基于“導(dǎo)問”的高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)

李健

所謂“導(dǎo)問式”教學(xué)，指基于不同的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容，以“問題和引導(dǎo)”為基本特征的一種教學(xué)活動(dòng)形式。［1］其外部特征一般呈現(xiàn)為：教師通過設(shè)置一定的情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，在與學(xué)生共同解讀問題的過程中，圍繞核心概念提出一系列問題，啟發(fā)學(xué)生思考探究并解決問題，最終達(dá)到把握問題本質(zhì)的目的。其內(nèi)涵主旨為：通過動(dòng)態(tài)思辨，幫助學(xué)生啟迪思維、生成智慧。

變式教學(xué)指教師有目的、有計(jì)劃地對命題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化的教學(xué)方式，它主張保持問題的本質(zhì)特征不變，將問題的非本質(zhì)屬性不斷遷移，通過深化認(rèn)知的一系列策略與途徑，在動(dòng)態(tài)教學(xué)中把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，這與“導(dǎo)問”的教學(xué)目標(biāo)與實(shí)施手段高度契合。筆者著眼于提升高中生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，以高三一輪復(fù)習(xí)的課堂教學(xué)為落腳點(diǎn)，從一道課本習(xí)題出發(fā)，薄口深切，例談基于“導(dǎo)問”的變式教學(xué)策略。

一、教學(xué)背景概述

在學(xué)習(xí)“直線和圓”過程中，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標(biāo)》）要求學(xué)生“能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓位置關(guān)系，并能解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題”。從整個(gè)解析幾何單元的學(xué)業(yè)要求來看，《課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)了幾何問題與代數(shù)問題間的轉(zhuǎn)化與融合。

針對高三學(xué)生的知識儲備與思維特點(diǎn)，筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)圍繞“直線和圓位置關(guān)系”的進(jìn)階微專題，以蘇教版教材（2019年版）選擇性必修一（以下簡稱《選必一》）第62頁習(xí)題2.2第10題為研究起點(diǎn)展開變式教學(xué)，以期引導(dǎo)學(xué)生逐步深化對直線和圓位置關(guān)系的認(rèn)知，“沉浸式”地感知幾何與代數(shù)的深刻關(guān)系，最終把握解析幾何（以下簡稱“解幾”）的本質(zhì)。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)呈現(xiàn)

1.借“一題多變”導(dǎo)出問題情境

【問題1】已知圓O的方程是x2+y2=r2，求經(jīng)過圓O上一點(diǎn)M（x0，y0）的切線方程。

生1：根據(jù)題意分析可得，所求切線與直線OM垂直。故可設(shè)所求切線方程為x0x+y0y+c=0，代入M（x0，y0）可得++c=0?c=-r2，則所求切線方程為x0x+y0y=r2。

師：很好！同學(xué)們學(xué)會了在抓住切線幾何性質(zhì)的同時(shí)，合理使用數(shù)學(xué)語言去刻畫、解決“過已知圓上一點(diǎn)的切線問題”。那么接下來我們一起探究：“當(dāng)點(diǎn)M（x0，y0）不在圓上時(shí)，直線x0x+y0y=r2與圓O的位置關(guān)系又該如何呢？”

【問題2】已知點(diǎn)M（x0，y0）在圓O：x2+y2=r2的內(nèi)部（異于圓心O），判斷直線l：x0x+y0y=r2與圓O的位置關(guān)系。

師：若點(diǎn)M在圓O外部呢?

師：很好！研究直線和圓的位置關(guān)系需要緊緊把握圓心到直線的距離d與圓半徑r之間的大小關(guān)系。同時(shí)，直線l：x0x+y0y=r2似乎與圓O：x2+y2=r2有一種“神秘”的聯(lián)系，接下來我們將通過一系列問題來進(jìn)行探討。

本環(huán)節(jié)中，問題1最后設(shè)置“一題多變”，利用《選必一》中第62頁的習(xí)題12設(shè)置變式情境，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步探究。通過問題2的兩個(gè)“非標(biāo)準(zhǔn)化”變式，突出了直線與圓位置關(guān)系的本質(zhì)屬性，即“d與r之間的大小關(guān)系”。再利用其所包含的代數(shù)形式的共同特征，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入探討。

2.由“一題多解”導(dǎo)向問題本質(zhì)

