由一道模考題淺議求二元最值的多種解答策略

王海闊 杜海洋

(1.四川省成都市龍泉驛區(qū)教育科學(xué)研究院 2.四川省成都經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)實驗中學(xué)校)

在高三復(fù)習(xí)中,我們經(jīng)常遇到含有兩個參變量的代數(shù)式求值或值域問題,難度頗大,技巧性較強.筆者發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生找不到這類問題具體的解答思路,尤其挖掘不出不同題型間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別.本文結(jié)合一道經(jīng)典問題談?wù)勄蠼舛鷶?shù)式最值問題的幾種常用方法,以期幫助讀者更好地理解和掌握解決此類問題的方法及各種方法之間的聯(lián)系和區(qū)別.

1 試題呈現(xiàn)

題目已知正數(shù)x,y滿足x＋4y＝x2y3,則的最小值為________.

2 試題解答

據(jù)統(tǒng)計,此題得分率極低.大部分學(xué)生認(rèn)為此題可轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值.式子含有雙變量,與以往所遇到的基本不等式試題結(jié)構(gòu)也沒有明顯區(qū)別,主要是變量次數(shù)不一致,導(dǎo)致式子結(jié)構(gòu)變形過程轉(zhuǎn)化難度增大.作為壓軸小題,筆者認(rèn)為此題保持短小精悍風(fēng)格,堪稱經(jīng)典,這樣的試題能給人以啟迪,散發(fā)著其獨特的魅力.研究考題本應(yīng)成為教師教學(xué)研究的常規(guī)工作,下面筆者從不同的角度解答這道檢測題.

解法1 (二元化一元+均值不等式)

點評對于二元問題,能利用消元法處理的不妨試試消元,將其轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題,退一步講可以采用求導(dǎo)進行求值,所以遇到這類題根本不用懼怕.此消元策略屬于這類問題的通法,即當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時,通?？紤]利用已知條件消去部分變量后,湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”,最后利用基本不等式求最值.常見這類題含二次型較多,部分題的前提條件是關(guān)于一元二次方程型,可以利用求根公式進行求解.

解法2 (二元化一元+判別式)

點評將所求代數(shù)式賦值,這樣目標(biāo)代數(shù)式就變成方程組的形式,再將其與已知等式相結(jié)合進行消元化為一元二次方程,根據(jù)方程有根,利用判別式的取值范圍求出最值,這體現(xiàn)了代數(shù)式與方程轉(zhuǎn)化與化歸策略.

解法3 (二元化一元+基本不等式)

同解法2可得16y4－k2y2＋1＝0,參變分離得

點評此解法利用參變分離,將所求參數(shù)用已知變量的函數(shù)表示,再結(jié)合式子結(jié)構(gòu)特點采用基本不等式或?qū)?shù)進行求解.

解法4 (化齊次+基本不等式)

點評此解法利用條件與目標(biāo)式子的結(jié)構(gòu)特征,將目標(biāo)式子的指數(shù)向條件靠攏,即齊次化策略,再利用已知條件進行整體替換.尤其對于多變量這類題,一般可用整體代換消參求解,平時做題要多領(lǐng)悟總結(jié).

解法5 (拼湊法+基本不等式)

因為

點評利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是將相關(guān)代數(shù)式進行適當(dāng)?shù)淖冃?通過添項、拆項等方法湊成“和為定值”或“積為定值”的形式,然后利用基本不等式求解最值.拼湊法的實質(zhì)是對代數(shù)式進行靈活變形,拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.

解法6 (積換元+基本不等式)

點評當(dāng)出現(xiàn)或可以化為形如由兩個字母如x,y組成的對稱式時,我們就可以將代數(shù)式用基本對稱式x＋y,xy表示出來,即稱x＋y,xy為輔助元,這種方法稱為和(積)換元.運用和(積)換元法可化簡求值、因式分解解方程(組),還可以證明命題,解答某些壓軸題和某些數(shù)學(xué)競賽題.

解法7 (倒數(shù)換元+基本不等式)

點評倒數(shù)法是換元法的一種,先將題中的倒數(shù)用整式的字母代替,再將其轉(zhuǎn)化成整式方程并求出整式的解,主要在分式結(jié)構(gòu)中可轉(zhuǎn)化為整式,此解法也稱雙換元法,即根據(jù)多項式的特征用兩個字母(元)分別代換原多項式的代數(shù)式.

解法8 (局部、整體換元+根與系數(shù)的關(guān)系)

點評本解法本質(zhì)上與解法2一樣,無非是要實現(xiàn)多次換元,利用換元法得到關(guān)于a的方程a2－t2a＋16＝0有兩個正實根,再利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.

3 變式訓(xùn)練

變式已知正數(shù)a,b,且ab－a－2b＝0,求＋b2的最小值_________.

解法1 (基本不等式+二次函數(shù))

解法2 (消元策略+基本不等式)

當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時,等號成立.

解法3 (三角換元+基本不等式)

解法4 (商換元+基本不等式)

求二元代數(shù)式的最值或值域問題,不應(yīng)僅限于基本不等式,有時可從方程判別式、導(dǎo)數(shù)等思路入手.由于此類題型結(jié)構(gòu)一般短小精悍,解答靈活多變,變形思維要求較高,所以在平時的學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)過程中,學(xué)生要先運用已有知識及方法嘗試性地解決問題,再在教師的引導(dǎo)下歸納總結(jié),這樣對問題的理解才能逐步深入,進而抓住問題本質(zhì),只有這樣才能在考試中找到合理的解題途徑,提高解題效率.同時平常多進行一題多解訓(xùn)練,有利于調(diào)動自己的學(xué)習(xí)積極性,培養(yǎng)發(fā)散性思維,有利于鍛煉思維的靈活性,靈活地選擇解題切入點.更重要的是解題后要做到一題多思、多變,對多種解法進行反思,提煉共性,區(qū)分個性,揭示不同解法之間的關(guān)聯(lián).善于總結(jié)試題規(guī)律,能做到一題多解、多思、多變,高考數(shù)學(xué)備考就會收獲多多.

鏈接練習(xí)

鏈接練習(xí)參考答案

(完)