頻率特性的影響。其研究結(jié)果表明，利用光學4f系統(tǒng)實現(xiàn)光學小波變換理論，可以極大地減少小波變換所花的時間，具有理論和實用價值。文獻［4］指出，利用4f系統(tǒng)的階躍響應對峰峰信噪比和結(jié)構(gòu)相似度指數(shù)都有很好的復原效果，其分別提高了5 dB和6%左右。快捷可靠的測量技術(shù)一直是非線性光學研究領(lǐng)域的熱點之一，文獻［5］綜述了利用4f相位相干成像技術(shù)分析測量材料光學非線性系數(shù)的原理、方法等。王悅等［6］研究了緊湊型矢量光場發(fā)生器中4f系統(tǒng)在橫向和縱向上的精確對齊方法，通過相位圖對系統(tǒng)中的透射式4f系統(tǒng)和反射式4f系統(tǒng)進行縱向?qū)R，以確保生成光場的清晰程度，減小了光場的衍射反應，對于其他含4f系統(tǒng)的光路有借鑒意義。4f系統(tǒng)也一直應用于激光散斑干涉系統(tǒng)研究［7-9］中。筆者在基于4f系統(tǒng)的散斑干涉法實現(xiàn)圖像相減實驗中，發(fā)現(xiàn)利用4f系統(tǒng)制備的二次曝光散斑全息圖能得到散斑干涉的條紋圖，從而實現(xiàn)后面的濾波和圖像相減；而利用元件個數(shù)少、光路簡單的單透鏡4f成像系統(tǒng)實現(xiàn)的二次曝光全息散斑圖卻不能得到干涉條紋?；谠搶嶒灒P者對這兩個都能成等大倒立實像系統(tǒng)的成像差別進行了研究，利用標量衍射理論詳細計算推導了這兩種成像系統(tǒng)像面光場的分布。

1 兩種成像系統(tǒng)比較

光學信息處理系統(tǒng)中，廣泛使用的標準4f系統(tǒng)可以得到物體準確的傅里葉頻譜，經(jīng)過兩個傅里葉變換透鏡，在第二個傅里葉變換透鏡的像方焦平面上得到物體等大倒立的實像。而當物體放在單透鏡的2倍物方焦距處時也能在2倍像方焦距平面上成等大倒立的實像。標準4f系統(tǒng)（見圖1（a））由兩個大口徑傅里葉變換透鏡L1和L2組成，物平面（x0，y0）放在第一個傅里葉變換透鏡L1的物方焦平面，此時物平面到透鏡L1的距離為f，即第一個f距離。物方光場經(jīng)傅里葉透鏡L1后，L1的像方焦平面也就是物方光場的頻譜面（x′，y′），透鏡L1到物方頻譜面的距離也為f，即第二個f距離。該頻譜面距離傅里葉透鏡L2也恰好為焦距距離，為第三個f距離，物方頻譜經(jīng)過第二個透鏡L2的傅里葉變換，在其焦平面處得到物體的像平面，為第四個f距離。因此，物面和像面的距離為4f。圖1（b）為只含有1個成像透鏡L的4f系統(tǒng)，當物平面（x0，y0）放在透鏡的二倍物方焦距處時，成像在二倍像方焦距平面（x，y）處，物平面和像平面間的距離也是4f。

在圖1中標注了各面的特性和坐標符號，也利用幾何光學作圖法畫出了兩種系統(tǒng)光路示意圖。對于探測光強的成像光學系統(tǒng)，這兩種系統(tǒng)所成像的性質(zhì)一樣，都成等大倒立的實像。但是對于信息光學系統(tǒng)，特別是相干光學系統(tǒng)，需要使用系統(tǒng)的像面光場復振幅分布特性進行分析。本文將從波動光學出發(fā)，利用標量衍射理論計算推導兩種系統(tǒng)的像面光場分布。

圖1 兩種等大倒立實像系統(tǒng)光路圖Fig.1 Optical path diagrams of two equal size inverted real image systems

2 單透鏡4f成像系統(tǒng)像面光場復振幅推導

首先根據(jù)標量衍射理論，利用光線在相距有限距離遠的面間傳播時的菲涅耳衍射模型，推導圖1（b）所示的單透鏡4f成像系統(tǒng)物像光場關(guān)系。設(shè)單位平行光垂直照射到物平面，光波從物平面?zhèn)鞑サ酵哥R前表面，兩面間隔兩倍焦距距離d=2f，可以用菲涅耳衍射模型；由于透鏡元件的相位轉(zhuǎn)換性質(zhì)，透鏡后表面的光場與透鏡前表面的光場并不相同；透鏡后表面到像平面距離也是2f，光波的傳播滿足菲涅耳衍射模型。

具體推導如下：

第一區(qū)間從物面（x0，y0）到透鏡前表面（xl，yl），發(fā)生菲涅耳衍射，z=2f，代入菲涅耳衍射公式，可求得透鏡前表面的光場復振幅分布

式中，k表示波數(shù)；λ表示波長；U0(x0,y0)表示物平面光場。

第二區(qū)間從透鏡前表面到透鏡后表面，利用理想透鏡的二次相位變換作用得到透鏡后表面光場

將（1）式求得的透鏡前表面光場Ul(xl,yl)代入（2）式，得透鏡后表面光場

第三區(qū)間從透鏡后表面（xl，yl）到像平面（x，y）也是菲涅耳衍射，于是像面光場

將（3）式代入（4）式得

（5）式體現(xiàn)了物平面光場分布與像面光場的關(guān)系，經(jīng)歷了四重積分，對（5）式展開，并對兩個平面上的積分變量（xl，yl）和（x0，y0）分別進行合并同類項，不參與積分的項提出積分外，

