“類比教學(xué)”在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用
——以“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”為例

?哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院 譚 娜

1 類比教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

類比教學(xué)是一種很重要的教學(xué)手段，是教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生采用類比的方法找到知識(shí)間的相互聯(lián)系進(jìn)而分析問題、解決問題的一種教學(xué)[1]，能幫助學(xué)生在新舊知識(shí)間搭建橋梁[2].在類比教學(xué)中，教師要善于抓住新舊知識(shí)的聯(lián)系，找到合適的類比形式.常見的類比教學(xué)法的分類有形式類比、過程類比以及思想類比[3].在教學(xué)過程中，教師要根據(jù)具體的知識(shí)內(nèi)容，選擇不同的類比形式.但無論是哪一種類比形式，在類比教學(xué)中都要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的聯(lián)系，探索新知識(shí)的生成過程，從舊的知識(shí)規(guī)律中發(fā)現(xiàn)新的知識(shí)規(guī)律.

類比教學(xué)在各個(gè)學(xué)科都有廣泛應(yīng)用，特別是在數(shù)理科學(xué)教學(xué)中，它是一種常見且十分重要的教學(xué)策略.眾多學(xué)者在課堂實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)類比教學(xué)不但有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的吸收，還有助于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維能力.康穎教授將類比法運(yùn)用于物理教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，類比教學(xué)不但能提高教學(xué)效果，更重要的是能讓學(xué)生掌握類比聯(lián)想的思維方法[4].

數(shù)學(xué)具有很強(qiáng)的抽象性和邏輯性，知識(shí)與知識(shí)之間有許多的聯(lián)系，類比是發(fā)現(xiàn)概念、公式和定理的重要手段.教師在教學(xué)中要注重類比思維的滲透和運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生思考新知識(shí)與過去學(xué)過的哪些知識(shí)相似，找到新舊知識(shí)聯(lián)系的橋梁，借用舊知識(shí)中的規(guī)律來分析新知識(shí)中是否存在相應(yīng)的規(guī)律.在情境引入時(shí)，創(chuàng)設(shè)類比情境，引導(dǎo)學(xué)生在熟悉的知識(shí)中發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的情境[5]，此外，在知識(shí)生成、解題訓(xùn)練等環(huán)節(jié)中都可以運(yùn)用類比教學(xué)提高課堂效率.

2 “函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 類比教學(xué)的運(yùn)用

本節(jié)內(nèi)容舊教材在探究中提出：“一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與二次函數(shù)y=ax2+bx+c=0(a≠0)的圖象有什么關(guān)系？”通過探究活動(dòng)，由特殊到一般，引出零點(diǎn)的概念，并得出一般函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)及其對(duì)應(yīng)方程的根三者之間的關(guān)系.新教材在預(yù)備知識(shí)中學(xué)習(xí)的“一元二次方程的實(shí)數(shù)根就是相應(yīng)二次函數(shù)的零點(diǎn)”為函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的學(xué)習(xí)奠定了知識(shí)基礎(chǔ)，以“能否用相應(yīng)的函數(shù)來求解lnx+2x-6=0這種不能用公式求解的方程？”引入課堂.可以發(fā)現(xiàn)，新舊教材雖然在知識(shí)的編排順序上有所變化，但是新知識(shí)(函數(shù)零點(diǎn)及零點(diǎn)定理)都是在舊知識(shí)(方程的根、二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)關(guān)系)的基礎(chǔ)上進(jìn)行類比、探究和延伸.

因此，在“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”的教學(xué)中，教師可以類比二次函數(shù)的零點(diǎn)及其零點(diǎn)存在的特點(diǎn)來學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)，在二次方程及其相應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系的基礎(chǔ)上建立一般函數(shù)零點(diǎn)的概念，進(jìn)一步探究零點(diǎn)存在定理及其應(yīng)用，將類比方法和轉(zhuǎn)化思想運(yùn)用于教學(xué)中，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的類比思維能力，達(dá)到事半功倍的效果.具體類比見表1.

表1 “函數(shù)零點(diǎn)與方程的解”的類比表

2.2 教學(xué)過程

圖1 “函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”教學(xué)思維導(dǎo)圖

2.2.1 設(shè)置懸念，問題引入

在預(yù)備知識(shí)里我們學(xué)習(xí)了用二次函數(shù)的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)一元二次方程，知道一元二次方程的實(shí)數(shù)根就是相應(yīng)二次函數(shù)的零點(diǎn).你能求解方程 lnx+2x-6=0嗎？能否采用類似的方法，用相應(yīng)的函數(shù)來研究它的解的情況呢？

設(shè)計(jì)意圖：由熟悉的知識(shí)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)類比情境，激發(fā)學(xué)生的好奇心，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)與方程的角度出發(fā)，建立函數(shù)與方程之間的關(guān)系.

2.2.2 類比探究，問題引導(dǎo)

問題1求方程x2-2x-3=0的實(shí)數(shù)根并畫出其對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象，思考：該方程的根與相應(yīng)函數(shù)的圖象有什么聯(lián)系？

思考1你能類比二次函數(shù)的零點(diǎn)得出一般函數(shù)的零點(diǎn)概念嗎？

思考2函數(shù)的零點(diǎn)是點(diǎn)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過方程x2-2x-3=0和函數(shù)f(x)=x2-2x-3進(jìn)一步理解方程、函數(shù)、圖象三者之間的關(guān)系，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的吸收和掌握，喚起舊知，引發(fā)新的思考.從特殊到一般，類比抽象出函數(shù)的零點(diǎn)概念，并建立方程、函數(shù)、圖象三者之間的關(guān)系，進(jìn)一步深入理解函數(shù)零點(diǎn)的概念并強(qiáng)調(diào)易錯(cuò)點(diǎn).

