一道解析幾何聯(lián)考題的求解與溯源

石禮標(biāo)

(江蘇省清河中學(xué),223001)

(1)求橢圓C的方程;

(2)若直線AD與直線BP交于點(diǎn)M,直線DP與x軸交于點(diǎn)N,求證:直線MN恒過某定點(diǎn),并求出該定點(diǎn).

這是今年3月份湖北八市聯(lián)考第21題解析幾何題,質(zhì)量很高,解法也比較多.但從學(xué)生實(shí)際的解答情況看,第(2)問得分偏低,所提供的解法運(yùn)算量也比較大.本文介紹第(2)問多種方法求解，并比較方法的優(yōu)劣.

一、綱舉目張 一動(dòng)俱動(dòng)

由于點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng),導(dǎo)致M,N隨之而動(dòng),因此設(shè)出點(diǎn)P,則點(diǎn)M,N立刻可求,進(jìn)而得到直線MN的方程后尋求定點(diǎn).

評(píng)注上面解法很容易理解,思路也比較自然,不足之處就是運(yùn)算量較大,對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力要求比較高.為了減少運(yùn)算量,轉(zhuǎn)換解決問題的視角.

二、整體代換 簡(jiǎn)化形式

設(shè)點(diǎn)法運(yùn)算較繁的原因是用點(diǎn)的坐標(biāo)寫出斜率,其表達(dá)式自然不簡(jiǎn)捷,進(jìn)而導(dǎo)致直線方程繁瑣,無論是求兩直線交點(diǎn)或直線與橢圓聯(lián)立,運(yùn)算量均不小.可考慮整體代換,直接設(shè)直線的斜率,進(jìn)而表示出點(diǎn)M,N.

將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y=k1(x-2),整理可得(1+2k2)(1-2k2)=-2k1(1+2k2)2,因?yàn)?+2k2≠0,所以1-2k2+2k1+4k1k2=0.

由點(diǎn)M,N的坐標(biāo),得直線MN的方程為

故直線MN過定點(diǎn)(2,1).

評(píng)注直接設(shè)斜率時(shí)運(yùn)算量確實(shí)比解法1減少些,但依然沒有改變運(yùn)算過程形式復(fù)雜的本質(zhì).另外,解法2利用等式1-2k2+2k1+4k1k2=0合理替換直線MN方程的形式,對(duì)學(xué)生的思維與運(yùn)算能力要求也比較高.

三、索本溯源 立足教材

上面兩種方法運(yùn)算量都不小,那就回到課本去!在中學(xué)課本中,從直線的點(diǎn)斜式y(tǒng)=k(x-x0)+y0,可知該直線必過定點(diǎn)(x0,y0).推廣到一般情況,若直線l的方程為y=kx+b,且k,b滿足一次關(guān)系式,則直線y=kx+b必過定點(diǎn).

解法3設(shè)直線MN的方程為x=my+t,則點(diǎn)N(t,0)(t≠2).

故直線MN方程為x=my+2-m,即x=m(y-1)+2,直線MN必過定點(diǎn)(2,1).

評(píng)注索本溯源意為是探索根源、尋找原因.要尋求方法的根源,必須從我們所學(xué)的知識(shí)入手.因此有關(guān)直線過定點(diǎn)問題應(yīng)從課本關(guān)于動(dòng)直線過定點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)出發(fā),設(shè)直線方程為y=kx+b(斜率存在時(shí)),根據(jù)題設(shè)條件尋求k,b之間的關(guān)系求解.上面的解題過程顯得自然,既符合學(xué)生的認(rèn)知,且所設(shè)直線方程的形式簡(jiǎn)單,運(yùn)算量也不會(huì)太大,這才是動(dòng)直線過定點(diǎn)問題的返璞歸真的解法!

上面三種解法優(yōu)劣一目了然.再提供一種解法,讓我們認(rèn)清題目的本質(zhì).

四、化橢為圓 認(rèn)清本質(zhì)

將橢圓通過伸縮變換轉(zhuǎn)化為圓,這樣圓的相關(guān)性質(zhì)就可以合理運(yùn)用了.

在解法4的基礎(chǔ)上,我們很容易得到這類問題的如下本質(zhì)屬性.

解析幾何題雖然入手方法較多,但一般運(yùn)算量都比較大,學(xué)生得分普遍不高.平時(shí)學(xué)習(xí)中若能領(lǐng)會(huì)課本知識(shí)所蘊(yùn)含的方法,并能熟練應(yīng)用這些方法,才會(huì)以不變應(yīng)萬(wàn)變,從課本最簡(jiǎn)單的相關(guān)知識(shí)處入手,用簡(jiǎn)約的思維解決復(fù)雜的問題.這種用最簡(jiǎn)單的、最直觀的方法解決深刻的問題,才是數(shù)學(xué)之精髓,才是“返本歸元”的真正含義.這就要求我們?cè)跀?shù)學(xué)解題教學(xué)中,不能滿足題目如何解決,也要對(duì)題目的形成、求解方法進(jìn)行系統(tǒng)地把握,在頭腦中提煉一類問題的本質(zhì),力爭(zhēng)做到題不在多,有法則行.通過一類問題的本質(zhì)探究,對(duì)于核心方法的訓(xùn)練要在不同的環(huán)境中不斷讓學(xué)生體會(huì)到方法的重要性,以提高學(xué)生認(rèn)清問題本質(zhì),對(duì)解題有更深的理解,便于發(fā)展學(xué)生的解題能力.