高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)解題教學(xué)研究

徐 斐

（甘肅省莊浪縣紫荊中學(xué)，甘肅莊浪 744600）

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)及其性質(zhì)的有效工具，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的理性思維具有重要作用。在實(shí)際教學(xué)中，有些學(xué)生一提到導(dǎo)數(shù)就感到頭疼，不能熟練掌握導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和內(nèi)涵，在解題的時(shí)候總是找不到切入點(diǎn)，久而久之，就會(huì)產(chǎn)生厭學(xué)心理。現(xiàn)代教學(xué)觀念對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了嚴(yán)格的要求，學(xué)生需要從“學(xué)會(huì)”向“會(huì)學(xué)”轉(zhuǎn)變，注重知能統(tǒng)一，培養(yǎng)積極探索的科學(xué)精神。近幾年，高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查越來越多，在各種不同的題型中都會(huì)遇到，這也給高中數(shù)學(xué)教師敲響了警鐘，需要加強(qiáng)對(duì)導(dǎo)數(shù)解題的重視，注重實(shí)際應(yīng)用題的教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生正確的解題思路，激發(fā)其無盡的活力，將導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)及精髓落到實(shí)處。學(xué)生不僅要掌握導(dǎo)數(shù)的概念、性質(zhì)，還要學(xué)會(huì)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解題的思想，具體問題具體分析，感到導(dǎo)數(shù)的優(yōu)越性。

一、導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的地位

（一）有助于學(xué)生理解函數(shù)性質(zhì)

函數(shù)在高中階段的重要性不言而喻，學(xué)生不僅要掌握函數(shù)的定義域、解析式等基礎(chǔ)信息，還要熟練操作單調(diào)性、奇偶性等特性。這些數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)可以通過函數(shù)圖像進(jìn)行表示，在解題時(shí)也可以利用描點(diǎn)法探索函數(shù)性質(zhì)。但是，當(dāng)遇到非基本初等函數(shù)時(shí)利用描點(diǎn)法作圖就會(huì)遇到困難，此時(shí)則可以通過導(dǎo)數(shù)知識(shí)來解決問題。比如，學(xué)生可以利用一階導(dǎo)數(shù)來判定某個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這樣就簡(jiǎn)化了解題步驟，還能夠提高正確率；也可以利用極限思想找出函數(shù)的水平漸近線和垂直漸近線，降低函數(shù)學(xué)習(xí)的難度，有利于開發(fā)自身的潛力。

（二）有助于發(fā)散學(xué)生思維能力

以前，高中數(shù)學(xué)教師在教授導(dǎo)數(shù)知識(shí)時(shí)都是按照固定的模式，先講解概念，再講解用法，最后進(jìn)行做題鞏固，沒有照顧到不同水平學(xué)生的感受，對(duì)于學(xué)生的監(jiān)督和指導(dǎo)力度不足，容易造成學(xué)生思維發(fā)展緩慢。在新時(shí)期，高中數(shù)學(xué)教師要將導(dǎo)數(shù)放到實(shí)際問題中進(jìn)行講解，做好互動(dòng)和點(diǎn)撥，讓學(xué)生以動(dòng)態(tài)的、開放的思想去研究數(shù)學(xué)，全面提高學(xué)生的思維能力。同時(shí)，數(shù)學(xué)教師還要幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)專題模塊，讓學(xué)生從掌握一道題的解法轉(zhuǎn)換成掌握一類題的解法，在一定程度上提升了其邏輯推理的核心素養(yǎng)。

（三）有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)價(jià)值

絕大多數(shù)學(xué)生都認(rèn)為數(shù)學(xué)難學(xué)，總是把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)當(dāng)成一種任務(wù)和負(fù)擔(dān)，沒有認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的真正目的，這將會(huì)影響學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。當(dāng)給學(xué)生講述導(dǎo)數(shù)方面的知識(shí)時(shí)，高中數(shù)學(xué)教師可以向他們講述導(dǎo)數(shù)的工具性和實(shí)用性，并且滲透其在國(guó)防、醫(yī)藥、工程、經(jīng)濟(jì)方面的作用，使學(xué)生從內(nèi)心中注重導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，從而全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值。這在一定程度上改變了學(xué)生的思維誤區(qū)。高中數(shù)學(xué)教師要挑選典型的教學(xué)案例及數(shù)學(xué)文化教育，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使其養(yǎng)成正確的數(shù)學(xué)觀，受到“隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無聲”的熏陶。

