基于Heaviside投影和進退法的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法

吳振雨 羅城升 陳保家 王林軍

(1.三峽大學(xué) 水電機械設(shè)備設(shè)計與維護湖北省重點實驗室,湖北 宜昌 443002;2.三峽大學(xué) 機械與動力學(xué)院,湖北 宜昌 443002)

拓?fù)鋬?yōu)化是在給定約束的情況下對結(jié)構(gòu)進行設(shè)計,且要在保證結(jié)構(gòu)性能不變的同時得到所需結(jié)構(gòu).隨著Bends?e等[1]提出均勻化方法,連續(xù)體的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化得到飛速的發(fā)展.Bends?e等[2]提出固體各向同性材料懲罰(SIMP)法;Reitz等[3]提出材料屬性有理近似(RAMP)法,為結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化奠定了基礎(chǔ).Andreassen E等[4-6]編寫了一種高效的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化代碼.該代碼包含了靈敏度過濾、密度過濾和Heaviside投影函數(shù)過濾3種過濾方法,以保證優(yōu)化過程的穩(wěn)定性以及避免棋盤格現(xiàn)象.隨著拓?fù)鋬?yōu)化的逐漸完善,很多學(xué)者在變密度法的基礎(chǔ)上進行了拓展研究.高翔等[7]針對結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程中的效率問題,提出一種針對Lagrange乘子的改進導(dǎo)重法過濾技術(shù).陳垂福等[8]基于步長因子進行改進導(dǎo)重法求解拓?fù)鋬?yōu)化問題.高翔等[9]提出了一種改進的導(dǎo)重法求解拓?fù)鋬?yōu)化問題及抑制灰度單元技術(shù).任毅如等[10]針對自重載荷懸臂梁結(jié)構(gòu)末端不收斂問題進行了研究.焦洪宇等[11]提出了一種基于導(dǎo)重法的結(jié)構(gòu)類周期性布局優(yōu)化方法.江旭東等[12]研究了導(dǎo)重法下的功率流響應(yīng)問題.李啟宏等[13]針對在不同規(guī)模網(wǎng)格下優(yōu)化結(jié)構(gòu)的性能問題,提出了一種改進的SIMP 優(yōu)化方法.趙婉霖等[14]針對SIMP 法提出了一種多約束的連續(xù)體優(yōu)化方法.以上學(xué)者的研究涉及到導(dǎo)重法、多約束問題、布局優(yōu)化和抑制灰度單元等領(lǐng)域,但這些研究均未在考慮收斂性問題的基礎(chǔ)上探討提升優(yōu)化效率的問題.因此,本文在基于收斂性問題的基礎(chǔ)上對提升優(yōu)化效率進行了研究.在Heaviside投影函數(shù)的基礎(chǔ)上改進進退法替代二分法進行計算,提高計算效率的同時,提高了收斂性.

1 傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化模型

連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)是使得柔度最小[14],其優(yōu)化模型為:

式中:X e為第e個單元的密度;C(X e)為結(jié)構(gòu)柔度;K為整體剛度矩陣;U為位移向量;F為外部載荷;V(X e)為迭代過程中實體的體積;V0為初始設(shè)計域的總體積;f為材料的體積分?jǐn)?shù)(最終剩余的材料體積占初始設(shè)計域總體積的百分比).設(shè)計變量的取值在0～1之間變化.

SIMP法的插值函數(shù)模型和柔度的靈敏度分別為:

RAMP法的插值函數(shù)模型和柔度靈敏度分別為:

式中:E e為第e個單元的彈性模量;X e為第e個單元的密度;E0和Emin分別為彈性模量的上限和下限;p為SIMP法中的懲罰因子;q為RAMP 法中的懲罰因子.

SIMP和RAMP的體積靈敏度均為:

由圖1可知,在p=1,q=1時,SIMP 為一條線性直線,RAMP 為一條凹曲線.在相同單元密度下,SIMP的彈性模量大于RAMP;p=4,q=4時,SIMP和RAMP兩條曲線相似,但在兩條曲線交點之前,相同密度下SIMP 比RAMP 的彈性模量要小;在p=8,q=8 時,兩條曲線交點之前,在相同的密度下SIMP比RAMP的彈性模量要小.

圖1 SIMP和RAMP插值函數(shù)模型的對比

綜上,SIMP在p=1 到p=4 之間曲線變化較大,但在p越大的時候懲罰力度大于RAMP.RAMP在q逐漸變大時曲線變化較小,整體穩(wěn)定性比SIMP好,但懲罰力度略有不足.采用改進的進退法對這兩種不同的計算彈性模量的方法進行目標(biāo)函數(shù)的求解,更進一步說明改進進退法的適用性.

2 模型的改進

2.1 迭代方法的改進

二分法及進退法都是一維區(qū)間搜索法,且能有效地求解最小值問題,但二分法的求解效率低于進退法.本文在文獻[9]的基礎(chǔ)上對進退法進行改進.

