例談直線的標(biāo)準(zhǔn)式參數(shù)方程在解題中的應(yīng)用

崔 禹 李曉玲

(山東省桓臺(tái)第一中學(xué))

一般地,直線l的標(biāo)準(zhǔn)式參數(shù)方程為(t為參數(shù)),其中α為直線l的傾斜角,且α∈[0,π),直線l必過定點(diǎn)M0(x0,y0).

在直線l的標(biāo)準(zhǔn)式參數(shù)方程中,|t|表示直線上的動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離.

若直線l與曲線C相交于M1,M2兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)M1,M2對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則有如下結(jié)論成立:1)弦長(zhǎng)|M1M2|＝|t1－t2|;2)若定點(diǎn)M0(x0,y0)為弦M1M2的中點(diǎn),則t1＋t2＝0;3)若弦M1M2的中點(diǎn)為M,則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)tM＝

1 求線段中點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長(zhǎng)之和

點(diǎn)評(píng)一般地,遇到直線與曲線交于兩點(diǎn),往往需要先得到關(guān)于“t”的一元二次方程,再考慮利用根與系數(shù)的關(guān)系以及參數(shù)t的幾何意義解題.

2 直線與圓相交,求線段長(zhǎng)之和的取值范圍

例2已知l是過定點(diǎn)P(4,2)且傾斜角為α的直線,圓C:x2＋y2－4x＝0.若直線l與圓C相交于不同的兩點(diǎn)M,N,求|PM|＋|PN|的取值范圍.

解析依據(jù)題意,可得直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入圓C的方程整理可得關(guān)于t的一元二次方程,即

根據(jù)題設(shè)可知Δ＝16(sinα＋cosα)2－16＞0,化簡(jiǎn)得sinαcosα＞0.

從而t1＋t2＝－4(sinα＋cosα)＜0,又因?yàn)閠1t2＝4＞0,所以t1＜0,t2＜0.

注意到點(diǎn)P(4,2)在直線l上,因此根據(jù)參數(shù)t的幾何意義得

點(diǎn)評(píng)本題側(cè)重考查直線與圓知識(shí)的綜合運(yùn)用,具有一定的難度,解題過程需關(guān)注兩點(diǎn):一是準(zhǔn)確分析兩個(gè)參數(shù)t1,t2與零的大小關(guān)系;二是根據(jù)Δ＞0分析傾斜角α的取值范圍.

3 直線與拋物線相交,求弦長(zhǎng)

例 3已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),求直線l被拋物線C:y2＝4x截得的線段AB的長(zhǎng).

點(diǎn)評(píng)本題極易出錯(cuò),特別提醒——只有當(dāng)t前的系數(shù)滿足“平方和為1”時(shí),直線的參數(shù)方程才是標(biāo)準(zhǔn)式參數(shù)方程.

4 直線與拋物線相交,求參數(shù)的值

于是,將式①和式②代入化簡(jiǎn)可得實(shí)數(shù)a＝1.

點(diǎn)評(píng)本題具有一定的綜合性,求解過程需要關(guān)注兩點(diǎn):一是將|MN|是|PM|與|PN|的等比中項(xiàng)轉(zhuǎn)化為|t1－t2|2＝|t1|·|t2|;二是靈活運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及方程思想.

5 求焦半徑倒數(shù)之和的值

點(diǎn)評(píng)運(yùn)用“直線參數(shù)t的幾何意義”這一解題方法時(shí),往往需要考慮根與系數(shù)的關(guān)系才能較為順利地進(jìn)行化簡(jiǎn)、運(yùn)算.運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解題時(shí),應(yīng)熟練以下代數(shù)變形:

總而言之,遇到涉及與線段長(zhǎng)度有關(guān)的求值或求解取值范圍問題時(shí),如果能夠靈活運(yùn)用直線的標(biāo)準(zhǔn)式參數(shù)方程,那么往往能化難為易,獲得一個(gè)簡(jiǎn)捷、明了的解答過程.而解題的關(guān)鍵是必須明確直線的標(biāo)準(zhǔn)式參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義;否則,較難順利找到具體的解題思路,解題過程極易出錯(cuò).

(完)