二、高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)解題教學(xué)研究

（一）導(dǎo)數(shù)在函數(shù)解題中的應(yīng)用

1.利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性。導(dǎo)數(shù)是函數(shù)單調(diào)性的萬能解法，特別是在求解復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性時(shí)常常會(huì)用到，要比運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性定義更加便捷和高效。很多學(xué)生在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的時(shí)候都會(huì)有一個(gè)誤區(qū)，就是不知道何時(shí)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解，總是把導(dǎo)數(shù)局限在一個(gè)小范圍內(nèi)，這樣會(huì)影響學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。還有的學(xué)生在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解題時(shí)總是對(duì)函數(shù)定義域的限制作用以及最終的單調(diào)區(qū)間端點(diǎn)的開和閉理解不清，導(dǎo)致出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤，這些都需要引起教師的關(guān)注。高中數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中應(yīng)該向?qū)W生講述導(dǎo)數(shù)的作用以及應(yīng)用場(chǎng)景，幫助學(xué)生提高理性思維能力，逐步滲透數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的好習(xí)慣。

在解題過程中，學(xué)生首先要熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性：（1）在區(qū)間（a，b）內(nèi)，若f'（x）＞0，則f（x）為增函數(shù)；若f'（x）＜0，則f（x）為減函數(shù)；若f'（x）＝0，則f（x）為常函數(shù)。（2）在區(qū)間（a，b）內(nèi)，若f（x）為增函數(shù)，則f'（x）≥0；若f（x）為減函數(shù)，則f'（x）≤0；若f（x）為常函數(shù)，則f'（x）＝0。然后數(shù)學(xué)教師再向?qū)W生講述用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的一般方法：（1）確定函數(shù)f（x）的定義域。（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'（x）。（3）解不等式，如果f'（x）＞0，則f（x）在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；如果f'（x）＜0，則f（x）在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間。在實(shí)際解題中還會(huì)遇到含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，有些學(xué)生會(huì)出現(xiàn)混淆，其實(shí)這種題型并不難，只要做好分析和總結(jié)，就能夠清楚的得知。如對(duì)f'（x）＝0 的根的有無，根的大小，根是否在所給的區(qū)間內(nèi)進(jìn)行討論是最常用的解題方法。

2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值?？v觀近幾年高考試題，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性與極值問題已經(jīng)成為熱點(diǎn)，不僅有計(jì)算題，還有解答題，更加側(cè)重于對(duì)學(xué)生綜合能力的考查。學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了對(duì)函數(shù)單調(diào)性的研究，因此在學(xué)習(xí)極值的時(shí)候就能夠更加順暢。高中數(shù)學(xué)教師需要幫助學(xué)生理解函數(shù)極值的概念。簡(jiǎn)單來說，極值是函數(shù)局部范圍的最大或最小值，其中，極大值就是局部最大值，極小值就是局部最小值。函數(shù)極值在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)實(shí)驗(yàn)中有著廣泛的應(yīng)用，通常情況下會(huì)考查：怎樣達(dá)到“成本最低”“效率最高”等等。對(duì)于這類問題都可以通過導(dǎo)數(shù)來轉(zhuǎn)化為求某一函數(shù)的最大值或最小值問題。然后，數(shù)學(xué)教師要向?qū)W生講解導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的解題步驟，第一步先求函數(shù)f（x）的定義域和導(dǎo)函數(shù)f'（x），第二步求方程f'（x）=0 的根，第三步判斷f'（x）在方程的根的左、右兩側(cè)值的符號(hào)，第四步根據(jù)符號(hào)畫表格求極值。值得注意的是，極值是把導(dǎo)函數(shù)中的靜態(tài)點(diǎn)x 值代入原函數(shù)。最后，高中數(shù)學(xué)教師要帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)規(guī)律。在極值點(diǎn)左右，如果一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)從減號(hào)變到加號(hào)，那么該點(diǎn)為極小值點(diǎn)；如果一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)從加號(hào)變到減號(hào)，那么該點(diǎn)為極大值點(diǎn)；如果一階導(dǎo)數(shù)不變號(hào)，那么該點(diǎn)不是極值點(diǎn)。為了加深學(xué)生對(duì)極值的掌握，數(shù)學(xué)教師可以設(shè)計(jì)一道沒有極值的題目，讓學(xué)生知道并不是任何函數(shù)都有極值，在實(shí)際問題中要靈活運(yùn)用知識(shí)，從而達(dá)到最佳的學(xué)習(xí)效果。

