引發(fā)課題深度學(xué)習(xí) 發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)*
——以數(shù)列結(jié)構(gòu)不良題的專題復(fù)習(xí)為例

謝建卿

(廣東外語外貿(mào)大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)，510540)

新時(shí)期高考改革的重要特征是從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向,深度學(xué)習(xí)則是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的重要途徑之一.在高三的數(shù)學(xué)課堂上,由于時(shí)間緊、任務(wù)重,教師往往只注重基礎(chǔ)知識(shí)、基礎(chǔ)技能的積累、記憶和機(jī)械訓(xùn)練,學(xué)生只停留在淺層學(xué)習(xí)當(dāng)中.一線教師應(yīng)該在數(shù)學(xué)課堂上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí),讓其“深”在其中,自然能習(xí)得素養(yǎng).

結(jié)構(gòu)不良題型是近幾年高考命題的一種創(chuàng)新題型,相應(yīng)問題具有一定的開放性,不同的選擇可能會(huì)形成不同難度的問題,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育素養(yǎng)導(dǎo)向的要求.鑒于平時(shí)學(xué)生不能準(zhǔn)確地選出最優(yōu)方案進(jìn)行解題的現(xiàn)狀,在高三專題復(fù)習(xí)中,以結(jié)構(gòu)不良題型的問題解決教學(xué)為抓手,引導(dǎo)學(xué)生積極參與、主動(dòng)建構(gòu),實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí),落實(shí)和發(fā)展核心素養(yǎng)就顯得十分必要.那么,教師該如何組織結(jié)構(gòu)不良題型的教學(xué),促使學(xué)生深度學(xué)習(xí),提高課堂的有效性,落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)呢?本文以“數(shù)列結(jié)構(gòu)不良題的專題復(fù)習(xí)”教學(xué)設(shè)計(jì)為例,結(jié)合深度學(xué)習(xí)理論,闡述如何落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

一、教學(xué)過程設(shè)計(jì)與教學(xué)片段

環(huán)節(jié)1課前準(zhǔn)備 任務(wù)驅(qū)動(dòng)

課前布置主題任務(wù),讓學(xué)生查閱歷年的高考題,從2017年至2019年的全國高考I卷,從2020至2021年的全國新高考I卷,了解數(shù)列的考點(diǎn)和考查方向.

設(shè)計(jì)意圖任務(wù)驅(qū)動(dòng)下促進(jìn)學(xué)生積極投入到高考題分析中,了解數(shù)列考查的內(nèi)容和方向,明確專題復(fù)習(xí)的目標(biāo)和要求,為有效備考作鋪墊.

環(huán)節(jié)2問題引領(lǐng) 喚醒經(jīng)驗(yàn)

例1(2015年天津高考題)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,{bn}是等差數(shù)列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.

(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)cn=anbn,n∈N*,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.

問題1數(shù)列{an},{bn}的基本量是什

么?它們由題設(shè)條件如何確定?

問題2選擇哪種方法求等比數(shù)列{an}、等差數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式?

設(shè)計(jì)意圖設(shè)計(jì)遞進(jìn)式問題串,引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考,逐步解決問題.對(duì)求解高次方程有困難的部分學(xué)生,需結(jié)合換元思想的點(diǎn)撥促成解決問題.

問題3數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式cn=(2n-1)2n-1有何特點(diǎn)?如何求和?

追問2n+1與2n有什么關(guān)系?

設(shè)計(jì)意圖通過問題引領(lǐng)幫助學(xué)生梳理數(shù)列求和的常用方法,在錯(cuò)位求和遇到困難時(shí)借助追問促使學(xué)生深度思考、迎接挑戰(zhàn),在巧妙轉(zhuǎn)換中體驗(yàn)成功.

環(huán)節(jié)3合作交流 深度學(xué)習(xí)

問題5從問題結(jié)構(gòu)上看,變式1與例1有什么不同?

問題6變式1求解的關(guān)鍵是什么?

問題7求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式選哪一個(gè)方案才是最優(yōu)?

設(shè)計(jì)意圖對(duì)于條件部分缺失的結(jié)構(gòu)不良題,由于問題初始狀態(tài)不明確,增加了解題的難度,教師啟發(fā)學(xué)生只要選一個(gè)條件放入題目中就成了結(jié)構(gòu)良好題,采用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,把問題轉(zhuǎn)化為熟悉的常規(guī)題來解.

為了促成深度學(xué)習(xí)的發(fā)生,教學(xué)采用合作學(xué)習(xí)的方式,分三步組織教學(xué)實(shí)施.

