用“點(diǎn)差法”解題，切記嚴(yán)謹(jǐn)*
——兼談二次曲線的另一種分類方法

?北京豐臺(tái)二中 甘志國(guó)

1 引言

“點(diǎn)差法”是平面解析幾何的一種重要解題方法，特別是在求圓錐曲線的中點(diǎn)弦所在直線的斜率時(shí)很簡(jiǎn)潔且程序化，備受青睞.但筆者欲闡述的觀點(diǎn)是：用“點(diǎn)差法”解題，切記嚴(yán)謹(jǐn)！

2 用“點(diǎn)差法”解題，切記嚴(yán)謹(jǐn)

命題者給出的參考答案如下：

b2(x1+x2)(x1-x2)=-a2(y1+y2)(y1-y2)

①

②

分析:由①到②必須先說(shuō)明②中的兩個(gè)分母均不為0.若x1=x2或y1=-y2，則均可得該橢圓上的兩點(diǎn)A,B關(guān)于x軸對(duì)稱，這與“點(diǎn)M(-1,1)是線段AB的中點(diǎn)”矛盾！所以②成立.

解:設(shè)兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)，同題1的“解”可得②成立，所以線段AB的垂直平分線方程為

由線段AB的垂直平分線過(guò)點(diǎn)P(x0,0)，可得

分析：由“線段AB的垂直平分線與x軸相交”可得直線AB的斜率存在，所以②在這里成立(但在解題過(guò)程中應(yīng)交代清楚).

當(dāng)且僅當(dāng)直線AB的斜率不為0即x1+x2≠0時(shí)③成立，從④推得⑤還要說(shuō)明y1+y2≠0.當(dāng)然這可由⑤成立(但在解題過(guò)程中應(yīng)有所交代)，此時(shí)以上解答正確.

當(dāng)直線AB的斜率為0即x1+x2=0時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性及“線段AB的垂直平分線過(guò)點(diǎn)P(x0,0)”可得x0=0，此時(shí)欲證結(jié)論也成立.

綜上所述，可得欲證結(jié)論成立.

題3[《普通高級(jí)中學(xué)教科書·必修·數(shù)學(xué)·第二冊(cè)(上)》(人民教育出版社，2006)第133頁(yè)第7題的反問(wèn)題]設(shè)直線l與拋物線y2=2px相交于兩點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2)，若y1y2=-p2，求證：直線l過(guò)該拋物線的焦點(diǎn).

(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2) ⑥

綜上所述，可得欲證結(jié)論成立.

總之，用“點(diǎn)差法”解題，切記嚴(yán)謹(jǐn)：

(1)把等積式變成比例式時(shí)(比如把①變成②，⑥變成⑦)，要注意分母不為0(若分母的值為0，則中點(diǎn)弦所在直線的斜率不存在，須另行研究，比如題3)；

(2)除非題設(shè)中有“中點(diǎn)弦所在的直線與圓錐曲線交于不同的兩點(diǎn)”(比如題2與題3)，否則要檢驗(yàn)中點(diǎn)弦所在的直線與圓錐曲線確實(shí)交于不同的兩點(diǎn)(比如題1)；

(3)遇到中點(diǎn)弦的垂線問(wèn)題時(shí)，中點(diǎn)弦所在直線的斜率為0的情形要單獨(dú)討論，因?yàn)榇藭r(shí)中點(diǎn)弦的垂線的斜率不存在(比如題2).

3 眾多文獻(xiàn)給出的“二次曲線中點(diǎn)弦所在直線的方程”欠嚴(yán)謹(jǐn)

定理1[3][4]設(shè)f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F(A2+B2+C2≠0)，若P(x0,y0)是二次曲線f(x,y)=0的弦P1P2的中點(diǎn)，則直線P1P2的方程是

⑧

證法1[3]：設(shè)點(diǎn)P1(X,Y)，由P(x0,y0)是弦P1P2的中點(diǎn)，可得點(diǎn)P2(2x0-X,2y0-Y).再由兩點(diǎn)P1,P2均在二次曲線f(x,y)=0上，可得

AX2+BXY+CY2+DX+EY+F=0，

A(2x0-X)2+B(2x0-X)(2y0-Y)+C(2y0-

Y)2+D(2x0-X)+E(2y0-Y)+F=0.

