巧思妙法，破解不等式“恒成立”問題

?甘肅省天水市張家川回族自治縣第三高級中學(xué) 范 烯

涉及不等式“恒成立”的問題，是高中數(shù)學(xué)函數(shù)與不等式的一個重點與難點，往往以含參不等式的形式出現(xiàn)，是一類極具交匯性、綜合性與創(chuàng)新性的復(fù)雜應(yīng)用問題，難度較大，形式多樣.不等式“恒成立”問題知識融合性強，解決時有一定的經(jīng)驗規(guī)律與技巧方法可循，能有效考查學(xué)生各方面的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)能力等，具有較好的選拔性與區(qū)分度，倍受各方關(guān)注.

1 利用判別式法解決不等式“恒成立”問題

判別式法是通過引入?yún)?shù)進(jìn)行待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化，利用二次方程有根來合理構(gòu)建判別式，進(jìn)而結(jié)合不等式的求解來分析與解決.

例1對于任意的正數(shù)a，b，不等式(2ab+a2)k≤4b2+4ab+3a2恒成立，則實數(shù)k的最大值為________.

分析：根據(jù)題目條件等價轉(zhuǎn)化對應(yīng)的“恒成立”不等式，構(gòu)建涉及分式不等式的恒成立問題，轉(zhuǎn)化為關(guān)于b的二次方程，利用方程有根并結(jié)合判別式構(gòu)建對應(yīng)的不等式，通過不等式的求解來確定參數(shù)的最值，進(jìn)而得以確定實數(shù)k的最大值.

點評：利用判別式法解決不等式“恒成立”問題，關(guān)鍵是通過不等式的恒等變換等進(jìn)行處理，巧妙引入?yún)?shù)轉(zhuǎn)化為涉及某一變元的一元二次方程，利用方程有實根所對應(yīng)的判別式非負(fù)來構(gòu)建不等式，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍，從而得以解決相應(yīng)的不等式“恒成立”問題.

2 利用數(shù)形結(jié)合法解決不等式“恒成立”問題

數(shù)形結(jié)合法的關(guān)鍵就是將“恒成立”不等式合理轉(zhuǎn)化為一個常規(guī)函數(shù)或一個含參函數(shù)的問題，通過函數(shù)圖象的“形”來直觀分析與處理.

例2已知函數(shù)f(x)=ex-mx，當(dāng)x>0時，(x-2)f(x)+mx2+2>0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為________.

分析：據(jù)題目條件對相應(yīng)的不等式進(jìn)行等價化歸與轉(zhuǎn)化，結(jié)合參變分離法進(jìn)行處理，并通過構(gòu)造兩個函數(shù)，把對應(yīng)的函數(shù)的“數(shù)”轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的“形”的問題，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合，考察含有參數(shù)的動直線與定曲線的位置關(guān)系，從而建立相應(yīng)的關(guān)系式來確定對應(yīng)的參數(shù)值.

解析：由(x-2)f(x)+mx2+2>0，得(x-2)·ex>-2mx-2，則問題等價于“當(dāng)x>0時，(x-2)ex>-2mx-2恒成立”.

圖1

構(gòu)造g(x)=(x-2)ex，h(x)=-2mx-2.

如圖1所示，根據(jù)條件，只要考察當(dāng)x>0時，曲線g(x)=(x-2)ex的圖象恒在直線h(x)=-2mx-2的上方即可.

對g(x)求導(dǎo)，可得g′(x)=(x-1)ex.

當(dāng)x∈(0，1)時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，+∞)時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增.

又當(dāng)x∈(0，+∞)時，g″(x)=xex>0，所以g(x)在(0，+∞)上是凹函數(shù).

而g(0)=h(0)=-2，所以只要滿足直線h(x)=-2mx-2的斜率不大于曲線g(x)=(x-2)ex在x=0處的切線的斜率即可.

