基于SQSWOMP算法的軸承實(shí)時(shí)故障診斷研究*

錢子君,吳 波,于劍峰,王文瑞,王振明,袁曉兵

（1.中國科學(xué)院 上海高等研究院,上海 200120;2.中國科學(xué)院大學(xué),北京 100089;3.中國科學(xué)院 上海微系統(tǒng)與信息技術(shù)研究所,上海 200233）

0 引 言

隨著工業(yè)的發(fā)展,旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備逐漸向精密化、自動(dòng)化、智能化方向發(fā)展[1]。旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備通常包含軸承系統(tǒng)、變速系統(tǒng)、轉(zhuǎn)子、聯(lián)軸器,高度結(jié)構(gòu)化使得其內(nèi)部組件之間的聯(lián)系更加緊密,對設(shè)備運(yùn)行可靠性的要求也更高。旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備工作環(huán)境惡劣復(fù)雜,長期高強(qiáng)度工作增加了其故障頻發(fā)的可能性,重則會(huì)造成人員、財(cái)產(chǎn)的重大損失[2]。

滾動(dòng)軸承作為重要的傳動(dòng)和承托零件,是旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備的重要組成部分。

軸承故障通常表現(xiàn)為內(nèi)、外圈和滾動(dòng)體的局部損傷,如表面出現(xiàn)裂紋、磨損或者剝落等,故障發(fā)生比例高達(dá)30%[3]。軸承一旦失效,旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備工作狀況會(huì)逐漸惡化,直至無法工作。所以對軸承的狀態(tài)進(jìn)行監(jiān)測是保障復(fù)雜旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備安全性與穩(wěn)定性工作的關(guān)鍵之一。根據(jù)監(jiān)測結(jié)果可以確定合理的檢修時(shí)間,制定適宜的維修方案,因此,對滾動(dòng)軸承進(jìn)行實(shí)時(shí)狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷具有極大的工程意義。

滾動(dòng)軸承故障診斷主要步驟為:（1）信號采集;（2）故障特征提取;（3）故障監(jiān)測分類。

在軸承故障診斷方法中,最早、最成熟的是振動(dòng)分析法。比如,短時(shí)傅里葉變換[4]、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（empirical mode decomposition,EMD）[5]、小波變換法[6]等。短時(shí)傅里葉變換在提取信號的非線性特征時(shí),由于窗函數(shù)固定,導(dǎo)致時(shí)頻分辨率無法改變;EMD可以將振動(dòng)信號自適應(yīng)分解,但可能出現(xiàn)端點(diǎn)效應(yīng)、模態(tài)混淆等問題;小波變換法對小波基的選取敏感性大,時(shí)頻域精度有待改進(jìn)。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,由于人工智能算法具有強(qiáng)大的非線性信號特征提取能力,被廣泛應(yīng)用到故障診斷中。常見的故障分類算法有:BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[7]、支持向量機(jī)（support vector machine, SVM）[8]、K最鄰近算法（k-nearest neighbor, KNN）[9]130-131等。這些算法都存在一定的局限性。比如,BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)會(huì)出現(xiàn)過擬合、收斂困難等問題;SVM的故障分類效果受到數(shù)據(jù)樣本分布與參數(shù)選取兩方面影響[10];面對海量實(shí)時(shí)采集的軸承數(shù)據(jù)時(shí),KNN算法的效率有待提升。

皮駿等人[11]用改進(jìn)的遺傳算法優(yōu)化了BP網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值,對滾動(dòng)軸承正常、內(nèi)圈故障、外圈故障和鋼球故障4種工況進(jìn)行了診斷。張弛等人[12]將軸承振動(dòng)信號輸入二維卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),進(jìn)行了自適應(yīng)特征提取,再取全連接層結(jié)果作為支持向量機(jī)的輸入,實(shí)現(xiàn)了對軸承的故障分類。王嘉浩等人[9]129-133在KNN中引入了相似度量,并且結(jié)合小波包分解算法,對軸承故障進(jìn)行了診斷。

當(dāng)處理振動(dòng)信號的分類問題時(shí),單一的模型無法準(zhǔn)確地識別軸承故障,這些分類算法需要結(jié)合其他降噪算法,并尋找最優(yōu)參數(shù),龐大的數(shù)據(jù)量會(huì)消耗大量計(jì)算資源,難以實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)的故障診斷,且很少關(guān)注到信號采集存儲(chǔ)方面的問題。

壓縮感知理論是在信號稀疏分解和近似理論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種新的信號處理理論[13],它避免了傳統(tǒng)奈奎斯特定理的局限性,實(shí)現(xiàn)了邊采樣、邊壓縮,節(jié)省了振動(dòng)信號的獲取時(shí)間與存儲(chǔ)傳輸成本,并被成功應(yīng)用于圖像和故障診斷等許多領(lǐng)域。

郭俊鋒等人[14]提出了基于K-SVD字典學(xué)習(xí)算法,稀疏表示振動(dòng)信號壓縮測量的重構(gòu)方法,通過研究離散余弦（discrete cosine transform, DCT）字典的方式,用振動(dòng)信號訓(xùn)練得到了特定字典,發(fā)現(xiàn)了用振動(dòng)信號訓(xùn)練成的字典稀疏表示性能優(yōu)于固定字典。鹿洪榮[15]提出了一種基于壓縮感知理論的機(jī)械故障信號檢測方法,用壓縮感知理論構(gòu)造了測量矩陣,并用范數(shù)稀疏逼近法求稀疏解,其故障診斷準(zhǔn)確率可達(dá)到96.16%。ZHANG Xin-peng等人[16]1253-1265提出了基于K-奇異值分解（k-singular value decomposition, K-SVD）與正交匹配追蹤算法（orthogonal matching pursuit, OMP）的低維信號故障診斷方法,并研究了觀測值對其性能的影響。