化簡式（6）得

將式（7）中

湊成

該項的積分項是常數(shù)1的傅里葉變換，得到脈沖函數(shù)(2fλ)×(2fλ)δ(x0+x,y0+y)，將該積分結(jié)果應用到（7）式，得

對于（8）式，還需對物平面上（x0，y0）進行積分，其中被積函數(shù)二次項對像面光場有影響的必定只是物面上以幾何成像所對應的物點為中心的微小區(qū)域［1-2］。設(shè)物面像面放大率為M，則在這個微小區(qū)域（x0，y0）可近似為x0=x/M，y0=y/M，在本例中，放大倍數(shù)為M=-1，代入得

這樣該被積項近似與積分變量無關(guān)，可以提到積分外，（8）式繼續(xù)化簡為

對于（9）式積分項，利用δ函數(shù)的篩選性質(zhì)得到

則（9）式最終可化簡得到像面光場復振幅分布關(guān)系式

由（10）式可知，當物體放在兩倍焦距時，像面光場復振幅U(x,y)中前面的負號表示物像放大倍數(shù)為-1，成等大倒立的實像，有一個常數(shù)相位因子exp(j4kf)項，以及隨像面不同坐標位置（x，y）變化的相位因子，像方光場含有U0(-x,-y)，說明在像面的光場與物面光場相似，只是像面的坐標系統(tǒng)和物面的坐標系統(tǒng)成鏡像。

以上利用標量衍射理論中光波傳播的菲涅耳衍射模型詳細推導出單透鏡4f系統(tǒng)物像光場關(guān)系（10）式，該式充分體現(xiàn)了像方光場與物方光場函數(shù)相似，只是多了相位因子。幾何成像系統(tǒng)探測的是光強I=U(x,y)U*(x,y)，相位因子對光強分布沒有影響。

3 標準4f系統(tǒng)像面光場的復振幅推導

由于標準4f系統(tǒng)完成兩次傅里葉變換，所以本節(jié)推導可以不利用最基本的菲涅耳衍射模型，不需要逐面利用菲涅耳衍射模型和透鏡的相位變換特性來推導。很多信息光學教材［1-2］都推導了當平行光束垂直照射物平面，物體放在物方焦平面時，經(jīng)過單個透鏡的傅里葉變換，在該透鏡的像方焦平面上得到物體的準確頻譜，這一基本傅里葉變換表達式如公式（11）所示。本節(jié)推導就是按標準4f系統(tǒng)布局的兩個透鏡實現(xiàn)兩次傅里葉變換來展開。

在標準4f系統(tǒng)中，物體放在傅里葉透鏡L1的前焦平面，設(shè)物面光場為U0(x0,y0)，則在L1的后焦平面上得到物體的準確傅里葉變換，即物體的頻譜。頻譜面(x′,y′)上的光場復振幅數(shù)學表達式為

表明物平面信息U0(x0,y0)經(jīng)透鏡L1的傅里葉變換作用得到物體的頻譜信息U′(x′,y′)。而頻譜U′(x′,y′)再經(jīng)傅里葉透鏡L2變換到像平面（x，y）又完成一次傅里葉變換，得到物體的像平面光場分布U(x,y)，即

將（11）式代入（12）式，得到四重積分，

將上述四重積分函數(shù)里被積指數(shù)函數(shù)變形為傅里葉變換的標準核形式

先將x′,y′積分變量湊成形式，積分變?yōu)?/p>

對被積函數(shù)中含有積分變量x′,y′的項進行合并同類項，得

對于x′,y′積分，上式相當于原函數(shù)為1的傅里葉變換，得到δ函數(shù)

利用δ函數(shù)的性質(zhì)得

上面利用傅里葉變換式詳細推導出標準4f系統(tǒng)像面和物面光場的關(guān)系式（13），前面的負號表示物像放大倍數(shù)為-1，即成等大倒立的像；像面的坐標系統(tǒng)和物面的坐標系統(tǒng)成鏡像，物、像光場只相差一個常數(shù)相位因子exp(j4kf)。

幾何成像系統(tǒng)探測的是光強I=U(x,y)U*(x,y)，相位因子對光強分布沒有影響。

綜合對比單透鏡4f成像系統(tǒng)像面光場復振幅關(guān)系（10）式和標準4f系統(tǒng)像面光場復振幅關(guān)系（13）式，發(fā)現(xiàn)兩種系統(tǒng)的像面分布僅僅相差一個相位因子。

4 結(jié)語

本文主要利用標量衍射理論研究了標準4f系統(tǒng)和單透鏡4f系統(tǒng)像面光場復振幅分布。結(jié)果表明，兩種系統(tǒng)的像面光場都含有因子-exp(j4kf)U0(-x,-y)，但單透鏡4f系統(tǒng)比標準4f系統(tǒng)多了一個隨像面不同坐標位置（x，y）變化的二次相位因子。這兩種成等大倒立實像系統(tǒng)，用人眼或探測器去檢測時，探測的是光強，不受像面光場相位因子的影響，所以這兩種成像沒有差別。但是在更精密的相干信息光學系統(tǒng)中，如果要用像面光場與另一相干光干涉，那么這時候的相位因子影響就不能忽略，比如散斑干涉二次曝光全息圖，利用單透鏡成像系統(tǒng)制備的干版不能得到預期的干涉條紋。通過本文的分析，不僅有利于指導實驗，還可以加深學生對光場復振幅分布和光強關(guān)系的理解，有助于學生理解干涉時相位因子的重要性。