點評：利用數(shù)形結(jié)合法解決不等式“恒成立”問題，關(guān)鍵是結(jié)合“恒成立”的不等式進(jìn)行恒等變形與轉(zhuǎn)化，構(gòu)建與之對應(yīng)的兩個函數(shù)，通過一條定曲線與一動直線的位置關(guān)系，利用圖形直觀確定臨界位置，這是數(shù)形結(jié)合處理此類問題的關(guān)鍵所在.

3 利用分離參數(shù)法解決不等式“恒成立”問題

分離參數(shù)法是解決含參不等式“恒成立”問題最常用的一類技巧方法，結(jié)合不等式進(jìn)行恒等變形，分離出相應(yīng)的參數(shù)，再從另一邊所對應(yīng)的函數(shù)來切入與處理.

分析：合理結(jié)合題目條件中不等式的等價變形與轉(zhuǎn)化，再結(jié)合不等號兩邊的函數(shù)結(jié)構(gòu)特征，利用函數(shù)的同構(gòu)處理，通過函數(shù)求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而巧妙分離參數(shù)，最后利用函數(shù)的構(gòu)建以及其單調(diào)性，進(jìn)而確定相關(guān)參數(shù)的取值范圍.

設(shè)函數(shù)f(x)=x+e-x(x>1)，可知f(lnx-a)=lnx-a+e-lnx-a=lnx-a+xa.

所以函數(shù)g(x)在(1，e)上單調(diào)遞增，在(e，+∞)上單調(diào)遞減.

故g(x)≤g(e)=-e，從而a≥-e.故選擇：C.

點評：利用分離參數(shù)法解決不等式“恒成立”問題，關(guān)鍵是對含參不等式進(jìn)行合理恒等變形與轉(zhuǎn)化，巧妙分離出參數(shù)，進(jìn)而構(gòu)建對應(yīng)的函數(shù)，通過基本初等函數(shù)的單調(diào)性或借助函數(shù)求導(dǎo)處理來確定對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定對應(yīng)函數(shù)的極值或最值，從而得以確定參數(shù)的取值范圍.

4 利用主參變換法解決不等式“恒成立”問題

主參變換法就是改變常規(guī)的主元與參數(shù)之間的關(guān)系與性質(zhì)，轉(zhuǎn)換思維角度，從“旁觀者”的視角來切入，實現(xiàn)問題的化歸與轉(zhuǎn)化.

例4已知函數(shù)y=mx2-mx-6+m，若對于1≤m≤3，y<0恒成立，則實數(shù)x的取值范圍為________.

分析：根據(jù)題目條件，構(gòu)建不等式恒成立所對應(yīng)的不等式，借助主參變換處理，轉(zhuǎn)化為涉及參數(shù)m的一次不等式，利用題目條件以及參數(shù)m的限制條件構(gòu)建涉及參數(shù)x的不等式，進(jìn)而利用題目條件轉(zhuǎn)化相應(yīng)的一元二次不等式，通過求解不等式來確定對應(yīng)實數(shù)x的取值范圍.

解析：由y<0，得mx2-mx-6+m<0.借助主參變換處理，整理可得(x2-x+1)m-6<0.

點評：利用主參變換法解決不等式“恒成立”問題，關(guān)鍵是利用題目中的不等式進(jìn)行恒等變形與巧妙轉(zhuǎn)化，合理轉(zhuǎn)化主元與參數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)行主參變換處理，結(jié)合不等式恒成立加以巧妙化歸，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為不等式、函數(shù)等其他相關(guān)問題加以分析與處理.

涉及不等式“恒成立”的問題，解決的基本策略就是“含參”轉(zhuǎn)化與“分參”處理兩個基本思維角度.具體解決時，或通過“數(shù)”的視角，利用判別式法、分離參數(shù)法、主參變換法等處理；或通過“形”的視角，數(shù)形結(jié)合法等處理.綜合不等式的性質(zhì)以及函數(shù)的基本性質(zhì)等，合理構(gòu)造，巧妙轉(zhuǎn)化為較為熟悉的數(shù)學(xué)模型，從而得以破解不等式“恒成立”問題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)品質(zhì)、數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).