例析勾股定理常見的應(yīng)用類型

?甘肅省武威市天祝藏族自治縣新華中學 趙 霞

1 引言

勾股定理在生活中的應(yīng)用比較普遍，大致可歸類為求邊長，求最短路程，求解折疊問題，等等.下面結(jié)合幾道例題對勾股定理常見的應(yīng)用類型及解決策略作分析和探究.

2 利用勾股定理求邊長

例1如圖1所示，在直角三角形ABC中，∠ABC為直角，且AB=16 m.正方形BCEF的周長為48 m，BD⊥AC于點D.求BD的長.

圖1

分析：本題是非常典型的“三垂直”問題，可用等面積法和方程法解決.無論用何種方法，都需先根據(jù)“正方形BCEF的周長為48 m”求出BC=12 m，然后根據(jù)勾股定理將AC的長求出.

方法二(方程法)：首先，設(shè)AD=xm，那么CD=(20-x) m.由于BD⊥AC于點D，所以△ABD和△BDC都是直角三角形.在Rt△ABD中，BD2=AB2-AD2；在Rt△BDC中，BD2=BC2-DC2.于是，就得到了AB2-AD2=BC2-DC2，進而得到方程162-x2=122-(20-x)2，解得x=12.8 m.然后利用BD2=AB2-AD2得到BD的長為9.6 m.

方法總結(jié)：利用勾股定理求圖形的邊長，常用的有等面積法和方程法，在實際解題中都非常適用，且通常前者更簡單[1].等面積法多用于“三垂直”問題，而方程法多用于非直角三角形中，以求高問題最為典型[2].

3 利用勾股定理進行證明

例2如圖2所示，圖形ABFC為一任意四邊形，且AB⊥CB，垂足為B；CD⊥AD，垂足為D，AD2=2AB2-CD2.

圖2

求證：AB=BC.

分析：本題中的“AD2=2AB2-CD2”條件比較復雜，容易讓學生產(chǎn)生畏難心理.事實上，仔細觀察便可以發(fā)現(xiàn)，該條件與勾股定理聯(lián)系非常緊密.所以，只需找到圖中與勾股定理有關(guān)的“線索”，然后利用勾股定理進行轉(zhuǎn)換.

在Rt△ABC中，由勾股定理，可得AC2=AB2+BC2；在Rt△ACD中，由勾股定理，可得AC2=AD2+DC2.于是，就有AB2+BC2=AD2+DC2，即AD2=AB2+BC2-DC2.由于AD2=2AB2-CD2，于是得到2AB2-CD2=AB2+BC2-DC2，由此進一步得到2AB2=AB2+BC2，即AB2=BC2，因此證得AB=BC.

方法總結(jié)：當題中邊之間的數(shù)量關(guān)系非常復雜時，學生首先不能有畏難心理，應(yīng)嘗試著從復雜的條件中找到“提示”，進而找到解題的突破口.

4 利用勾股定理求解最短路程問題

例3如圖3，是一個透明的長方體魚缸，AD為80 cm，AB為60 cm，水深A(yù)E為40 cm.在水面上緊貼內(nèi)壁G處有一滴蜂蜜，G在水面線EF上，且EG為60 cm.一只小螞蟻想從魚缸外的A點沿外壁爬到魚缸內(nèi)壁G處吃蜂蜜，求小螞蟻爬行的最短路線長度.

圖3

解析：本題是常見的幾何體表面上最短路程問題，但與以往不同的是“蜂蜜”G點不在外壁，而在內(nèi)壁，于是小螞蟻的運動路線分為外壁和內(nèi)壁兩部分.要使得小螞蟻爬行的距離最短，則需這兩部分的路線在一條直線上，于是就需要作A點關(guān)于BC的對稱點A′.