問題2下列方程是否有解,并進(jìn)一步說明其相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)是什么？

(1)2x-3=0; (2)x2-2x-3=0;

(3)x2-2x+2=0; (4)lnx+2x-6=0.

追問：函數(shù)的零點(diǎn)在什么條件下存在呢？

設(shè)計(jì)意圖：趁熱打鐵，通過求解方程來求函數(shù)零點(diǎn)，加深學(xué)生對(duì)方程的解及其函數(shù)零點(diǎn)之間關(guān)系的理解.對(duì)于第(4)小題雖然無法求解但可以從函數(shù)圖象去猜零點(diǎn)，為后面函數(shù)零點(diǎn)存在定理的探究做好鋪墊.

問題3觀察函數(shù)f(x)=x2-2x-3的零點(diǎn)所在區(qū)間，此時(shí)函數(shù)圖象與x軸有什么關(guān)系？如何用函數(shù)f(x)的取值規(guī)律來刻畫這種關(guān)系呢？(提示：考慮f(a)·f(b)的正負(fù).)

思考3如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上滿足f(a)·f(b)<0，那么該函數(shù)在此區(qū)間上一定有零點(diǎn)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：觀察二次函數(shù)存在零點(diǎn)時(shí)函數(shù)圖象的特征，引導(dǎo)學(xué)生觀察零點(diǎn)附近函數(shù)值的特點(diǎn)，體會(huì)存在零點(diǎn)時(shí)函數(shù)圖象“穿過”x軸.學(xué)生合作交流找到零點(diǎn)及其所在區(qū)間，探究零點(diǎn)附近函數(shù)值的特點(diǎn)，通過二次函數(shù)零點(diǎn)存在時(shí)的區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的特征類比歸納一般函數(shù)零點(diǎn)存在定理.

2.2.3 定理辨析，知識(shí)運(yùn)用

問題4如果函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的，且在區(qū)間 (a,b) 內(nèi)有零點(diǎn)，那么是否一定有f(a)f(b)<0？

問題5什么情況下函數(shù)有唯一一個(gè)零點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：發(fā)散學(xué)生的思維，進(jìn)一步深入理解函數(shù)零點(diǎn)存在的條件，說明定理的條件充分而不必要，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.為進(jìn)一步推廣零點(diǎn)存在定理，強(qiáng)調(diào)零點(diǎn)存在定理只能判斷函數(shù)有零點(diǎn)，但不能說明有幾個(gè)零點(diǎn)；存在唯一零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)必須在區(qū)間上單調(diào).在不斷地追問和問題串的設(shè)置中讓學(xué)生深入理解零點(diǎn)存在定理滿足的條件以及零點(diǎn)存在定理的推論.

問題6你能求解方程lnx+2x-6=0嗎？如果有解，有幾個(gè)呢？

思考4你能判斷函數(shù)f(x)=lnx+2x-6 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)嗎？你能證明函數(shù)f(x)=lnx+2x-6 是增函數(shù)嗎？

思考5由零點(diǎn)存在定理能說明函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：從開頭提出問題到最后解決問題，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和運(yùn)用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)辨證能力；問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思考，歸納零點(diǎn)存在定理只能判斷函數(shù)是否有零點(diǎn)，但不能確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)；通過師生共同探究加深學(xué)生對(duì)定理的理解，在定理探究的過程中提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的能力.

2.2.4 反思總結(jié)

(1)思考與總結(jié)：求解一個(gè)方程有哪些方法？什么條件下適合用零點(diǎn)存在定理？本節(jié)課中，我們是如何從一元二次函數(shù)零點(diǎn)以及零點(diǎn)存在知識(shí)類比推廣得出一般函數(shù)的零點(diǎn)及其零點(diǎn)存在定理的？總結(jié)見圖2.

圖2 “函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”類比教學(xué)圖

(2)課后思考：如果函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間(2，3)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，你能將這個(gè)零點(diǎn)的范圍盡量縮小嗎？

設(shè)計(jì)意圖：回顧本節(jié)課知識(shí)形成的過程，體會(huì)類比思維在數(shù)學(xué)課堂的應(yīng)用，加深學(xué)生對(duì)函數(shù)零點(diǎn)與零點(diǎn)存在定理的理解和運(yùn)用.在課堂最后提出思考題，為后續(xù)學(xué)習(xí)埋下伏筆，使整個(gè)學(xué)習(xí)過程，形成一個(gè)有機(jī)的整體，為“二分法求方程的近似解”作鋪墊.

3 教學(xué)反思

在“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”中采用類比教學(xué)，將二次函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解和函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解之間相結(jié)合，運(yùn)用類比思維，借助問題串的引導(dǎo)，將新舊知識(shí)銜接，找到二者之間的聯(lián)系.引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用類比思維學(xué)習(xí)新知識(shí)，將性質(zhì)、形式等相近的問題聯(lián)系起來，轉(zhuǎn)化思路，這樣便能靈活地解決問題.特別是在零點(diǎn)定理的探究時(shí)，以二次函數(shù)為切入點(diǎn)，類比舊知識(shí)的規(guī)律，得到新知識(shí)的規(guī)律.

類比思維是一種重要的邏輯思維方式，只有深入研讀教材，充分理解教材，才能真正做好育人的工作.類比教學(xué)不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，啟發(fā)學(xué)生的思維[6]，還能培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力、遷移推理能力以及創(chuàng)新性思維能力[7].在數(shù)學(xué)課堂上，教師需要善于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.