上述文獻(xiàn)中,K-SVD算法的稀疏編碼算法均采用OMP算法,而OMP算法需要信號稀疏度作先驗(yàn)知識,對測量矩陣也有一定的要求。

作為常見的信號重構(gòu)算法,貪婪算法包含OMP[17]、子空間追蹤算法（subspace pursuit, SP）[18]、稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤算法（sparsity adaptive matching pursuit, SAMP）[19]、分段弱正交匹配追蹤算法（stagewise weak orthogonal matching pursuit, SWOMP）[20]等。OMP算法在每次迭代過程中均需求解目標(biāo)函數(shù)的最小二乘解,其重建的復(fù)雜度較高。SP算法引入回溯思想,可以獲得更好的重建質(zhì)量和較低的重建復(fù)雜度,但需要將稀疏度作為先驗(yàn)知識,因此,難以將其應(yīng)用到未知的復(fù)雜振動(dòng)信號特征提取問題上。SAMP算法的重建精度仍有上升空間,其重建效率低的特點(diǎn)使它很難實(shí)現(xiàn)故障的實(shí)時(shí)監(jiān)測。SWOMP算法不需要將稀疏度作為先驗(yàn)條件,減少了對測量矩陣的要求,在重建信號時(shí),SWOMP算法采用內(nèi)積準(zhǔn)則,從傳感矩陣中挑出與殘差信號較為匹配的原子;在迭代過程中,使用固定的閾值參數(shù)極易導(dǎo)致高估或低估的結(jié)果;并且由于在迭代過程中尋求的不是最優(yōu)解,導(dǎo)致了SWOMP算法重建精度較低。

近些年來,也有很多關(guān)于改進(jìn)貪婪算法的研究。張瑞等人[21]提出了一種改進(jìn)的OMP算法,用共軛梯度法對OMP算法中的直接矩陣求逆步驟進(jìn)行了改進(jìn),降低了算法的復(fù)雜度。賀紹琪等人[22]在測量矩陣方面對SWOMP算法進(jìn)行了改進(jìn),用部分哈達(dá)瑪矩陣替代了傳統(tǒng)的高斯矩陣,顯著降低了測量矩陣的互相關(guān)性,提高了其重建精度。劉建生等人[23]利用廣義Jaccard系數(shù)相似性的匹配準(zhǔn)則代替了內(nèi)積匹配準(zhǔn)則,解決了以內(nèi)積準(zhǔn)則求向量相似度造成原子丟失的問題,優(yōu)化了原子篩選過程。

針對SWOMP算法的不足,筆者提出一種S形二次分段弱正交匹配追蹤算法（s-shaped quadratic stagewise weak orthogonal matching pursuit, SQSWOMP）。

首先,筆者基于S形函數(shù)有初始階段快速接近、最終階段緩慢接近的變步長特點(diǎn),在SWOMP算法中引入S形變換函數(shù),使得每次迭代得到的門限參數(shù)根據(jù)重構(gòu)誤差有所調(diào)整,以解決SWOMP算法對門限參數(shù)的選取依賴性大的問題,提高算法的自適應(yīng)性;并且在SWOMP算法的原子選擇過程中,根據(jù)回溯思想,加入原子的二次篩選過程,剔除無效原子,提高算法的重構(gòu)精度;將SQSWOMP算法應(yīng)用到K-SVD算法的稀疏編碼階段中,以期提高故障特征信息的提取能力,有效識別出軸承信號的狀態(tài)。

1 壓縮感知理論

壓縮感知理論表明,如果信號具有稀疏性,那么可以通過與變換不相干的觀測矩陣,將原高維信號投影至低維空間,再經(jīng)過重構(gòu)算法,就可以實(shí)現(xiàn)用低維信號精準(zhǔn)地恢復(fù)原始高維信號。

但信號通常在時(shí)域上是不稀疏的,需要做相應(yīng)的變換以實(shí)現(xiàn)信號的近似稀疏。例如,某些時(shí)域不稀疏的信號在頻域是稀疏的,通過傅里葉變換將原信號轉(zhuǎn)換為頻域信號,這一步即代表信號的稀疏表示,繼而通過重建方法在稀疏域復(fù)原出原信號。

壓縮感知理論的3個(gè)核心問題是信號觀測、稀疏表示與信號重構(gòu),如圖1所示。

機(jī)械設(shè)備是由不同組件構(gòu)成的高結(jié)構(gòu)化整體,需要的設(shè)備監(jiān)測點(diǎn)較多,長時(shí)間、持續(xù)的監(jiān)測會(huì)生成海量數(shù)據(jù),這給數(shù)據(jù)存儲(chǔ)、傳輸帶來了巨大壓力。旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備工作環(huán)境復(fù)雜惡劣,采集到的原始數(shù)據(jù)中包含的并不都是有用信息,如果直接存儲(chǔ)、傳輸原始數(shù)據(jù),會(huì)導(dǎo)致資源的浪費(fèi)。壓縮感知理論只需較少采樣值,就可以不失真地重構(gòu)原始高維信號,這大大減少了對軸承數(shù)據(jù)采集時(shí)間與硬件資源的浪費(fèi),減輕了數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)、傳輸壓力。