步驟1搭腳手架,助其獨(dú)立思考

師:請(qǐng)?jiān)诒?中選擇一個(gè)條件進(jìn)行解題,在所選條件后面打“√”

表1:變式1解題要點(diǎn)

設(shè)計(jì)意圖基于學(xué)生對(duì)此類題型的解題經(jīng)驗(yàn)不足,教師通過表格形式為學(xué)生搭建解決問題的腳手架,耐心等待學(xué)生獨(dú)立思考并完成至少一種解法.筆者巡視發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生一般只選擇其中一個(gè)方案進(jìn)行解答.

步驟2任務(wù)驅(qū)動(dòng),學(xué)生因需討論

筆者適時(shí)將學(xué)生進(jìn)行分組,進(jìn)行任務(wù)分配:各小組先選取一種方案進(jìn)行深入探究,在完成解決目標(biāo)的前提下繼續(xù)完成其他方案的探索.

設(shè)計(jì)意圖專題探究促使小組成員積極進(jìn)行組內(nèi)交流討論,在任務(wù)的驅(qū)動(dòng)下多角度去深入思考問題.教師設(shè)定限時(shí)討論,小組成員之間分享自己的解法,課堂學(xué)習(xí)氣氛再次高漲.筆者巡組發(fā)現(xiàn)每個(gè)小組討論了至少兩種方案的解法.

步驟3鼓勵(lì)交流,展示成果

(各小組派一個(gè)學(xué)生代表上臺(tái)展示)

師:(追問)分兩種情況討論,最后還需要做什么?

生1:哦,我忘記判斷兩種情況的結(jié)果是否能統(tǒng)一了.補(bǔ)充:當(dāng)n=1時(shí)也滿足an=n,綜上得an=n(n∈N*).

學(xué)生2走上講臺(tái),非常自信地展示方案②.

師:基本量法是解決數(shù)列問題的通性通法, 請(qǐng)問還有其他解法嗎?

師:使用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算很快捷!但最后得出an=n含合情推理,理論上需用基本量法邏輯論證.

師:(追問)因?yàn)?a2=a1+a3成立就能得出{an}是等差數(shù)列嗎?

眾生:要滿足任意三項(xiàng)有2an=an-1+an+1成立,這個(gè)做法不對(duì).

師:那方案③該怎么思考呢?

師:真棒!請(qǐng)問什么時(shí)候使用疊乘法呢?

師:通過本題解答,結(jié)構(gòu)不良題該如何選擇最優(yōu)方案呢?

眾生:觀察所有方案,選擇一種計(jì)算量少自己又擅長的方案.

設(shè)計(jì)意圖解決結(jié)構(gòu)不良題關(guān)鍵在于如何選擇最優(yōu)方案,通過師生、生生的合作交流與模式展示,幫助學(xué)生體驗(yàn)最優(yōu)方案的選擇過程及視角.這是一個(gè)有意義的學(xué)習(xí)過程,既能促進(jìn)學(xué)生掌握相應(yīng)核心知識(shí)、解題方法和步驟,又能形成積極的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī),提供學(xué)生內(nèi)在思維外化表達(dá)的機(jī)會(huì).

變式2在等差數(shù)列{an}中,已知a6=12,a18=36.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)若______,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.

師:請(qǐng)?jiān)诒?中選擇一個(gè)條件進(jìn)行解題,在所選條件后面打“√”

表2:變式2解題要點(diǎn)

設(shè)計(jì)意圖尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)材料變式2,成功吸引學(xué)生主動(dòng)參與到教學(xué)活動(dòng)中來,進(jìn)行深度學(xué)習(xí).變式2是求數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和時(shí)出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良題,不同方案的選擇導(dǎo)致數(shù)列{bn}的求通項(xiàng)公式、求和的方法也不同.有了變式1的經(jīng)驗(yàn),學(xué)生能熟練使用基本量法求出an=2n.

問題8選擇什么方案求數(shù)列{bn}的前項(xiàng)和Sn最好?

眾生:選方案②.

老師邀請(qǐng)了舉手的學(xué)生7.

師:裂項(xiàng)求和確實(shí)很簡潔!誰愿意展示①和③?

師:觀察{bn}的通項(xiàng)特征,類比例1,用錯(cuò)位相減法也是可行的.

設(shè)計(jì)意圖尊重學(xué)生的意愿,從方案② 開始展示,唯有“深”在人的心靈,才能吸引學(xué)生全身心投入.教師的適時(shí)提問,杜絕了學(xué)生偷懶不去思考方案① ③.因此以學(xué)生為主體的深度學(xué)習(xí),讓每一個(gè)學(xué)生都能得到不同的發(fā)展.

