2022年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃測(cè)試數(shù)學(xué)第13題的解答與推廣

吳 康

(華南師范大學(xué))

題目(2022年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃測(cè)試數(shù)學(xué)第13題)已知ax＋by＝1,ax2＋by2＝2,ax3＋by3＝7,ax4＋by4＝18,則ax5＋by5＝_________.

據(jù)學(xué)生回憶,2020年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃測(cè)試數(shù)學(xué)試題共20道選擇題,2021年情況類似.本題也是學(xué)生回憶版,真實(shí)情況待定.如果懂得廣義二階冪和式的遞推性質(zhì),可在3分鐘內(nèi)解決.以下給出解答與推廣.

點(diǎn)評(píng)本題有多種推廣方法,以下自編問題均為填空題,難度中等,計(jì)算量適中至稍大,可供類似考題參考.

點(diǎn)評(píng)從前兩個(gè)方程消去S1,再將第三個(gè)方程代入,可得關(guān)于u的一元二次方程.本題是已知Sn(n＝0,2,3,4)的值,求S5,因所知Sn的下標(biāo)n的值不連貫,少了n＝1,導(dǎo)致符合本題要求的解有2個(gè).

將n＝0,1,2代入,可得關(guān)于u,v,S2的三元二次方程組

點(diǎn)評(píng)前兩個(gè)方程消去S0,得u2＝uS2＋v,與后兩個(gè)方程可消去S2,再消去v,化簡(jiǎn)可得(u－1)2(u2＋2u－9)＝0.本題是已知Sn(n＝－1,1,3,4)的值,求S0S2S5,因所知Sn的下標(biāo)n的值有兩處不連貫,少了n＝0,2,導(dǎo)致符合本題要求的解有3個(gè).其實(shí)應(yīng)認(rèn)為本題有4個(gè)解,其中2個(gè)解相同,有1個(gè)解就是著名的斐波那契數(shù)列.

點(diǎn)評(píng)求解本題用到了廣義三階冪和式的遞推性質(zhì).此類型可繼續(xù)推廣.

點(diǎn)評(píng)求解本題用到變系數(shù)廣義冪和式的遞推性質(zhì),也可直接求解題設(shè)方程,得(a,b,x)＝(3,－4,1)或(－,－5),稍繁.

變式9設(shè)(a＋b)x＋cy＝0,(2a＋b)x2＋cy2＝－1,(3a＋b)x3＋cy3＝2,(4a＋b)x4＋cy4＝18,(5a＋b)x5＋cy5＝70,(6a＋b)x6＋cy6＝214,則(7a＋b)x7＋cy7＝________.則S7＝uS6－vS5＋wS4＝5×214－8×70＋4×18＝582.

點(diǎn)評(píng)求解本題用到變系數(shù)廣義冪和式的遞推性質(zhì),若直接求解題設(shè)方程,將會(huì)相當(dāng)煩瑣.

在不超過4階的情形,還有f(t)為(t－x)(t－1),(t－x)2(t－1),(t－x)4,(t－x)2(t－y)(t－1)和(t－x)(t－y)(t－z)(t－u)這幾類的冪和式問題,留給對(duì)命制數(shù)學(xué)問題感興趣的讀者.以下問題針對(duì)三角函數(shù)的特殊形式命制,其背景仍為廣義冪和式.

點(diǎn)評(píng)本題直接通過解方程求b和θ的值,則計(jì)算量較大.

等的數(shù)列{Sn},已知若干項(xiàng)求其他項(xiàng)的題目,留給感興趣的讀者.

(完)