首先，如圖4所示，作點A關(guān)于BC的對稱點A′，連接A′G且交BC于點O.根據(jù)對稱性質(zhì)，可得A′O與OA相等，即線段OA為小螞蟻在外壁爬行的最短路線.而OG就是小螞蟻在內(nèi)壁爬行的最短路程，它與A′O正好在同一直線上.因此，小螞蟻爬去吃蜂蜜最短的路程就是線段A′G.在Rt△A′EG中，根據(jù)勾股定理得到A′G的長為100 cm.

圖4

方法總結(jié)：“蜜蜂問題”是勾股定理中?？嫉念}型，分內(nèi)壁和外壁兩種.如果將蜂蜜從外壁移至內(nèi)壁，求最短路程的方法其實并未改變，仍然是根據(jù)對稱性作圖，找到點的對稱點，然后求解.為了便于理解，學生應(yīng)首先作出相應(yīng)的圖形，然后靈活利用相關(guān)性質(zhì)解題.

5 利用勾股定理求解折疊問題

例4如圖5，長方形ABCD中，長AB為8，寬BC為6，P是AD上的一點，現(xiàn)將△ABP沿著BP折疊，PE和CD相交，BE與CD相交，交點分別為O，G，且OD=OE.求線段AP的長.

圖5

解析：本題是典型的折疊問題，根據(jù)折疊性質(zhì)可得到對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等[3].既然本題要求AP的長，那么不妨設(shè)AP=x，于是將相應(yīng)的線段用含有x的代數(shù)式表示出來后，將它們放入一個直角三角形中，然后根據(jù)勾股定理得到方程并解之，即可求出線段AP的長.

由題意可得△ABP≌△EBP，然后證明△ODP≌△OEG.于是，得到OP=OG，PD=GE，由此進一步可得DG=OD+OG=OE+OP=EP.此時，不妨設(shè)AP=EP=x，則PD=GE=6-x，DG=x，CG=8-x，BG=2+x.在Rt△BCG中，由勾股定理，可得62+(8-x)2=(x+2)2.解得x=4.8，即線段AP的長為4.8.

方法總結(jié)：使用勾股定理解決折疊問題，要注意以下幾個方面：

(1)根據(jù)折疊性質(zhì)先得出對應(yīng)點、對應(yīng)線段之間的位置、大小關(guān)系，它們都分別不變.

(2)緊緊抓住題中所給的點、線，想法構(gòu)造出一個直角三角形[4].

(3)在構(gòu)造的直角三角形中，利用勾股定理列方程計算.當然，有時也只需直接計算即可.

6 勾股定理應(yīng)用類型解決思路總結(jié)

通過以上分析可以發(fā)現(xiàn)，勾股定理的應(yīng)用類型非常豐富，且解決思路靈活多變.要想學好并應(yīng)用好勾股定理，筆者認為要從以下幾個方面出發(fā)：

首先，夯實基礎(chǔ)，在“熟”的基礎(chǔ)上“巧”.所謂“熟能生巧”，就是在熟練掌握的基礎(chǔ)上巧妙解決問題.所以，平時教學和訓練中，教師可根據(jù)上述幾種類型對學生進行針對性訓練，并作適當拓展，讓學生對勾股定理及其逆定理有更深刻的感悟.

其次，重視思維，在“?！钡幕A(chǔ)上“變”.制約學生應(yīng)用勾股定理解決問題的一個重要因素是思維受限.為此，在平時的教學與訓練中，教師可對上述每一個類型進行變式，或激發(fā)學生利用“一題多解”解決問題.這樣一來，不僅讓問題得到了有效延伸，也讓學生的思維更加靈活.

7 結(jié)語

總而言之，勾股定理及其應(yīng)用在初中幾何部分占據(jù)著非常重要的地位，在知識的考查形式上變化多樣，本文中只選擇了幾種具有代表性的問題加以分析.作為初中數(shù)學教師，一方面要不斷加強這方面知識體系的構(gòu)建，讓學生思維變得更靈活，另一方面要勤于發(fā)現(xiàn)和總結(jié)，不斷提高自身的分析和研究能力.只有這樣，才能將更多、更好的方法傳授給學生.