環(huán)節(jié)4遷移應(yīng)用 新知內(nèi)化

設(shè)計(jì)意圖為了檢驗(yàn)學(xué)生課堂學(xué)習(xí)效果,促使其學(xué)會(huì)知識(shí)的遷移和應(yīng)用,實(shí)現(xiàn)新知內(nèi)化.該題解法有3種組合方式:選① ② 作條件證明③;選② ③ 作條件證明①;其中選① ③ 作條件證明②.學(xué)生要對(duì)這三種組合方式作出選擇.這需要學(xué)生在對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)很熟練的情況下快速判斷.

二、促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的思考與行動(dòng)

1.任務(wù)驅(qū)動(dòng),促使學(xué)生深度學(xué)習(xí),發(fā)展核心素養(yǎng)落地

中國高考評(píng)價(jià)體系中的“四翼”要求高考命題體現(xiàn)創(chuàng)新性,設(shè)置新穎的試題呈現(xiàn)、設(shè)問方式[1].結(jié)構(gòu)不良題型的出現(xiàn)為考生提供了獨(dú)立思考、大膽創(chuàng)新的廣闊空間,有利于學(xué)生擺脫思維定勢(shì)的束縛,促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.如變式1中方案① 的求解培養(yǎng)了學(xué)生分類討論的思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng);方案② 的一題多解,培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)散性思維和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng);方案③ 中疊乘法的運(yùn)用有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng).當(dāng)然,教學(xué)過程中需要開展深度學(xué)習(xí),實(shí)現(xiàn)相關(guān)知識(shí)的概念性理解．

2.探究學(xué)習(xí),類比遷移知識(shí),深度學(xué)習(xí)達(dá)成的重要途徑

深度學(xué)習(xí),更加強(qiáng)調(diào)較高層次的認(rèn)知目標(biāo),強(qiáng)調(diào)高級(jí)思維能力的培養(yǎng).本節(jié)課從典型考題引入,轉(zhuǎn)入結(jié)構(gòu)不良題的解答分析,再到一道高考真題課堂學(xué)習(xí)的效果的檢測(cè),啟承轉(zhuǎn)合,一氣呵成,讓學(xué)生在知識(shí)類比、遷移、應(yīng)用的過程中,經(jīng)歷從良構(gòu)到不良問題的解答,培養(yǎng)了學(xué)生觀察、辨析、運(yùn)用的綜合思維能力,也提高學(xué)生分析、發(fā)現(xiàn)、解決問題的能力,感悟函數(shù)思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想,落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.合作學(xué)習(xí)、交流展示成果是深度學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)的有效學(xué)習(xí)方式

當(dāng)兒童在沒有教師的控制下與伙伴討論時(shí),更可以開發(fā)、延伸討論與辯證,而這樣的討論使他們成為更主動(dòng)、更獨(dú)立的知識(shí)擁有者[4].在合作學(xué)習(xí)過程中,每一個(gè)人獨(dú)立思考、小組同學(xué)的思考、整個(gè)班級(jí)對(duì)話的順序開展,

增加了學(xué)生“內(nèi)言外化”的機(jī)會(huì),促進(jìn)了學(xué)生主動(dòng)積極地投入教學(xué)活動(dòng)中去[3].讓學(xué)生在合作交流中實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的基本步驟是:搭建腳手架,促使學(xué)生獨(dú)立思考;任務(wù)驅(qū)動(dòng),促使學(xué)生因需而討論;展示交流,促使其高階思維的形成. 在教學(xué)過程中,教師應(yīng)是“適時(shí)”出現(xiàn)的引領(lǐng)者.

深度學(xué)習(xí)是一種“真學(xué)”. 高三學(xué)生帶著先前已經(jīng)學(xué)習(xí)并內(nèi)化的知識(shí)走進(jìn)課堂,教師必須喚醒這些經(jīng)驗(yàn),通過當(dāng)下學(xué)習(xí)的新知識(shí)改造這些經(jīng)驗(yàn),使得片面的經(jīng)驗(yàn)變得全面,繁雜的變得優(yōu)化,錯(cuò)誤的經(jīng)驗(yàn)得以糾正[2].本案例只是一次教學(xué)嘗試,不同的問題教學(xué)結(jié)果可能是相似的,但過程一定是有其自身的特殊性,需要我們?nèi)ヌ剿?、?shí)踐．