(1)二分法

2.2 插值函數(shù)模型

由于變密度法所得優(yōu)化結(jié)構(gòu)中存在大量的灰度單元,導(dǎo)致結(jié)構(gòu)邊界不清晰,從而喪失了實際的工程應(yīng)用意義.因此采用Heaviside投影函數(shù)對灰度單元進行抑制,減少結(jié)構(gòu)中的灰度單元數(shù)量,以獲得具有更加清晰邊界的優(yōu)化結(jié)構(gòu).

Sigmund等[6]基于Heaviside投影函數(shù)提出一種插值函數(shù),插值函數(shù)和導(dǎo)數(shù)分別為:

高翔等[7]在Sigmund等[6]的基礎(chǔ)上進行了改進并提出一種新的插值函數(shù),函數(shù)及導(dǎo)數(shù)分別為:

如圖2所示,式(7)和式(9)兩個函數(shù)圖形基本相似,但式(9)相對于式(7)具有一定程度的提升.為了更全面地印證改進進退法的優(yōu)點,采用這兩個插值函數(shù)對改進的進退法和二分法進行對比.

圖2 公式(7)和公式(9)的圖形對比

3 算例驗證

3.1 簡支梁的拓?fù)鋬?yōu)化

簡支梁拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡圖如圖3所示,簡支梁優(yōu)化離散單元長為120,寬為60.集中載荷在簡支梁下端正中間位置.

圖3 二維簡支梁簡圖

設(shè)置參數(shù)彈性模量上限E0=1,下限Emin=1×10-9,集中力大小F=1,體積比f=0.5,過濾半徑rmin=2.5,SIMP和RAMP的懲罰因子p=3,q=3,β=1.將投影函數(shù)式(7)和式(9)分別應(yīng)用于SIMP和RAMP方法中,分別采用二分法和改進的進退法兩種優(yōu)化算法進行計算.

由于式(7)中部分方法無法收斂,最終結(jié)構(gòu)不可用,故選取式(9)中的結(jié)構(gòu)進行對比,如圖4所示,不論是二分法還是改進的進退法,均能得到較好的拓?fù)鋬?yōu)化簡圖.

圖4 簡支梁的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡圖

由圖5和圖6可知,式(7)和式(9)在二分法和改進的進退法兩種迭代模式下,柔度曲線的變化趨勢相同但不完全重合.

圖5 二分法中各公式的柔度迭代過程

圖6 改進的進退法中各公式的柔度迭代過程

由表1可知,改進的進退法所需的迭代數(shù)小于二分法.式(7)采用SIMP方法時.改進的進退法迭代數(shù)相對于二分法減少了40.9%;式(9)采用SIMP方法時,改進的進退法迭代數(shù)相對于二分法減少了37.1%;式(9)采用RAMP方法時,改進的進退法迭代數(shù)相對于二分法減少了43.8%.

表1 二分法和改進的進退法對簡支梁計算后的結(jié)果

3.2 懸臂梁的拓?fù)鋬?yōu)化

懸臂梁拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡圖如圖7所示,懸臂梁左端固定,懸臂梁的長為120,寬為50,右下角承受集中載荷F.設(shè)置參數(shù)彈性模量上限E0=1,下限Emin=1×10-9,集中力大小F=1,體積比f=0.5,過濾半徑rmin=2.5,SIMP和RAMP的懲罰因子p=3,q=3,β=1.

圖7 二維懸臂梁簡圖

由于式(7)中SIMP法無法收斂,故選取式(9)的最終拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡圖進行對比,如圖8所示,二分法和改進的進退法均能得到較好的拓?fù)鋬?yōu)化簡圖.

圖8 懸臂梁的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡圖

由圖9和圖10可知,式(7)和式(9)在二分法和改進的進退法兩種迭代模式下,柔度曲線的變化趨勢相同但不完全重合.

圖9 二分法中各公式的柔度迭代過程

圖10 改進的進退法中各公式的柔度迭代過程

由表2可知,改進的進退法所需的迭代數(shù)小于二分法.式(7)采用RAMP 方法時,改進的進退法迭代數(shù)相對于二分法減小了42.9%;式(9)采用RAMP方法時,改進的進退法迭代數(shù)相對于二分法減少了42.3%;式(9)采用SIMP方法時,二分法出現(xiàn)無法收斂的問題,而改進的進退法可以收斂并能得到較好的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu),且所需的時間也較小.從而可知改進的進退法不僅迭代效率高于二分法,而且收斂效果也優(yōu)于二分法.

表2 二分法和改進的進退法對懸臂梁計算的結(jié)果

4 結(jié)論

本文改進了一種新的進退法,并將其應(yīng)用于兩個不同的插值函數(shù)進行計算.同時采用了SIMP 法和RAMP 法兩種彈性模量插值方法,并增加了本文方法與二分法的對比.兩個算例的計算結(jié)果表明:改進后的進退法相對于二分法,計算所需的步數(shù)以及迭代數(shù)明顯減小,能夠在保證結(jié)構(gòu)柔度的情況下較大地提升迭代的速度.因此,與二分法相比,改進的進退法效率更高,收斂效果更好.

本文僅對普通二維算例進行了研究,以后可將本文方法應(yīng)用于三維以及其他工程方面的算例.