由于機(jī)械設(shè)備工作環(huán)境惡劣、復(fù)雜,軸承信號具有數(shù)據(jù)量大、噪聲強(qiáng)、高維度的特點(diǎn),單一人工智能模型無法準(zhǔn)確地識別軸承故障,這些分類算法需要結(jié)合其他降噪算法,并且尋找最優(yōu)參數(shù),龐大的模型參數(shù)量會(huì)消耗大量計(jì)算資源,難以實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)故障診斷。壓縮感知理論的稀疏性假設(shè)符合高維振動(dòng)信號的分布特點(diǎn),所以壓縮感知理論在處理軸承振動(dòng)信號問題方面具有巨大優(yōu)勢。當(dāng)軸承振動(dòng)信號在一定的變換后具有近似稀疏性,壓縮感知理論可以利用較少的采樣值,通過壓縮匹配追蹤算法,重構(gòu)采樣數(shù)據(jù),檢測稀疏觀測值中表征軸承故障特征的成分,直接實(shí)現(xiàn)故障診斷,為滾動(dòng)軸承的實(shí)時(shí)狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷提供了便利性。

總而言之,壓縮感知理論可以為海量數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)、傳輸難題提供解決思路,并且在滾動(dòng)軸承信號的欠采樣、故障特征提取和故障識別分類等多方面提供技術(shù)支持,對于機(jī)械設(shè)備的在線狀態(tài)監(jiān)測有重要的價(jià)值[24]。

1.1 信號觀測

圖1中，給定原始高維信號x∈RN，該信號可在觀測矩陣Φ∈RM×N的作用下映射到低維空間，得到長度為M的低維觀測信號y∈RM。顯然，觀測矩陣的行維度M需要小于列維度N。

并且，這是一種線性映射，即：

y=Φx

（1）

當(dāng)Φ是隨機(jī)測量矩陣時(shí)，原始高維信號x與線性映射后的低維信號y具有如下關(guān)系：

（1-ε）‖x-y‖2≤‖Φ（x-y）‖2≤（1+ε）‖x-y‖2

（2）

式中：ε—常數(shù)且ε∈（0,1）。

式（2）說明：通過式（1）線性變換可使變換前后信號在歐幾里得空間的距離有近似保存，即原始高維信號的有效信息在這種壓縮變換中得到了有效保留，這為特征提取提供了理論依據(jù)。

1.2 信號的稀疏表示

從低維觀測信號y中恢復(fù)原始信號x時(shí)，由于M小于N，式（1）構(gòu)成了欠定方程組，該方程組具有無窮多組解，無法唯一地從觀測值中獲得原始信號。但是，當(dāng)原始信號具有稀疏性，意味著x中存在大量的0元素，僅有少量的非0元素。此時(shí)，增加了從y中成功恢復(fù)x的可能性。

原始信號x一般不是稀疏信號，此時(shí)可將原始信號進(jìn)行稀疏表示。

將x在正交基矩陣Ψ上展開，有：

（3）

式中：Ψ—稀疏字典矩陣，Ψ=[Ψ1,Ψ2,Ψ3,…,ΨN]，Ψ∈RN×N；θ—N個(gè)元素構(gòu)成的稀疏系數(shù)向量，θ=[θ1,θ2,θ3,…,θN]∈RN。

式（3）也可表示成矩陣形式：

x=Ψθ

（4）

當(dāng)θ是K稀疏時(shí)，即向量中有K個(gè)非零元素值并且K小于N，可將向量θ視為原信號x在字典矩陣Ψ上的稀疏表示系數(shù)。

結(jié)合式（1）與式（4），標(biāo)注A=ΦΨ，得到壓縮感知的矩陣形式：

y=Φx=ΦΨθ=Aθ

（5）

當(dāng)Ψ是固定字典時(shí)，如DCT字典、小波字典等，這些固定字典的稀疏表示方式不能靈活地表示振動(dòng)信號的復(fù)雜性，且不具有自適應(yīng)性，影響測量重構(gòu)精度?；谡駝?dòng)信號特征學(xué)習(xí)而來的字典，可以充分表征信號的故障特征，使得振動(dòng)信號在該字典的稀疏表示方式下足夠稀疏，需要的壓縮測量值少，且更易獲得高精度的重構(gòu)信號。

字典學(xué)習(xí)方法如K-SVD算法，可以很好地對振動(dòng)信號進(jìn)行稀疏表示。

K-SVD算法的核心步驟包含3步：

（1）初始化字典。為了更好地稀疏表示信號，在軸承歷史數(shù)據(jù)中選取k列作為初始字典；

（2）稀疏編碼階段。根據(jù)初始字典Ψ，利用貪婪算法得到x在字典Ψ上的稀疏系數(shù)矩陣θ，此步驟的重建算法是OMP算法，鑒于OMP算法重構(gòu)效率低，該研究用SQSWOMP算法代替OMP算法，有助于實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)故障診斷；

（3）固定θ，更新Ψ，當(dāng)重構(gòu)誤差達(dá)到可接受范圍時(shí)，停止更新。

K-SVD算法可以根據(jù)振動(dòng)信號的特點(diǎn)，構(gòu)造出具有自適應(yīng)性的過完備字典。

1.3 信號重構(gòu)

當(dāng)信號x經(jīng)過稀疏變換后，并且測量矩陣Φ與字典Ψ不相干，此時(shí)可通過匹配追蹤算法成功恢復(fù)原始信號。重構(gòu)問題由下式所示：

（6）

式中：T0—目標(biāo)稀疏度值。

在匹配追蹤算法中,SWOMP算法的優(yōu)點(diǎn)是不需要將稀疏性作為先驗(yàn)條件,減少了對測量矩陣的要求,適用于滾動(dòng)軸承信號的重構(gòu)問題;但SWOMP算法的重構(gòu)精度有待提升,這也是該研究著重解決的問題。

