強(qiáng)基計(jì)劃中的復(fù)數(shù)問(wèn)題
——以清華、北大的校測(cè)筆試試題為例

唐浩哲

(北京市十一學(xué)校)

強(qiáng)基計(jì)劃目標(biāo)是選拔有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生,選拔依據(jù)主要是考生高考成績(jī)和高校的校測(cè)成績(jī).在大學(xué)里,復(fù)數(shù)是復(fù)變函數(shù)課程的基礎(chǔ),也是電磁學(xué)、量子力學(xué)等理工科課程的重要工具,因此復(fù)數(shù)成為了各高校強(qiáng)基校測(cè)筆試的熱門考點(diǎn).從近3年清華和北大兩所高校校測(cè)筆試試題來(lái)看,復(fù)數(shù)問(wèn)題主要涉及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、三角形式、單位根等內(nèi)容,又與函數(shù)、方程、不等式、向量等相結(jié)合.

點(diǎn)評(píng)本題考查了復(fù)數(shù)的三角形式和乘除運(yùn)算,比較靈活.也可以用特殊值法求解:令z1＝1,解得z2＝1±2i,則

例2(2020 年清華大學(xué))復(fù)數(shù)z滿足|3z－7i|＝3,令z1＝,則|z1|的( ).

點(diǎn)評(píng)求解本題的關(guān)鍵在于先對(duì)z1進(jìn)行化簡(jiǎn),避開(kāi)煩瑣的計(jì)算,再利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解.

例3(2020 年清華大學(xué))已知f(z)＝z10＋,則( ).

A.f(z)＝0存在實(shí)數(shù)解

B.f(z)＝0共有20個(gè)不同的復(fù)數(shù)解

C.f(z)＝0的復(fù)數(shù)解的模長(zhǎng)都等于1

D.f(z)＝0存在模長(zhǎng)大于1的復(fù)數(shù)解

綜上,f(z)＝0 共有20 個(gè)虛根,且模長(zhǎng)均為1,選BC.

點(diǎn)評(píng)本題用到了實(shí)系數(shù)方程的虛根是成對(duì)共軛出現(xiàn)的這一性質(zhì),再配合根與系數(shù)的關(guān)系求出方程①的共軛虛根的模長(zhǎng).

點(diǎn)評(píng)本題雖然涉及復(fù)數(shù),但實(shí)際考查代數(shù)變形和根與系數(shù)的關(guān)系.通過(guò)變形和換元,巧妙地將待求式子轉(zhuǎn)化為一個(gè)新方程的所有根之和,再使用根與系數(shù)的關(guān)系求解.若把原式直接通分再用根與系數(shù)的關(guān)系代入計(jì)算,也可求出答案,但計(jì)算量比較大.

例5(2021年清華大學(xué))設(shè)a,b是非零復(fù)數(shù),z1,z2是方程x2＋ax＋b＝0 的兩個(gè)復(fù)根,且|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|,則( ).

A.存在正實(shí)數(shù)λ,使得z2＝λz1

B.b是正實(shí)數(shù)

C.存在實(shí)數(shù)μ≥4,使得a2＝μb

D.存在正實(shí)數(shù)ν,使得a＝νz1

解析由|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|,可知z1,z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的向量同方向,則z2＝λz1(λ＞0),A 正確;a＝－(z1＋z2)＝－(1＋λ)z1,D 錯(cuò)誤;b＝z1z2＝,B 錯(cuò) 誤;μ＝＋2≥4,C正確.

綜上,選AC.

點(diǎn)評(píng)求解本題的關(guān)鍵在于結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義理解條件|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|.

例6(2021年清華大學(xué))設(shè)n是正整數(shù),模長(zhǎng)為1的復(fù)數(shù)z滿足zn＋z＋1＝0,則( ).

A.|z＋1|＝1 B.z的實(shí)數(shù)部分為－

C.n－2是3的倍數(shù) D.滿足條件的z是唯一的

解析依題意,zn,z,1在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的3個(gè)模長(zhǎng)為1的向量可以首尾相連成封閉的三角形,結(jié)合幾何作圖可知

故A,B正確,D 錯(cuò)誤;無(wú)論是哪種情況,都有zn＝z2,因此n－2是3的倍數(shù),C正確.

綜上,選ABC.

點(diǎn)評(píng)本題考查了復(fù)數(shù)的單位根,對(duì)于這一類問(wèn)題,一定要尋求整體變形和代換,并利用好對(duì)稱性,而不能陷入零碎的計(jì)算之中.

例8(2021年北京大學(xué))設(shè)f(x)＝x2＋2x＋2,定義f(1)(x)＝f(x),對(duì)n≥1,定義f(n＋1)(x)＝f(f(n)(x)),則方程f(2021)(x)＝0 所有復(fù)根的平均值為( ).

A.－1 B.－2

C.－2022 D.前三個(gè)答案都不對(duì)

解析設(shè)f(2020)(x)＝0 的所有復(fù)根為t1,t2,…,tm,由f(2021)(x)＝f(f(2020)(x)),可 知f(2021)(x)＝0 的所有復(fù)根由m個(gè)方程f(x)＝tk(k＝1,2,…,m)的復(fù)根所構(gòu)成.注意到對(duì)任意的k＝1,2,…,m,f(x)＝tk都有兩個(gè)復(fù)根,且這兩個(gè)復(fù)根的平均值均為－1,所以方程f(2021)(x)＝0所有復(fù)根的平均值為－1,故選A.

點(diǎn)評(píng)本題也可以先從求f(x)＝0和f(f(x))＝0的復(fù)根的平均值這一簡(jiǎn)單的情況入手,形成初步的猜想和解題思路,再探討一般情況.

例9(2022年清華大學(xué))在復(fù)平面上,復(fù)數(shù)z1在連接點(diǎn)1＋i和1＋ai(a∈R)的線段上,復(fù)數(shù)z2在以原點(diǎn)為圓心,半徑為1的圓上.若點(diǎn)z1＋z2的可能位置所組成的圖形面積為4＋π,則a的值為( ).

A.－1 B.1

C.3 D.5

解析當(dāng)a＞1時(shí),z1＋z2在復(fù)平面所對(duì)應(yīng)的區(qū)域是以(1,1)為圓心,1為半徑的圓周向上平移a－1個(gè)單位時(shí)掃過(guò)的區(qū)域.該區(qū)域可看成是上半圓、下半圓以及中間的一個(gè)矩形,即＋2(a－1)＋＝4＋π,解得a＝3.當(dāng)a＜1時(shí),同理可得a＝－1.

綜上,選AC.

點(diǎn)評(píng)求解本題的難點(diǎn)在于對(duì)z1＋z2的幾何意義的認(rèn)識(shí).

例10(2022年清華大學(xué))復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1,則|(z－2)(z＋1)2|的最大值為( ).

所以|(z－2)(z＋1)2|的最大值為,選C.

點(diǎn)評(píng)本題的變形依據(jù)是,后續(xù)用到了三元均值不等式,也可以通過(guò)求導(dǎo)來(lái)確定三次函數(shù)的最值.

例11(2022年北京大學(xué))已知復(fù)數(shù)z滿足和的實(shí)部和虛部均屬于[－1,1],則z在復(fù)平面上形成的軌跡的面積為( ).

A.8 B.12－2π

圖1

點(diǎn)評(píng)本題和例10都考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,此類題型難度不大,但需要在明晰相關(guān)概念的前提下準(zhǔn)確計(jì)算.

(完)