關(guān)于形式三角矩陣環(huán)的一點(diǎn)注記

王修建，岳 芹，李 露

(皖西學(xué)院 金融與數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 六安，237012)

全文考慮的環(huán)均為有單位元的結(jié)合環(huán)，所有的模均為單式模。假設(shè)A,B是環(huán)，M是左B-右A-雙模，設(shè)集合

定義T上加法為普通矩陣的加法，乘法為

則T是一個(gè)環(huán)，稱為一個(gè)形式三角矩陣環(huán)。

形式三角矩陣環(huán)作為一般矩陣環(huán)的推廣是十分重要的，它可以用來構(gòu)造環(huán)論與模論中的反例。文[1]中研究了形式三角矩陣環(huán)的一些環(huán)論性質(zhì)，文[2]中討論了形式三角矩陣的模，文[3]中進(jìn)一步地刻畫了形式三角矩陣環(huán)的特殊性質(zhì)。受國(guó)內(nèi)外研究形式三角矩陣環(huán)的內(nèi)容啟發(fā)，本文刻畫了幾種特殊環(huán)的形式三角矩陣性質(zhì)，討論了形式三角矩陣環(huán)的P-內(nèi)射環(huán)，探討了廣義穩(wěn)定環(huán)以及形式三角矩陣環(huán)上冪零性。

1 P-內(nèi)射環(huán)

環(huán)R稱為左(右)P-內(nèi)射環(huán)，如果對(duì)每個(gè)同態(tài)f:Ra(aR)→R，存在c∈R使得對(duì)任意x∈I有f(x)=cx(xc),其中a∈R[4](P75)。

引理1.1[4](P75)對(duì)任意環(huán)R，下述等價(jià)：

(1)R是一個(gè)左P-內(nèi)射環(huán)；

(2) 對(duì)任意a∈R，rl(a)=aR；

(3) 對(duì)任意a,b∈R，r(Ra∩l(b))=r(a)+bR.

(1)A和B都是左P-內(nèi)射環(huán)；

(2) 對(duì)任意的a,a′∈A,b,b′∈B,m,m′∈M，有

rM(Bb∩lB(b′)∩lB(m′))=rM(b)+m′A+b′M.

證明：對(duì)任意的a,a′∈A,b,b′∈B,m,m′∈M，

由

可得

以及

于是有

因?yàn)門是左P-內(nèi)射環(huán)，由引理1.1知rT(Tμ∩lT(ω))=rT(μ)+ωT，因此我們有

在(1)式中取M=0，可得rA(Aa∩lA(a′))=rA(a)+a′A，在(2)式中取m′=0，可得rB(Bb∩lB(b′))=rB(b)+b′B，根據(jù)引理1.1，由a,a′∈A,b,b′∈B的任意性知A和B都是左P-內(nèi)射環(huán)。同時(shí)，對(duì)任意的a,a′∈A,b,b′∈B,m,m′∈M，可得

rM(Bb∩lB(b′)∩lB(m′))=rM(b)+m′A+b′M。

而一個(gè)環(huán)R是右P-內(nèi)射環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意a,b∈R，有l(wèi)(bR∩r(a))=l(b)+Ra[5]。結(jié)合定理1.1以及文[3]不難證明下述結(jié)論。

(1)A和B都是右P-內(nèi)射環(huán)；

(2) 對(duì)任意的a,a′∈A,b,b′∈B,m,m′∈M，可得

lM(aA∩rA(a′)∩rA(m′))=lM(a)+Ma′+Bm′.

2 冪零性和廣義穩(wěn)定環(huán)

引理2.1[6]環(huán)R是一個(gè)弱-Abel環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的a,e2=e∈R，若ae=0，則一定有ea∈J(R)。

引理2.2[1]下述條件成立

通過引理2.1知ea∈J(A)，所以由a,e的任意性可知A是弱-Abel環(huán)。

環(huán)R稱為廣義穩(wěn)定環(huán)[7]，如果aR+bR=R，a,b∈R可推出有y∈R使得a+by∈K(R)，其中K(R)={x∈R|存在s,t使得sxt=1}。

定理2.2 若形式三角矩陣環(huán)T是廣義穩(wěn)定環(huán)，則A和B都是廣義穩(wěn)定環(huán)；反過來，若A和B都是廣義穩(wěn)定環(huán)且m1+m2a=0(*)對(duì)任意的a∈A,m1,m2∈M成立，則T是廣義穩(wěn)定環(huán)。

于是r1(a1+a2a)r2=1，因此A是廣義穩(wěn)定環(huán)。

類似于上述關(guān)于A是廣義穩(wěn)定環(huán)的討論過程，即證B也是廣義穩(wěn)定環(huán)。

故由定義條件知T為廣義穩(wěn)定環(huán)。

稱一個(gè)環(huán)R是N-詣零環(huán)[8]，如果對(duì)任意的a∈R都有與a相關(guān)的正整數(shù)n和k使得(na)k=0。

結(jié)合文[8]，易得

3 結(jié)語(yǔ)

利用形式三角矩陣環(huán)的性質(zhì)，刻畫了形式三角矩陣環(huán)的P-內(nèi)射性和形式三角矩陣環(huán)的廣義穩(wěn)定性，進(jìn)一步豐富了環(huán)論的研究，同時(shí)也是對(duì)形式三角矩陣環(huán)內(nèi)容的有益補(bǔ)充。