把它們相減后再除以4，可得

由此可驗(yàn)證兩點(diǎn)P1(X,Y),P2(2x0-X,2y0-Y)均在直線⑧上，再由“兩點(diǎn)確定一直線”可得欲證結(jié)論成立.

證法2[4]:設(shè)兩點(diǎn)Pi(xi,yi)(i=1,2)，由P(x0,y0)是弦P1P2的中點(diǎn)，可得x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.再由兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(2x0-x1,2y0-y1)均在二次曲線f(x,y)=0上，可得

A(2x0-x1)2+B(2x0-x1)(2y0-y1)+C(2y0-y1)2+D(2x0-x1)+E(2y0-y1)+F=0.

把它們相減后，可得

(2Ax0+By0+D)(x1-x0)+(Bx0+2Cy0+E)·(y1-y0)=0

⑨

再由(x0-x1,y0-y1)是直線P1P2的一個(gè)方向向量，可得直線P1P2的一個(gè)法向量是(2Ax0+By0+D,Bx0+2Cy0+E)，進(jìn)而可求得直線P1P2的方程是(2Ax0+By0+D)(x-x0)+(Bx0+2Cy0+E)(y-y0)=0即⑧.

分析:由題文[5]例7(1)及例8(1)的結(jié)論可知定理1[3][4]、推論1～3[3]均欠嚴(yán)謹(jǐn)，因而，它們相應(yīng)的證法1[3]、證法2[4]也均欠嚴(yán)謹(jǐn).下面再給予分析.

“定理1[3][4]”及其“證法1[3]”必須建立在“關(guān)于x,y的方程⑧確實(shí)表示直線”(即

不成立)、“直線⑧與二次曲線f(x,y)=0確實(shí)是交于兩個(gè)不同的點(diǎn)P1,P2”(否則不能得出“兩點(diǎn)確定一直線”)這兩個(gè)前提下才是正確的，否則不正確.

“定理1[3][4]”及其“證法2[4]”必須建立在“直線P1P2的一個(gè)方向向量(x0-x1,y0-y1)不是0”[即Pi(xi,yi)(i=1,2)確實(shí)是兩個(gè)不同的點(diǎn)]、“直線P1P2的一個(gè)法向量(2Ax0+By0+D,Bx0+2Cy0+E)不是0”(即不成立)及“關(guān)于x,y的方程⑧確實(shí)表示直線”(即⑨不成立)這三個(gè)前提下才是正確的，否則不正確.

由定理1[3][4]或推論1[3]可得：橢圓4x2+y2-1=0以坐標(biāo)原點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線l的方程是0x+0y=0[而該方程不表示直線.事實(shí)上，由文[5]例7(1)及(3)(i)的結(jié)論，可得直線l的方程是αx+βy=0(α,β是不同時(shí)是0的常數(shù))].由定理1[3][4]或推論2[3]可得：雙曲線4x2-y2-1=0以坐標(biāo)原點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線l的方程是0x-0y=0[而該方程不表示直線.事實(shí)上，由文[5]例7(1)及(4)(i)的結(jié)論，可得直線l的方程是y=kx(-2

注:若“關(guān)于x,y的方程⑧確實(shí)表示直線”(即⑨不成立)、“直線⑧與二次曲線f(x,y)=0確實(shí)是相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)”，則定理1[3][4]正確.

定理2[4]若f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F(A2+B2+C2≠0)，則二次曲線f(x,y)=0在點(diǎn)P(x0,y0)處切線方程是

證明[4]:當(dāng)二次曲線f(x,y)=0的弦P1P2的兩個(gè)端點(diǎn)Pi(xi,yi)(i=1,2)重合即三點(diǎn)P1,P,P2重合時(shí)，直線P1P2就是曲線f(x,y)=0在點(diǎn)P(x0,y0)處切線.再由f(x0,y0)=0及定理1[3][4]，可得欲證結(jié)論成立.