2 故障診斷方法及改進(jìn)貪婪算法

2.1 基于改進(jìn)SWOMP算法的故障診斷方法

根據(jù)壓縮感知理論,筆者提出了基于改進(jìn)SWOMP算法的實(shí)時(shí)滾動(dòng)軸承故障診斷方法。該方法主要包括振動(dòng)信號采集壓縮、壓縮后的信號傳輸與數(shù)據(jù)處理等3部分,整體的流程如圖2所示。

圖2中：實(shí)時(shí)信號采集系統(tǒng)用隨機(jī)觀測矩陣Φ對傳感器采集到的原始高維振動(dòng)信號進(jìn)行了欠采樣，得到測量值y。當(dāng)托普利茨矩陣作為觀測矩陣時(shí)，可以得到很好的重構(gòu)效果，并且可以明顯地加快運(yùn)算速度，減少其存儲(chǔ)空間[25]，故該研究中的隨機(jī)觀測矩陣采用托普利茨矩陣。

信號傳輸系統(tǒng)負(fù)責(zé)將低維觀測值傳輸至遠(yuǎn)程監(jiān)控中心，在監(jiān)控中心完成數(shù)據(jù)處理。數(shù)據(jù)處理過程主要包括用改進(jìn)的K-SVD算法訓(xùn)練n+1種歷史振動(dòng)信號，生成n+1種過完備字典，并用SQSWOMP算法重構(gòu)低維觀測信號，得到稀疏表示系數(shù)。根據(jù)稀疏系數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，即可得到信號狀態(tài)。

數(shù)據(jù)分析的具體過程如圖3所示。

數(shù)據(jù)分析過程的原理在于不同的字典稀疏表示信號的能力不同。具有相同故障特征信息的字典可以很好地稀疏表示同種信號,得到的稀疏表示誤差小,用其他屬性信號訓(xùn)練得到的字典稀疏表示誤差較大。這是由于學(xué)習(xí)字典具有自適應(yīng)能力強(qiáng)、描述特征能力強(qiáng)的特點(diǎn),所提取的字典原子與信號本身是線性關(guān)系,可以很好地模擬信號特征信息。

將實(shí)時(shí)信號通過若干種訓(xùn)練好的字典,稀疏表示誤差最小的字典包含著與實(shí)時(shí)信號相同的故障特征信息,即可將實(shí)時(shí)信號判定為與該字典相同的狀態(tài)。

基于SQSWOMP算法的滾動(dòng)軸承故障診斷方法具體步驟如下:

（1）采集滾動(dòng)軸承歷史振動(dòng)信號,設(shè)定有n+1種工況信號:正常工況、故障狀態(tài)1、故障狀態(tài)2、故障狀態(tài)3、…、故障狀態(tài)n;

（2）用SQSWOMP算法代替?zhèn)鹘y(tǒng)K-SVD算法稀疏編碼階段的貪婪算法,得到改進(jìn)的K-SVD算法。結(jié)合n+1種軸承工況數(shù)據(jù),訓(xùn)練得到n+1種字典,分別為Ψ0（正常工況信號訓(xùn)練得到的字典）、Ψi（故障狀態(tài)（i=1,2,3,…,n）訓(xùn)練得到的字典）,將過完備字典作為先驗(yàn)知識;

（3）選用托普利茨矩陣作為隨機(jī)觀測矩陣,對實(shí)時(shí)采集系統(tǒng)采集到的信號x進(jìn)行壓縮采樣,得到低維觀測值y=Φx;

（7）

（6）根據(jù)式（7）可以得到n+1個(gè)表示誤差，選取最小的表示誤差對應(yīng)的字典狀態(tài)即判定為軸承故障狀態(tài)，理論上最小的表示誤差應(yīng)接近0。例如，在上述n+1個(gè)表示誤差中，若σ0=min{σ0,σ1,σ2,…,σn}，即判定軸承沒有發(fā)生任何故障，處于正常狀態(tài)；若σp=min{σ0,σ1,σ2,…,σn}，則判定軸承處于狀態(tài)p。

2.2 改進(jìn)SQSWOMP算法

解決軸承故障診斷問題時(shí)，常見的重建算法是貪婪算法。由于故障信號的稀疏度是未知的，像OMP、SP算法需要預(yù)估稀疏度，SWOMP的優(yōu)勢是不需要預(yù)知信號的稀疏度信息，很適合于處理未知故障信號的重構(gòu)問題。

SWOMP算法的主要思想是采用內(nèi)積準(zhǔn)則從傳感矩陣中挑出與殘差信號較為匹配的原子集。其具體步驟如下：

（1）已知傳感矩陣A=ΦΨM×N，觀測向量y∈RM，設(shè)置迭代終止條件，門限閾值α，α∈（0,1）；

（2）初始?xì)埐顁o=y，原子支撐集Λ0=?，A0=?，迭代次數(shù)t=0；

（3）求矩陣A與殘差rt-1的內(nèi)積絕對值u=abs[ATrt-1]，選取內(nèi)積絕對值大于等于α*max（u）對應(yīng)的原子序號，組成預(yù)選原子支撐集J0=find（u≥α*max（u））；

（4）合并預(yù)選集J0與原支撐集Λt-1，得到支撐集Λt=Λt-1∪J0，Λt記錄每次迭代過程中選擇的原子的列序號；合并At=At-1∪aj,j∈J0，At記錄每次迭代過程中傳感矩陣A中在原子支持集中包含的列。當(dāng)At=At-1，則停止迭代；

