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    一道中考壓軸題的探索與變式

    2022-10-26 08:30:36湖北省宜昌市第六中學
    中學數(shù)學雜志 2022年20期
    關(guān)鍵詞:變式正方形線段

    ?湖北省宜昌市第六中學 李 玲

    1 引言

    解答一道復(fù)雜的數(shù)學題,以特殊情形為起點,往往能抓住數(shù)學問題的本質(zhì).現(xiàn)以2021年浙江省衢州市中考數(shù)學第24題解答探索及變式研究為例,探討如何就題變式、就題借力,追尋解題教學初心,有效發(fā)展學生思維能力,力求解題教學效能最優(yōu).

    2 試題呈現(xiàn)

    推理:

    如圖1,在正方形ABCD中,點E是CD上一動點,將正方形沿著BE折疊,點C落在點F處,連結(jié)BE,CF,延長CF交AD于點G.

    (1)求證:△BCE≌△CDG.

    運用:

    圖2

    拓展:

    3 解答研討

    3.1 “兩等兩線”看折疊,洞察結(jié)構(gòu)得思路

    思路分析:第(1)問,識別折疊具有軸對稱的本質(zhì),洞察到“兩等兩線”結(jié)構(gòu):折痕BE所在直線既是∠FBC的平分線、也是對應(yīng)點連線段CF的垂直平分線;還有全等三角形及等腰△BCF,△ECF這樣的基本圖形.執(zhí)果索因,容易得到△BCE≌△CDG.

    3.2 給定比值求線段,聯(lián)想構(gòu)造妙轉(zhuǎn)化

    第(2)問,在推理的基礎(chǔ)上添加了線段比及一條線段長兩個條件,緊扣“兩等兩線”如何去找關(guān)聯(lián)?結(jié)合條件及圖形分析,直接求解;或構(gòu)建方程模型整體求解;或搜索關(guān)聯(lián)相似三角形進行轉(zhuǎn)化;或從直角入手建立坐標系,借助點的坐標去求線段長;或面積法入手建立方程等.

    圖3

    思路一:由條件易求出EF,HF,HD的長度,從正方形內(nèi)折疊的圖形結(jié)構(gòu)聯(lián)想轉(zhuǎn)化,想到雙勾股法.

    思路二:由圖3中的對頂角和平行線,易得GH=FH=5,HD=4,再結(jié)合AB=BF=BC這個條件,在Rt△ABH中用勾股定理,先求出正方形的邊長,再利用線段和差關(guān)系間接求DE的長.

    解法2是從條件出發(fā),順思聯(lián)想,從前一問找思路.這樣的解答似乎還少了從設(shè)問間找關(guān)聯(lián),從結(jié)論出發(fā)逆推的思路.第(2)問還可以看透圖形結(jié)構(gòu),求DE的長,由(1)易得GD=CE=EF,加上正方形易捕捉到AG=DE,從而在轉(zhuǎn)化思想下,不妨直接設(shè)AG=DE=x,“由因?qū)Ч?、?zhí)果索因”,直取目標,計算上會優(yōu)于解法2.

    思路三:如圖4,分別延長BH,CD交于點I,構(gòu)造和DE有關(guān)的相似三角形,即△IDH∽△IFE,求出ID與IE的長.

    圖4

    構(gòu)造和DE有關(guān)的相似三角形有多種方法.結(jié)合圖4,如,反“A”型△IDH∽△IFE,“A”型△IDH∽△ICB,“X”型△IDH∽△BAH,都可以求出DE的長,但在求解的過程中又引進了新的未知量,且計算的過程中同一個三角形三條邊都需要用到,并涉及勾股定理,總的來說相似法計算難度較大.

    思路四:建系,利用一次函數(shù)求出D,E的坐標.

    圖5

    利用兩點間的距離公式及FH=5找等量關(guān)系,理論上可求出t的值,但因為計算量大,在此處不追求解法的數(shù)量,僅供了解.

    思路五:當圖形中出現(xiàn)多處垂直,可以由垂直聯(lián)想到高,進而聯(lián)想到面積,用不同方法求同一個圖形的面積就可以得到等量關(guān)系,常稱作面積法.相較于前面4種解法,等量關(guān)系表面復(fù)雜,但計算并不復(fù)雜,計算難度較低,能順利得到結(jié)果.

    解法5:由給定條件易得DG=9,HD=4.如圖3,設(shè)DE=x,由S梯HDCB=S△HDE+S△HEB+S△EBC,得

    以上5種解法,學生最容易想到的思路是雙勾股法、勾股、相似、建系,計算上最為簡便的是解法1的雙勾股法和解法5的面積法.筆者尤其要提到面積法難想易算這一點,啟示我們無論做什么題,潛意識里不要見題就算,要先宏觀選擇方向,再微觀確定方法.

    3.3 形變質(zhì)不變,類比遷移可得法

    第(3)問,當“正方形”的條件換為“矩形”,比值的條件不變時,聯(lián)系第(2)問的運用,發(fā)現(xiàn)問題表面上雖有變化,但在求解第(3)問時仍可沿用第(2)問的方法及思路.反過來,當把第(3)問的結(jié)果求出時,令k=1,利用第(2)問的結(jié)果來驗證計算過程是否正確.沿用(2)的解題思路及方法,字母代替數(shù),比值代替相等,體現(xiàn)了變化中的不變性.因此,從特殊到一般,可以幫助我們厘清思路,找到解題方法及問題的本質(zhì).

    圖6

    因為運算量大,勾股法在第(3)問中不適用,所以不做詳細解答.同樣,對于沿用第(2)問中的相似法、建系法,實際計算過程繁雜,都不適用于第(3)問.

    點H在點D的右側(cè)時,如圖8,連接CH,仍設(shè)EC=x,則DG=kx.

    圖8

    面積法的算式看起來非常復(fù)雜,但是化簡計算過程非常簡單.

    4 變式拓展

    結(jié)合以上解答探索,發(fā)現(xiàn)此題以正方形到矩形的折疊問題為探究背景,融入初中數(shù)學核心知識,滲透特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論等核心數(shù)學思想方法.若對試題相關(guān)的命題素材進行變式,將會引導(dǎo)學生注重知識體驗的過程,優(yōu)化學生思維方式,強化基本數(shù)學思想方法的感悟與內(nèi)化,從而充分發(fā)揮此題的教學價值.基于此,筆者從以下三點進行了相關(guān)的變式思考.

    4.1 第(1)問,還可以怎樣設(shè)問?

    能設(shè)問GD=EC嗎?事實上,這種設(shè)問是可以的,而且比原題第(1)問證明△BCE≌△CDG的方法更多,例如三角函數(shù)法,也為第(2)問的解答提供更多線索和思路,這樣的變式是可行的.

    4.2 第(2)問,條件能更改嗎?

    4.3 第(3)問,k值是任意的嗎?

    圖9

    圖10

    圖11

    圖12

    圖13

    圖14

    結(jié)合以上研題分析,給出這道題的完整變式,以進一步發(fā)展學生的思維,更好地落實本題的解題教學價值.

    變式推理:

    如圖1,在正方形ABCD中,點E是CD上一動點,將正方形沿著BE折疊,點C落在點F處,連接BE,CF,延長CF交AD于點G.

    (1)求證:GD=EC.

    運用:

    拓展:

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