轉(zhuǎn)化策略在解題中的應(yīng)用

?甘肅省天水市秦州區(qū)藉河南路天水石馬坪中學(xué) 王文錫

1 一般與特殊的轉(zhuǎn)化

一般與特殊相互之間的轉(zhuǎn)化，主要是指通過一般規(guī)律求個例特殊問題以及列舉特殊例子對一般性問題進(jìn)行解答[1].如特殊圖形求解，可通過填補(bǔ)或分割將其轉(zhuǎn)化為常見的一般圖形，進(jìn)而根據(jù)公式解答.掌握這種轉(zhuǎn)化策略，有助于提升解題的效率.

例1已知半圓的直徑AB=12 cm，點C，D是這個半圓的三等分點，求弦AC，AD和弧CD圍成的陰影部分面積.(結(jié)果用π表示.)

分析：如圖1，因為陰影部分對應(yīng)的是不規(guī)則圖形，因此無法直接求解其面積.題目中提到了三等分點，連接OC，OD，因為點C，D是這個半圓的三等分點，故弧AC，CD，DB均為60°.

圖1

解：∵∠ADC=∠DAB，

∴AB∥CD.

∴S△ACD=S△OCD.

又∵∠COD=60°,

2 數(shù)形轉(zhuǎn)化

數(shù)形轉(zhuǎn)化求解問題較為常見，是指把具體的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形問題進(jìn)而解答，或?qū)D形等價轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的代數(shù)問題求解.這種轉(zhuǎn)化求解思路可以體現(xiàn)在數(shù)軸、函數(shù)圖象、幾何圖形等不同方面，需要重點學(xué)習(xí)和關(guān)注.

例2若a+b<0，a<0，b>0，試判斷a，-a，b，-b的大小關(guān)系.

分析：與大小關(guān)系有關(guān)的問題，往往可以借助數(shù)軸這一幾何圖形就能夠直觀地把字母a，-a，b，-b表示出來.

解：如圖2所示，a，-a，b，-b的大小關(guān)系是a<-b

圖2

構(gòu)造如圖3所示的圖形，AB=12,AC⊥AB,BD⊥AB，且AC=2,BD=3.

圖3

設(shè)PA=x，則PB=12-x.

顯然，點C關(guān)于AB的對稱點E與點D的連線和AB的交點P即為符合條件的點.

過點E作DB的垂線交DB的延長線于點F，則

PC+PD=PE+PD=DE

=13.

故所求的最小值為13.

3 抽象與具體的轉(zhuǎn)化

抽象與具體的轉(zhuǎn)化策略主要指通過類比、舉例把抽象的概念和問題具體化，從而轉(zhuǎn)化為已知熟悉的內(nèi)容進(jìn)行解答[2].如求線段旋轉(zhuǎn)后的軌跡，可類比圓弧得到具體的公式，即可進(jìn)行下一步解答.抽象與具體轉(zhuǎn)化的策略，對解答一些定義題或幾何問題有一定的幫助.

圖4

圖5

分析：這道題很容易與兩圓的位置關(guān)系相聯(lián)系，圓與圓之間的位置關(guān)系包括外離、外切、內(nèi)切、內(nèi)含等情況，類比正方形也存在這些位置關(guān)系，進(jìn)一步分情況分別求解即可.

解：

O1D=2，O2F=1，O1O2≥0.

聯(lián)系兩圓的位置關(guān)系容易得出：

當(dāng)O1O2=3時，有一個公共點；

當(dāng)O1O2>3或0≤O1O2<1時，沒有公共點.

4 整體與部分的轉(zhuǎn)化

整體與部分的轉(zhuǎn)化策略是指把問題所求看作一個整體或部分個體，使其問題得到簡單化從而解答.如扇形面積求解可看作一個圓的部分，根據(jù)占據(jù)圓的比例即可求出對應(yīng)面積大小.這種解題策略，能使陌生未知的問題轉(zhuǎn)化為已知熟悉的內(nèi)容，應(yīng)讓學(xué)生重視.

例6如圖6，圓A、圓B、圓C三個圓兩兩相交，并且半徑都是0.5 cm，則圖中陰影部分面積為( ).

圖6

解：雖然無法單獨求出每一個陰影部分的面積，但通過觀察可以發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和為180°.三個扇形的圓心角加起來剛好是180°，又因為三個圓的半徑都相等，因此三個扇形面積之和可以轉(zhuǎn)化為求一個半圓的面積.

故選答案：B.

5 結(jié)語

總而言之，轉(zhuǎn)化策略對學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量與能力的提升有著重要幫助，教師應(yīng)當(dāng)重視多種教學(xué)方法的運用以幫助學(xué)生理解并牢固掌握轉(zhuǎn)化策略的應(yīng)用，使學(xué)生能夠靈活地應(yīng)用轉(zhuǎn)化策略解決各種數(shù)學(xué)問題，使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，達(dá)到大幅提高學(xué)習(xí)效果的最終目的.