（6）更新殘差rt=y-Atθt，當(dāng)殘差在一定范圍內(nèi)，停止迭代進(jìn)入步驟8；

（7）t=t+1，當(dāng)?shù)螖?shù)超過允許范圍內(nèi)，停止迭代進(jìn)入步驟（8），否則進(jìn)入步驟（3）繼續(xù)迭代；

由上述分析可知：門限閾值參數(shù)α決定SWOMP算法篩選的原子集，這導(dǎo)致SWOMP算法重建性能依賴于α。SWOMP算法不同于OMP算法，OMP算法在每次迭代更新字典原子的過程中要尋找最優(yōu)解，而SWOMP算法則是選取部分原子，雖然其提升了重建速率，但導(dǎo)致算法的重建精度低。

基于SWOMP算法對門限閾值的選取敏感性較大與重建精度低等缺點(diǎn)，筆者提出SQSWOMP算法，具體的改進(jìn)之處見下文。

2.2.1 改進(jìn)SWOMP算法依賴門限閾值的問題

門限閾值α對重建精度有很大影響，在迭代過程中，使用固定閾值容易導(dǎo)致低估或高估的結(jié)果。針對SWOMP算法在每次迭代中都選擇固定閾值參數(shù)的缺點(diǎn)，筆者提出了改進(jìn)算法，基于S形函數(shù)具有初始階段快速接近、最終階段逐漸接近的特點(diǎn)，用S形函數(shù)值代替每次迭代中的固定閾值。這使得在迭代前階段通過大步長快速接近理想的門限閾值，后階段緩慢接近門限閾值，實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)地重構(gòu)信號，提高了信號重構(gòu)效率。

門限參數(shù)α∈（0,1），將5種經(jīng)典的S形函數(shù)縮放至（0,1）之間。5種S形函數(shù)如圖4所示。

圖4中,5種函數(shù)均呈現(xiàn)先快后慢,最后趨于穩(wěn)定的趨勢。

f1為反正切函數(shù)：

f1=0.78arctan（3.5x）

（8）

f2為雙曲正切函數(shù)：

（9）

f3是誤差函數(shù)：

（10）

f4、f5是代數(shù)函數(shù)：

（11）

（12）

SQSWOMP算法的S形函數(shù)采用f3函數(shù)，具體原因?qū)⒃趯?shí)驗(yàn)部分進(jìn)行討論。

2.2.2 改進(jìn)SWOMP算法原子支撐集選擇問題

SWOMP算法在重建信號時(shí)，選取的是與原信號較為相關(guān)的若干個(gè)原子，而不是與原信號最相關(guān)的原子，這會(huì)導(dǎo)致不可靠的原子被選擇，是影響重建精度的關(guān)鍵問題。針對該問題，SQSWOMP在SWOMP算法的一次弱選擇原子的基礎(chǔ)上，增加了回溯過程，進(jìn)行原子的二次選擇，刪除不可靠的原子以獲得最終的原子集。

二次選擇原子的原則是：

（13）

式（13）表明：在第二次選擇原子的過程中，首先求得系數(shù)向量的每一項(xiàng)元素的絕對值，選取絕對值小于平均值的那些元素，其對應(yīng)在Λt中的原子序列號Λtpos，即組成了Jdel。二次選擇過程的目的是剔除原子支撐集中錯(cuò)誤、貢獻(xiàn)小的原子序列。

綜上所述，改進(jìn)的SQSWOMP算法的步驟如算法1所示。

算法1：SQSWOMP算法

輸入:

傳感矩陣A=ΦΨM×N

觀測向量y∈RM

迭代次數(shù)S，默認(rèn)為20

初始參數(shù)x0，x0∈（0,1）

步長b=0.1

初始化：

殘差ro=y，Λ0=?，A0=?，t=0，x0=0.5

Whilet≤Sdo

1t=t+1

2u=abs[ATrt-1]

-----------------------------------------------------

-----------------------------------------------------

3α=f（x0），f（x）是S形函數(shù)

4J0=find（u≥α*max（u））

5x0=x0+b

6Λt=Λt-1∪J0

7At=At-1∪aj,j∈J0

10Λt=ΛtJdel

11At=AtAJdel

13rt=y-Atθt

14If‖rt‖≤1e-4:

Break

Endif

-----------------------------------------------------

-----------------------------------------------------

Endwhile

不同于SWOMP算法的迭代步驟，SQSWOMP算法不采用固定的門限參數(shù)α，在每次迭代過程中，通過S形函數(shù)值f（x0）自適應(yīng)調(diào)整門限閾值，減少了迭代次數(shù)，在算法1的步驟4有所體現(xiàn)。

此外,在SWOMP算法原子支撐集選擇過程的基礎(chǔ)上,筆者增加了一次原子支撐集的刪除過程,如果選中的原子對恢復(fù)信號的貢獻(xiàn)小,則刪除之前選擇的錯(cuò)誤原子,提高了重構(gòu)效率與精度,在算法1的步驟9有所體現(xiàn)。

SQSWOMP算法流程圖如圖5所示。

3 仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號是由：沖擊成分、轉(zhuǎn)頻及其倍頻等諧波成分和噪聲組成的信號。因此，構(gòu)造仿真信號數(shù)學(xué)模型為y（t）=h（t）+s（t）+n（t）。

其中，h（t）為沖擊成分，s（t）為諧波成分，n（t）為高斯白噪聲，具體如下：

（14）

式中：α—衰減系數(shù)，α=700；f0—故障頻率，f0=120 Hz；T—故障周期，T=1/120 s；f1—固有頻率，f1=4 000 Hz；f2—轉(zhuǎn)頻，f2=30 Hz；fs—采樣頻率，fs=16 000 Hz。