3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值。顧名思義，函數(shù)最值指的是函數(shù)最小值和最大值，其中最小值即定義域中函數(shù)值的最小值，最大值即定義域中函數(shù)值的最大值。很多學(xué)生遇到求函數(shù)最值問題經(jīng)常是花費(fèi)了很多時(shí)間卻不能準(zhǔn)確得出答案，究其原因就是沒有掌握正確的學(xué)習(xí)方法，對(duì)于函數(shù)最值的理解不透徹。學(xué)生解決函數(shù)最值問題的時(shí)候必須進(jìn)行全方位的考慮，以函數(shù)的定義域?yàn)橐劳?，?duì)可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果作出合理的分析，最終求出結(jié)果。很多時(shí)候函數(shù)最值的求解與函數(shù)極值有著密不可分的關(guān)系，函數(shù)最值要么在極值處取得，要么在區(qū)間端點(diǎn)處取得。所以，學(xué)生在用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的時(shí)候可以先求出函數(shù)的極值，如果是閉區(qū)間，那么求出端點(diǎn)值與極值進(jìn)行比較；如果是開區(qū)間，那么函數(shù)最值可能不存在。高中數(shù)學(xué)教師可以給學(xué)生列舉高考數(shù)學(xué)中求函數(shù)最值的真題，以此來深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使其能夠?qū)⒑瘮?shù)極值問題轉(zhuǎn)化為不同的導(dǎo)函數(shù)根的分布問題，進(jìn)而利用函數(shù)的性質(zhì)和圖像解決問題。這樣不僅有利于增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信和動(dòng)力，還促進(jìn)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)真題難度的把握。

（二）導(dǎo)數(shù)在幾何解題中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是高中現(xiàn)行教材中新增加的內(nèi)容，也是新課標(biāo)的重點(diǎn)考查內(nèi)容，在日常學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)關(guān)于導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用的題型，解決這類問題要用到函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等知識(shí)。高中數(shù)學(xué)教師需要從紛繁復(fù)雜的題目中提煉出一些常見的模型，幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系，以專題的形式向?qū)W生進(jìn)行答疑，從而全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力。導(dǎo)數(shù)在幾何解題中應(yīng)用的主要數(shù)學(xué)思想是“數(shù)形結(jié)合”和“轉(zhuǎn)化思想”，對(duì)于有些數(shù)學(xué)水平薄弱的學(xué)生理解起來存在一定的困難，這就需要數(shù)學(xué)教師做好分層教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)中做，在做中悟，不斷積累數(shù)學(xué)知識(shí)和解題經(jīng)驗(yàn)，使數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單化。

導(dǎo)數(shù)的幾何意義在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中通常是用于求曲線的切線斜率或者方程，其關(guān)鍵點(diǎn)就在于求出切點(diǎn)P（x，y）。數(shù)學(xué)教師可以為學(xué)生總結(jié)如下四種類型：第一，已知切點(diǎn)，求曲線的切線方程。這個(gè)題型屬于基礎(chǔ)題，只需要求出曲線的導(dǎo)數(shù)f'（x），再將其帶入到點(diǎn)斜式方程中求解即可。第二，已知斜率，求曲線的切線方程。這個(gè)題型難度適中，需先利用斜率求出切點(diǎn)，再利用點(diǎn)斜式方程求解。第三，已知過曲線上一點(diǎn)，求曲線的切線方程。這類題型相對(duì)復(fù)雜，需要用到待定切點(diǎn)法，先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，因?yàn)榍芯€過曲線上一點(diǎn)，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)。第四，已知切線過曲線外一點(diǎn)，求曲線的切線方程。此題解法同第三點(diǎn)，先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)。

（三）導(dǎo)數(shù)在不等式解題中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)方面的知識(shí)點(diǎn)并不復(fù)雜，復(fù)雜的是綜合應(yīng)用到實(shí)際中。導(dǎo)數(shù)在不等式解題中的應(yīng)用是一個(gè)重難點(diǎn)，不僅思維量大，還極易出錯(cuò)，需要學(xué)生提高重視，強(qiáng)化基礎(chǔ)能力訓(xùn)練，達(dá)到融會(huì)貫通的效果。利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行不等式解題主要考查的知識(shí)點(diǎn)時(shí)不等式與函數(shù)之間的聯(lián)系，對(duì)此可結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)特征，將不等式直接或間接進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，將不等式的證明問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，發(fā)展學(xué)生的辯證思維能力，為其將來學(xué)好微積分打下基礎(chǔ)。