分析:因?yàn)槎ɡ?[4]的證明[4]是建立在定理1[3][4]的前提下的，而定理1[3][4]不嚴(yán)謹(jǐn)，所以定理2[4]及其證明[4]均不嚴(yán)謹(jǐn).

由定理2[4]可得：二次曲線y2=0在坐標(biāo)原點(diǎn)處的切線l的方程是0y=0[而該方程不表示直線.事實(shí)上，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知直線y=kx+b(k,b均是常數(shù))在該直線上任意一點(diǎn)處的切線均是該直線本身，可得切線l的方程是y=0].由定理2[4]可得：二次曲線x2-y2=0在坐標(biāo)原點(diǎn)處的切線l的方程是0x-0y=0[而該方程不表示直線.筆者還不能斷定切線l的方程是什么.有兩種想法：(1)由二次曲線x2-y2=0以坐標(biāo)原點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線是y=x或y=-x及“當(dāng)中點(diǎn)弦兩個(gè)端點(diǎn)重合時(shí)的中點(diǎn)弦所在直線是切線”(參見(jiàn)定理2[4]的證明[4])，可認(rèn)為切線l的方程也是y=x或y=-x；(2)由曲線y=|x|在坐標(biāo)原點(diǎn)處的切線不存在及曲線x2-y2=0與曲線y=|x|的聯(lián)系，可認(rèn)為切線l不存在].

注:若“關(guān)于x,y的方程確實(shí)表示直線”(即不成立)、“直線與二次曲線f(x,y)=0確實(shí)相切”，則定理2[4]正確.

證明:設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別是Pi(xi,yi)(i=1,2)，由定理2[4]可得二次曲線f(x,y)=0在點(diǎn)Pi(i=1,2)處的切線方程是

由點(diǎn)P(x0,y0)同時(shí)在這兩條切線上，可得

所以兩點(diǎn)Pi(xi,yi)(i=1,2)均在直線上，再由“兩點(diǎn)確定一直線”可得欲證結(jié)論成立.

注:由定理1[3][4]及定理2[4]的“注”可知，定理3[4]及其證明均是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?

4 二次曲線的另一種分類方法及其結(jié)果

設(shè)f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F(A2+B2+C2≠0)，記

則二次曲線f(x,y)=0的分類結(jié)果(共九種)如表1所示[5]：

表1 二次曲線f(x,y)=0分類結(jié)果

下面再給出其另一種分類方法及其結(jié)果.

參見(jiàn)定理1[3][4]證法2[4]的⑨式，可得二次曲線f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(x0,y0)對(duì)稱的充要條件是f(x,y)=f(2x0-x,2y0-y)即(2Ax0+By0+D)(x-x0)+(Bx0+2Cy0+E)(y-y0)=0，也即

也即

(1)當(dāng)關(guān)于x0,y0的方程組有唯一一組解即Δ≠0(參見(jiàn))時(shí)，二次曲線f(x,y)=0(包括軌跡不存在的情形，下同)有唯一的對(duì)稱中心(即表1中的前兩個(gè)型別也即前五個(gè)類別)；

(2)當(dāng)關(guān)于x0,y0的方程組有無(wú)數(shù)組解即Δ=Θ=0(參見(jiàn))時(shí)，二次曲線f(x,y)=0有無(wú)數(shù)個(gè)對(duì)稱中心且這些對(duì)稱中心的集合是直線2Ax+By+D=0(即表1中的后三個(gè)類別)；

(3)當(dāng)關(guān)于x0,y0的方程組無(wú)解即Δ=0,Θ≠0(參見(jiàn))時(shí)，二次曲線f(x,y)=0無(wú)對(duì)稱中心(即表1中的第六個(gè)類別).