采樣點(diǎn)數(shù)為4 000，觀測值是1 024，采用托普利茨觀測矩陣，添加的高斯白噪聲SNR是10 dB。

仿真信號y（t）的時(shí)頻域波形圖如圖6所示。

筆者用SQSWOMP、SWOMP、SP、OMP、SAMP算法分別對仿真信號進(jìn)行了重構(gòu),并討論了這5種算法的重構(gòu)效果、重構(gòu)精度和運(yùn)算時(shí)間。

對于5種重構(gòu)算法,重構(gòu)信號的時(shí)域波形如圖7所示。

圖7是用5種重構(gòu)算法重構(gòu)仿真信號得到的時(shí)域波形圖。為了展示波形細(xì)節(jié),筆者取5 ms的波形進(jìn)行觀察,其中,實(shí)線代表原始信號波形圖,虛線代表重構(gòu)信號波形圖,兩條線的重合程度越高,代表重構(gòu)效果越好。由此可以看出:SQSWOMP算法重構(gòu)效果最好,兩條線十分吻合;SP算法的重構(gòu)效果僅次于SQSWOMP算法,優(yōu)于OMP算法,SAMP算法存在一定的誤差,SWOMP算法的重構(gòu)效果最差,兩條線的差距比較大。

對于5種重構(gòu)算法,重構(gòu)信號的頻域波形如圖8所示。

圖8表明:SQSWOMP算法重構(gòu)信號在頻域也與原信號頻域波形十分吻合,很好地凸顯了載頻30 Hz、故障頻率120 Hz及其倍頻;SP算法、OMP算法可以檢測出載頻、故障頻率及其倍頻,但是載頻的振幅有一定程度的衰減,說明排除噪聲的影響能力不如SQSWOMP算法;SAMP算法可以檢測出載頻、故障頻率,但振幅也有所衰減,并且無法準(zhǔn)確檢測到故障頻率的倍頻;SWOMP算法的重構(gòu)效果最差,載頻振幅的衰減程度較大,并且無法檢測到故障頻率的倍頻。

因此,SQSWOMP算法重構(gòu)波形的效果最優(yōu)。

5種重構(gòu)算法重構(gòu)信號的平均誤差與運(yùn)行時(shí)間,如表1所示。

表1 不同算法重構(gòu)信號的均方誤差與運(yùn)行時(shí)間

表1說明:SQSWOMP算法的重構(gòu)精度和運(yùn)算時(shí)間均優(yōu)于SP、OMP、SAMP、SWOMP算法。

仿真信號實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:SQSWOMP算法可以解決稀疏度未知的振動(dòng)信號的重構(gòu)問題,在重構(gòu)效果、精度和運(yùn)算時(shí)間上均優(yōu)于傳統(tǒng)的重構(gòu)算法。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)采用采樣頻率為12 kHz的美國凱斯西儲(chǔ)大學(xué)6205-2RS JEK SKF深溝球軸承振動(dòng)信號數(shù)據(jù),以驗(yàn)證該文提出的故障診斷方法的有效性。軸承數(shù)據(jù)是一維振動(dòng)信號,利用移動(dòng)滑窗法,每512個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)取一列,將一維信號分割成矩陣,得到訓(xùn)練集、測試集樣本,訓(xùn)練集樣本用于字典訓(xùn)練,測試集樣本用來驗(yàn)證算法的重建效率和故障診斷成功率[26，27]。

對于遠(yuǎn)程監(jiān)控中心而言,訓(xùn)練集是軸承歷史數(shù)據(jù),測試集為實(shí)時(shí)監(jiān)測得到的數(shù)據(jù)。軸承故障可能發(fā)生在內(nèi)圈、外圈或滾動(dòng)體部位。因此,將訓(xùn)練集、測試樣本均分為4類:正常工況、內(nèi)圈故障、外圈故障、滾動(dòng)體故障樣本。訓(xùn)練集每種類型的樣本包含3 000個(gè)信號,測試集每種包含800個(gè)信號,如表2所示。

表2 樣本集

4.1 S形函數(shù)選取問題

筆者研究的第一個(gè)改進(jìn)點(diǎn)就是用S形函數(shù)值自適應(yīng)調(diào)整門限閾值參數(shù)值。筆者分別用5種典型的S形函數(shù)優(yōu)化SWOMP算法,討論它們對4種工況信號的重建能力。

重建精度用指標(biāo)RSNR衡量,重構(gòu)信號的RSNR定義如下:

（15）

RSNR越大,表示重建效果越好。

筆者設(shè)觀測值為110,迭代次數(shù)為20次,初始化參數(shù)x0取0.5,分別用5種優(yōu)化后的算法對4類測試信號做500次實(shí)驗(yàn),取其平均的RSNR,結(jié)果如表3所示。

表3 5種S形函數(shù)優(yōu)化后的算法的PSNR對比

由表3可以看出:5種S形函數(shù)優(yōu)化的SWOMP算法對4種測試信號的重建效果相差不大,但比傳統(tǒng)的SWOMP算法精度要高,并且f3函數(shù)優(yōu)化的SWOMP算法精度最高,故SQSWOMP算法中的S形函數(shù)采用f3函數(shù)。

4.2 SQSWOMP算法重構(gòu)四種工況信號

為了驗(yàn)證SQSWOMP算法重構(gòu)信號的能力,筆者用SQSWOMP算法重構(gòu)原始一維的4種工況信號,采樣點(diǎn)數(shù)為4 096,測量數(shù)目為1 024,測量矩陣采用托普利茨矩陣,結(jié)果如圖9所示。