利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解不等式是學(xué)生的必備能力，考查內(nèi)容主要包括以下幾點(diǎn)：分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；借助函數(shù)的單調(diào)性確定不等式的解集；確定函數(shù)在某個(gè)單調(diào)區(qū)間上有無零點(diǎn)的方法；借助特殊值來判斷單調(diào)區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的符號(hào)。在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生不會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立的問題，每次遇到這樣的問題都不知道該如何解答。因此，高中數(shù)學(xué)教師可以制作一個(gè)小專題，幫助學(xué)生答疑解惑，降低數(shù)學(xué)知識(shí)的難度，促進(jìn)學(xué)生全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值。一般情況下，不等式恒成立會(huì)涉及求參數(shù)范圍，此時(shí)可以把變量分離，轉(zhuǎn)化為m＞f（x）或m＜f（x）恒成立，這樣就把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化成了函數(shù)求最值問題，學(xué)生可以利用以前學(xué)過的知識(shí)順利求解，不僅簡(jiǎn)便了算法，還實(shí)現(xiàn)了新舊知識(shí)的銜接。由此可見，不管是證明不等式，還是解不等式，只要涉及函數(shù)的單調(diào)性或最值，都可以利用導(dǎo)數(shù)來解決。

（四）導(dǎo)數(shù)在方程求根解題中的應(yīng)用

在日常練習(xí)及高考試題中均以不同的形式出現(xiàn)過運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求方程根的問題，可見這是一個(gè)需要重點(diǎn)研究和學(xué)習(xí)的內(nèi)容。在解決這類問題的時(shí)候，高中數(shù)學(xué)教師要善于指導(dǎo)學(xué)生利用導(dǎo)函數(shù)與X 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來判斷方程根的個(gè)數(shù)，這會(huì)使學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題被迎刃而解，從而更加熱愛數(shù)學(xué)。教師可以利用微視頻或者電子課件的方式給學(xué)生歸納學(xué)習(xí)方法，并且將其上傳到共享平臺(tái)上，使學(xué)生在課后也可以下載學(xué)習(xí)，打破了時(shí)空限制，更有利于全體學(xué)生的共同進(jìn)步。將方程的問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的零點(diǎn)或者函數(shù)圖像交點(diǎn)問題，對(duì)于學(xué)生的抽象思維和空間能力要求較高，數(shù)學(xué)教師要做好日常訓(xùn)練工作，通過多種渠道加深學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解，并且使其能夠熟練繪制函數(shù)圖像，發(fā)現(xiàn)更多有價(jià)值的信息，從而快速找到解題的方向。如今，導(dǎo)數(shù)已經(jīng)從“配角”升級(jí)為“主角”，高中數(shù)學(xué)教師要將導(dǎo)數(shù)解題與傳統(tǒng)解題結(jié)合起來，指導(dǎo)學(xué)生靈活分析問題和解決問題，養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣和學(xué)習(xí)能力。

（五）導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題解題中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)：提供多樣課程，適應(yīng)個(gè)性選擇，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)，會(huì)用數(shù)學(xué)，形成數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。因此，高中數(shù)學(xué)教師要加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中應(yīng)用的教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光，使其獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識(shí)和能力。

在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇到一些與生活相關(guān)的問題，其實(shí)這些問題可以通過導(dǎo)數(shù)來解決，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展大有裨益。生活中的數(shù)學(xué)問題通常會(huì)被稱為最優(yōu)化問題，解決這類問題并不是沒有規(guī)律可循的，只要學(xué)生能夠理清思路，學(xué)會(huì)分析實(shí)際問題中各變量之間的關(guān)系，列出數(shù)學(xué)模型，就能夠根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來提出優(yōu)化方案。高中數(shù)學(xué)教師要做好數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的融合，讓學(xué)生有更大的發(fā)展空間。有時(shí)候?qū)?shù)可以應(yīng)用到物理問題的解答中，例如求最小拉力、最大速度等問題，利用傳統(tǒng)的解題方法不僅浪費(fèi)時(shí)間，還容易出錯(cuò)，而通過導(dǎo)數(shù)建立一定的函數(shù)式，就可以很快找到已知量和未知量，簡(jiǎn)化了復(fù)雜的物理問題。導(dǎo)數(shù)知識(shí)的考查具有較強(qiáng)的綜合性和靈活性，幾乎涉及高中數(shù)學(xué)的每個(gè)分支，需要學(xué)生具備良好的數(shù)據(jù)分析和邏輯推理能力，因題而異地選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法。

三、結(jié)語

綜上所述，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是高考的必考內(nèi)容，高中數(shù)學(xué)教師要善于研究以導(dǎo)數(shù)為載體的數(shù)學(xué)問題，指導(dǎo)學(xué)生正確的導(dǎo)數(shù)解題方法和技巧，加強(qiáng)學(xué)生的解題興趣，提升思維的發(fā)散性和靈活性，從而突破難點(diǎn)。還要注重知識(shí)的遷移，將導(dǎo)數(shù)知識(shí)廣泛應(yīng)用到數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中，使學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思想，可以輕松應(yīng)對(duì)導(dǎo)數(shù)難題。