【問題3】已知點(diǎn)M（x0，y0）在圓O：x2+y2=r2外部，你能探究出直線l：x0x+y0y=r2的幾何意義嗎？

（圖1）

師：大家有別的方法來證明上述這個(gè)結(jié)論嗎？

（限于版面，求解過程略）

師：問題1和問題3的答案均為x0x+y0y=r2，這是一種巧合嗎？還是它們之間存在著一種內(nèi)在聯(lián)系？大家可交流探討。

生5：可以從圖形的角度動(dòng)態(tài)地理解“切點(diǎn)弦”和“圓上一點(diǎn)切線”的內(nèi)在聯(lián)系，當(dāng)點(diǎn)M從圓的外部向圓逐步靠近時(shí)，此時(shí)A、B兩點(diǎn)也會沿著圓弧不斷向其靠近，當(dāng)點(diǎn)A、B、M無限接近“重合”狀態(tài)時(shí)，原本作為割線的切點(diǎn)弦AB所在直線也會“逼近”成為一條過圓上一點(diǎn)M的切線了。

師：（可配合幾何畫板動(dòng)態(tài)演示）很好！根據(jù)同學(xué)們的分析，我們可以將其簡單地理解為“過圓上一點(diǎn)的切線就是某割線的極限狀態(tài)”。在探討的過程中，我們深刻地感受到直線與圓的問題可以用代數(shù)方法來解決，同時(shí)也可以從幾何角度探索、感知其內(nèi)在本質(zhì)。

本環(huán)節(jié)通過問題3啟發(fā)學(xué)生“一題多解”，從幾何和代數(shù)兩個(gè)維度來深化教學(xué)內(nèi)容，凸顯了“解幾”本質(zhì)，隨后教師引導(dǎo)學(xué)生探究問題1與問題3的內(nèi)在聯(lián)系，設(shè)置變式追問，引導(dǎo)學(xué)生深度思考。最后利用幾何畫板動(dòng)態(tài)展示，幫助學(xué)生從抽象和具象兩個(gè)層面去理解數(shù)和形的關(guān)系，從而把握“解幾”本質(zhì)。

3.用“多題一解”導(dǎo)引問題深化

【問題4】已知點(diǎn)M（x0，y0）在圓O：x2+y2=r2的內(nèi)部（異于圓心O：x2+y2=r2），求證：過M點(diǎn)的弦（除直徑外）的兩個(gè)端點(diǎn)在圓上兩切線的交點(diǎn)軌跡為直線x0x+y0y=r2。

生6：設(shè)兩切線的 交 點(diǎn) 為P（x'，y'）（見圖2），由問題3可知過P點(diǎn)圓O的兩切線的切點(diǎn)弦所在直線AB的方程為x'x+y'y=r2。因?yàn)辄c(diǎn)M（x0，y0）在直線AB上，所以有x'x0+y'y0=r2，又因?yàn)辄c(diǎn)P具有任意性，故點(diǎn)P即為所求動(dòng)點(diǎn)，因此，用x，y分別替換x'，y'，得到所求軌跡方程x0x+y0y=r2，故命題得證。

（圖2）

師：不難看出，該過程體現(xiàn)的解題思路與問題3中生5所展示的思想方法相同，都是根據(jù)解題需要將點(diǎn)進(jìn)行“動(dòng)態(tài)”與“靜態(tài)”間的切換，在解決問題時(shí)再次利用了問題3的相關(guān)結(jié)論，這就是所謂的“多題一解”。接下來，我們通過一道模擬題來深化對這一知識點(diǎn)的掌握。

【問題5】（2022年蘇州中學(xué)高三學(xué)期初檢測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2＋y2＝1，圓C：（x＋1）2＋y2＝9，直線l與圓O相切，與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)A，B為切點(diǎn)作圓C的切線l1，l2。設(shè)直線l1，l2的交點(diǎn)為P，則OP的最小值為（ ）

師：結(jié)合解決問題5的經(jīng)歷，大家能否推導(dǎo)出有關(guān)切點(diǎn)弦的一般性結(jié)論？

生8：過圓C：（x-a）2＋（y-b）2=r2外一點(diǎn)P（m，n）作圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，則切點(diǎn)弦所在直線AB的方程為（m-a）（x-a）+（n-b）（y-b）=r2。

師（追問）：能推廣出問題1的一般性結(jié)論嗎？

生9：根據(jù)問題1和問題3的內(nèi)在聯(lián)系可得，過圓C：（x-a）2＋（y-b）2=r2上一點(diǎn)P（m，n）的切線方程為（m-a）（x-a）+（n-b）（y-b）=r2。

師：非常好！大家在幾何的層面進(jìn)行了思考、類比和歸納，但要得出確鑿的結(jié)論還需從代數(shù)的角度去演繹推證，請各位同學(xué)課后完善上述問題的證明過程。