圖9中,重構(gòu)信號與原信號的波形十分吻合,用SQSWOMP算法重構(gòu)信號,時(shí)域與頻域恢復(fù)效果具有良好的魯棒性,可提取出軸承信號的有效成分。

4.3 基于SQSWOMP算法的故障診斷框架可行性分析

在驗(yàn)證了SQSWOMP算法的性能后,筆者提出基于SQSWOMP算法的實(shí)時(shí)軸承故障診斷方法,用SQSWOMP算法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的K-SVD算法稀疏編碼階段的重構(gòu)算法,如之前圖2所示。

該方法的重點(diǎn)在于軸承故障字典的建立、快速準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)重構(gòu)目的以及數(shù)據(jù)分析過程。

為了更好地凸顯軸承故障特征信息,用改進(jìn)的K-SVD算法訓(xùn)練得到能體現(xiàn)出軸承故障信息的學(xué)習(xí)字典。

K-SVD算法的參數(shù)設(shè)置如下:原子數(shù)量設(shè)為1 024,迭代次數(shù)為20,觀測矩陣采用托普利茨矩陣,觀測值選取110;利用改進(jìn)的K-SVD字典學(xué)習(xí)算法,分別訓(xùn)練這4種訓(xùn)練信號構(gòu)成的過完備字典,得到Dnormal、Dinner、Dout、Droll。

為了測試這4種字典的稀疏表現(xiàn)性能,筆者分別在4種字典上,依次將4種工況的測試樣本進(jìn)行稀疏表示,用余弦相似度來衡量樣本與重構(gòu)后的樣本的相似程度,余弦相似度衡量了兩個(gè)向量的夾角（在[-1,1]中取值,值越靠近1,表明原樣本與重構(gòu)后的樣本的相似程度更高,稀疏表示效果更好）,結(jié)果如圖10所示。

圖10中，橫坐標(biāo)是800個(gè)測試樣本序列，縱坐標(biāo)是重構(gòu)信號與原信號的余弦相似度。

圖10（a）表明：將正常工況信號在4種字典上稀疏表示，正常字典Dnormal的稀疏表示重構(gòu)誤差最小；

圖10（b）表明：將內(nèi)圈測試信號在4種字典上稀疏表示，內(nèi)圈字典Dinner的稀疏表示重構(gòu)誤差最?。?/p>

圖10（c）表明：將外圈測試信號在4種字典上稀疏表示，外圈字典Dout的稀疏表示重構(gòu)誤差最??；

圖10（d）表明：將滾動(dòng)體測試信號在4種字典上稀疏表示，滾動(dòng)體字典Droll的稀疏表示重構(gòu)誤差最小，并且重構(gòu)效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于其他3種字典的稀疏表示效果。

圖10驗(yàn)證了振動(dòng)信號在由其同種特征信號訓(xùn)練得到的字典上稀疏表示性能更好,在異種特征信號組成的字典上稀疏表示性能較差,意味著可以通過經(jīng)過訓(xùn)練的故障字典去稀疏表示實(shí)時(shí)信號,使得稀疏表示誤差最小的字典和實(shí)時(shí)信號的故障特征信息最為接近。

該結(jié)果驗(yàn)證了筆者提出的故障診斷方法的可行性。

4.4 觀測值對故障診斷性能的影響

為了驗(yàn)證用SQSWOMP算法取代傳統(tǒng)K-SVD稀疏編碼階段的OMP算法的有效性,以及研究觀測數(shù)目M與故障診斷性能的關(guān)系,筆者將4組測試信號通過該方法進(jìn)行分類,并增加4組對照實(shí)驗(yàn)（4組對照實(shí)驗(yàn)的不同在于K-SVD稀疏編碼階段的重構(gòu)算法,以及稀疏表示階段的重構(gòu)算法分別用SWOMP、OMP、SP、SAMP算法）,結(jié)果如圖11所示。

圖11中,橫坐標(biāo)代表觀測值M,縱坐標(biāo)是故障診斷成功率。

由圖11可以看出:隨著壓縮觀測量M的增加,4種軸承信號的故障識別率呈現(xiàn)逐漸提高的趨勢,觀測值在達(dá)到一定值時(shí),識別率將趨于穩(wěn)定;

圖11（a）是該方法在正常工況測試信號上的表現(xiàn),基于SQSWOMP算法的故障診斷方法在M到達(dá)70時(shí),達(dá)到接近百分之百的故障診斷成功率,并且優(yōu)于其他重構(gòu)算法性能;

圖11（b）體現(xiàn)了該方法在內(nèi)圈工況信號上的表現(xiàn)，M在70左右可以達(dá)到接近百分之百的故障診斷成功率；

圖11（c）表明了該方法在外圈故障信號上的分類性能，在觀測值70左右，可達(dá)到百分之百的識別率；

圖11（d）為該方法在滾動(dòng)體故障信號上的分類性能，在M為110時(shí)，可以達(dá)到接近百分之百的故障分類成功率。

ZHANG Xin-peng等人[16]1258-1259的研究表明,用傳統(tǒng)K-SVD算法訓(xùn)練字典進(jìn)行故障診斷時(shí),當(dāng)M為80時(shí),正常、內(nèi)圈、外圈、滾動(dòng)體工況信號的故障識別率分別是97.88%、81%、85.25%、80.25%。

用SQSWOP算法代替?zhèn)鹘y(tǒng)K-SVD算法稀疏編碼的重構(gòu)算法,在相同的觀測值下,可以將故障診斷成功率分別提升2.17%、23.46%、17.30%、18.38%。