設(shè)置問題4既是從思維上對問題3中生5解法的鞏固，同時(shí)也引導(dǎo)了學(xué)生關(guān)注問題3所衍生出的各種“副產(chǎn)品”，讓其主動(dòng)接受“多題一解”這一變式教學(xué)載體。最終利用問題5引導(dǎo)學(xué)生通過合情推理深化理解這類問題的共性，并以演繹推理來作為教學(xué)的課后延伸，達(dá)到讓學(xué)生把握這類問題本質(zhì)的同時(shí)，深刻感知數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的雙重目的。

三、教學(xué)策略總結(jié)

從上述的教學(xué)案例中我們不難看出，以“導(dǎo)問”作為方法論、“變式”作為教學(xué)手段的課堂教學(xué)需要教師進(jìn)行數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)化組織，在讓知識變得系統(tǒng)化的同時(shí)也要關(guān)注其可操作性。這對教師的教學(xué)素養(yǎng)提出了較高的要求。結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)實(shí)際，筆者對基于“導(dǎo)問”開展的變式教學(xué)課型總結(jié)了如下三點(diǎn)策略。

1.“導(dǎo)”中生“變”

導(dǎo)問式教學(xué)講究教學(xué)內(nèi)容重難點(diǎn)的針對性，需要教師由淺入深、層層遞進(jìn)、呈梯度狀設(shè)問。［2］在研究問題1至問題3的過程中，我們圍繞本課例的教學(xué)重點(diǎn)之一——深度研究直線和圓的位置關(guān)系，構(gòu)建了“變式問題串”，將一系列“導(dǎo)問”以“變式”的形態(tài)出現(xiàn)，即通過相關(guān)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)變化來探究相關(guān)直線與圓的位置關(guān)系。

學(xué)生能夠在“變”中逐步把握住直線和圓位置關(guān)系的幾何本質(zhì)，并能夠用代數(shù)語言去刻畫其幾何關(guān)系，既完成了思維由“發(fā)散”到“匯聚”的變化過程，又強(qiáng)化了用代數(shù)方法去解決幾何問題的“解幾意識”。

2.以“變”聯(lián)“導(dǎo)”

作為直線和圓位置關(guān)系中的一個(gè)“特別的存在”，聚焦“切點(diǎn)弦方程”是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，同時(shí)也是思維的一個(gè)躍升點(diǎn)。如何做到既能貼合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律又能有效地將教學(xué)內(nèi)容合理聯(lián)結(jié)，本課例中，變式起到了關(guān)鍵作用。

通過對問題2與問題3形式上的“統(tǒng)一化”與內(nèi)容上的“延續(xù)化”，將變式作為“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”嵌入導(dǎo)問中，在結(jié)構(gòu)上采用了“過程性變式”即“數(shù)學(xué)活動(dòng)的有層次推進(jìn)”［3］，達(dá)到了“潤物細(xì)無聲”的教學(xué)效果。同時(shí)，以問題3作為導(dǎo)問載體，使用“一題多解”的變式途徑，引導(dǎo)學(xué)生對其解決方法進(jìn)行深度探究，將三種解題思路從不同維度有效地聯(lián)結(jié)在一起，從思維的層面實(shí)現(xiàn)了“匯聚”至“發(fā)散”的轉(zhuǎn)變過程。

3.“導(dǎo)”“變”相融

解析幾何是“數(shù)形結(jié)合”的典范，本課例中，“一題多變”“一題多解”及“多題一解”等變式手段，本質(zhì)上都是服務(wù)于“數(shù)形結(jié)合”這一思想方法，是提高學(xué)生發(fā)散思維與形象思維的有效途徑。［4］

因此，將“導(dǎo)問”和“變式”合而為一，能幫助學(xué)生在解決問題中，同步實(shí)現(xiàn)思想方法的掌握和思維品質(zhì)的提升，這在問題3的教學(xué)過程中得到了充分體現(xiàn)。同樣問題4的導(dǎo)入既做到了對問題3結(jié)論的“即時(shí)性學(xué)以致用”，又通過研究軌跡問題滲透了“幾何問題代數(shù)化”的解幾思維。將問題5設(shè)置為真題，其目的在于用特例引導(dǎo)學(xué)生將問題3的結(jié)論一般化，即滲透“特殊到一般”數(shù)學(xué)思想方法，加以教師的追問，引導(dǎo)學(xué)生的思維進(jìn)行了一次躍遷。

總而言之，無論是采用“導(dǎo)問”的漸進(jìn)式授課模式，還是借助于“變式”的動(dòng)態(tài)化教學(xué)手段，其最終目的都是指向?qū)W生思維能力的培養(yǎng)與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。以此為引，形成更多行之有效的教學(xué)范式，是我們在今后教學(xué)實(shí)踐中不斷求索的目標(biāo)。