可見,改進(jìn)的K-SVD算法可以用更少的觀測值得到較高的診斷成功率,訓(xùn)練得到的字典可以很好地模仿軸承故障特征信息,有效實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)軸承實(shí)時(shí)故障診斷。

4.5 與其他方法比較

為了進(jìn)一步證明方法的有效性，筆者將該方法與其他軸承故障診斷模型進(jìn)行對比。其中，SVM的核函數(shù)采用徑向基核函數(shù)（Radial Basic Function, RBF），初始值c1=0.8，c2=0.8；BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入節(jié)點(diǎn)為4，隱含層節(jié)點(diǎn)為25，輸出節(jié)點(diǎn)為3；KNN算法k為4，采用k-d樹算法。

筆者對4種工況下的3 200個(gè)樣本隨機(jī)進(jìn)行測試,平均故障診斷成功率如圖12所示。

由圖12可以發(fā)現(xiàn):基于KNN、BP、SVM故障診斷方法準(zhǔn)確率有待提升,原因是軸承振動(dòng)信號中含有大量干擾噪聲,并且處于故障狀態(tài)的信號本身就具有非平穩(wěn)、非線性等特點(diǎn),導(dǎo)致這些分類模型無法直接應(yīng)用于提取非線性含噪信號,需要進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)或是在提取故障信息后再輸入分類模型;

該方法的診斷準(zhǔn)確率很高,在觀測值設(shè)置合理的情況下,可達(dá)到接近百分之百的平均診斷準(zhǔn)確率。這是由于構(gòu)造的過完備字典是根據(jù)訓(xùn)練信號學(xué)習(xí)而來,具有自適應(yīng)性,可以充分體現(xiàn)故障特征信息,并且改進(jìn)貪婪算法,使得其在保證高效率的情況下,提高了重建精度;

另外,該方法可以不需要存儲(chǔ)傳輸原始高維信號,當(dāng)重建精度一定時(shí),可以使用更少的觀測值高精度地壓縮信號,只需要存儲(chǔ)、傳輸壓縮后的低維信號,用低維信號進(jìn)行故障診斷,大大減輕了數(shù)據(jù)存儲(chǔ)與傳輸方面的負(fù)擔(dān),為實(shí)時(shí)故障診斷提供可能。

5 結(jié)束語

采用香農(nóng)定理的傳統(tǒng)滾動(dòng)軸承故障診斷方法,會(huì)在持續(xù)的狀態(tài)監(jiān)測過程中產(chǎn)生海量數(shù)據(jù),原始數(shù)據(jù)往往含有較多與故障無關(guān)的信息,使得振動(dòng)信號的傳輸、存儲(chǔ)有很大的壓力,并且造成硬件資源的浪費(fèi)。為此,筆者提出了一種基于改進(jìn)SWOMP算法的軸承故障診斷方法,用改進(jìn)的K-SVD算法提取非線性振動(dòng)信號的特征,然后生成故障特征字典,利用稀疏表示誤差最小化原則,對實(shí)時(shí)軸承信號進(jìn)行了預(yù)測分類,在減輕存儲(chǔ)、傳輸壓力,同時(shí)實(shí)現(xiàn)了對滾動(dòng)軸承的故障診斷。

筆者的主要貢獻(xiàn)有以下幾點(diǎn):

（1）重構(gòu)算法方面的改進(jìn)。針對SWOMP算法對門限閾值參數(shù)依賴性大和重建精度低等問題,在SWOMP算法中引入S形函數(shù)并增加了原子支撐集的二次選擇過程,進(jìn)行了改進(jìn),提高了重建算法的精度與效率,使得重構(gòu)信號更加稀疏并且迭代更快;當(dāng)重建精度一定時(shí),可以用更少的觀測值實(shí)現(xiàn)重構(gòu)信號。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,SQSWOMP算法有效地解決了SWOMP算法重構(gòu)精度低的問題,并且提高了信號重建速率,在重構(gòu)效率、精度方面均優(yōu)于常見的貪婪算法;

（2）故障診斷準(zhǔn)確率的提升。將改進(jìn)的SQSWOMP算法應(yīng)用于K-SVD算法中,取代K-SVD算法稀疏編碼階段的重構(gòu)算法,驗(yàn)證了改進(jìn)的K-SVD算法的有效性,應(yīng)用到軸承故障診斷問題上,可以準(zhǔn)確地提取故障特征。在相同的觀測值下,可以將4種工況的故障診斷成功率分別提升2.17%、23.46%、17.30%、18.38%,解決了內(nèi)圈、外圈、滾動(dòng)體工況故障診斷準(zhǔn)確率低的問題,并且由于字典是由振動(dòng)信號訓(xùn)練而來,所以故障診斷方法具有自適應(yīng)性,可以解決不同振動(dòng)信號的故障診斷問題;

與其他方法相比,該方法在4種工況信號的故障診斷準(zhǔn)確率均高于其他機(jī)器學(xué)習(xí)算法。該方法只需利用壓縮后的數(shù)據(jù)直接進(jìn)行故障診斷,解決了長期狀態(tài)監(jiān)測海量數(shù)據(jù)存儲(chǔ)與傳輸方面的問題,并為實(shí)時(shí)故障診斷提供了便利。

該研究的研究對象是滾動(dòng)軸承的單一類型故障。在后續(xù)的工作中,筆者將研究該方法在多故障融合情況下的適用性。此外,由于數(shù)據(jù)樣本有限,筆者未獲取數(shù)據(jù)庫以外的軸承振動(dòng)信號,在之后的工作中,筆者將獲取更多的數(shù)據(jù)樣本,以驗(yàn)證該方法的有效性。