小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題中幾何直觀的培養(yǎng)策略

藍(lán)作坤

【編者按】當(dāng)前，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)化了對(duì)學(xué)生幾何直觀的培養(yǎng)，要求學(xué)生具備主動(dòng)借助圖表描述與分析問題的意識(shí)與習(xí)慣。在教學(xué)中，教師如何優(yōu)化教學(xué)過程，創(chuàng)設(shè)契合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的學(xué)習(xí)活動(dòng)，探究培養(yǎng)路徑，逐步發(fā)展學(xué)生的幾何直觀？本期話題一起來探討。

形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)缺形時(shí)少直觀。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何直觀能讓抽象的問題描述直觀化，使學(xué)生能迅速、簡(jiǎn)捷、合理地解決問題，發(fā)展良好的思維能力。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題教學(xué)中，教師應(yīng)注重對(duì)學(xué)生幾何直觀的培養(yǎng)。

一、小學(xué)階段幾何直觀的內(nèi)涵與教學(xué)現(xiàn)狀

1. 幾何直觀的內(nèi)涵。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識(shí)與習(xí)慣。它的應(yīng)用主要包含兩個(gè)方面：一是通過幾何直觀，幫助學(xué)生感知、認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)幾何圖形（能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類;根據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì)）。二是將幾何直觀當(dāng)成解決問題的路徑，打通數(shù)與形的關(guān)聯(lián)（建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型;利用圖表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問題，探索解決問題的思路）。本文所要闡述的主要是幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題中的應(yīng)用及培養(yǎng)策略。

小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題的核心是思維建模，幾何直觀有助于學(xué)生把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑。借助幾何直觀可以使數(shù)學(xué)問題變得直觀、簡(jiǎn)明、形象，借助幾何直觀可以建立起文本與算式的可視聯(lián)系，借助幾何直觀可以建立起一類問題的思維模型。

近些年來，我國學(xué)者對(duì)幾何直觀也進(jìn)行了深入研究，如史寧中先生將幾何圖形與實(shí)際生活中的物象進(jìn)行聯(lián)系，以實(shí)現(xiàn)對(duì)空間與數(shù)量的感知，為解決問題提供依據(jù)。徐利治先生則是將幾何直觀定義為通過問題聯(lián)系生活，以生活中的幾何圖形為載體，將幾何直觀的形象與數(shù)學(xué)問題進(jìn)行對(duì)比分析，以此實(shí)現(xiàn)對(duì)問題中所包含數(shù)量關(guān)系的有效感知。

筆者認(rèn)為，幾何直觀是一種基于空間能力的進(jìn)階能力，具體表現(xiàn)為利用圖表對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行描述和分析、思考和想象，探索解決問題的路徑，讀出問題的結(jié)果，論證問題的結(jié)論，揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，發(fā)展思維能力。對(duì)于小學(xué)生而言，幾何直觀可以幫助其對(duì)解決問題進(jìn)行簡(jiǎn)單的空間描述、想象和文本轉(zhuǎn)化。

2. 與幾何直觀有關(guān)的教學(xué)現(xiàn)狀。

一是在日常教學(xué)中，教師往往將幾何直觀當(dāng)成解決問題的橋梁，僅將其視作解決問題的工具，通過直接呈現(xiàn)各類圖表，為得出算式服務(wù)。這樣便會(huì)讓學(xué)生誤以為解決問題就是列出算式求出結(jié)果，忽視了幾何直觀的重要性。

二是在現(xiàn)行教材中，缺少必要的畫圖方法教學(xué)。因此，在學(xué)生解決問題時(shí)，缺少運(yùn)用幾何直觀輔助解決問題的能力，對(duì)學(xué)生幾何直觀的培養(yǎng)出現(xiàn)缺位。

三是教師忽視了幾何直觀作為學(xué)生核心素養(yǎng)的重要作用，以及對(duì)學(xué)生終身發(fā)展的重要意義。由于缺乏必要的引導(dǎo)，很多學(xué)生在解決問題時(shí)，偏向于套用現(xiàn)成的概念或公式，不能“賦數(shù)于形”，缺乏使用幾何直觀解決問題的意識(shí)。

在小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題中，幾何直觀的培養(yǎng)，需要在“文”“圖”“式”三種表達(dá)方式的轉(zhuǎn)化上下功夫，有序建立“文—圖—式”三者之間的聯(lián)結(jié)，最終實(shí)現(xiàn)三者之間的無障礙自譯和互譯。

二、解決問題背景下幾何直觀的培養(yǎng)策略

（一）讀圖

在學(xué)習(xí)畫圖之前，要教會(huì)學(xué)生讀圖。一是讓學(xué)生明白今后要畫的圖是什么樣的，二是建立圖與文本信息的對(duì)應(yīng)關(guān)系。學(xué)生只有先看懂、識(shí)別出圖背后所隱藏的信息，在解決問題時(shí)，他們才會(huì)把題目中的信息以幾何直觀的方式加以呈現(xiàn)。讀圖讀什么？

1. 從圖中讀出文本，建立圖與文的聯(lián)結(jié)。

理解題意是解決問題的基礎(chǔ)，小學(xué)階段多數(shù)的數(shù)學(xué)問題都是以文本信息的方式呈現(xiàn)的，小學(xué)生受思維能力水平的影響，無法理解比較抽象的題意。我們就可以借助幾何直觀把抽象的題意與形象的圖結(jié)合起來，給抽象的數(shù)賦予直觀的形，既理解題意，又培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀。因此，教師要教會(huì)學(xué)生讀出圖中的文本信息，使學(xué)生建立文本與圖的強(qiáng)聯(lián)結(jié)，當(dāng)題目以文本信息的形式呈現(xiàn)時(shí)，學(xué)生大腦中能自然映射出相對(duì)應(yīng)的圖。

（1）從圖中讀出量與量的關(guān)系。

圖1是小學(xué)階段最常見的形容兩個(gè)量倍數(shù)關(guān)系的線段圖。與它相聯(lián)結(jié)的文本信息為：“男生人數(shù)是女生的3倍”或“女生人數(shù)是男生的”。三年級(jí)學(xué)習(xí)了“倍的認(rèn)識(shí)”之后，我們就要經(jīng)常呈現(xiàn)這樣的線段圖（改變量與倍數(shù)關(guān)系），讓學(xué)生直接從線段圖中讀出文本信息，建立線段圖與文本信息間的強(qiáng)聯(lián)結(jié)，為今后根據(jù)文本信息畫線段圖做準(zhǔn)備。

（2）從圖中讀出問題。

在利用線段圖分析數(shù)量關(guān)系時(shí)，我們指向的往往是對(duì)具體某一個(gè)問題的解決方案。其實(shí)一幅線段圖表征的是一類題目，它可以同時(shí)解決多個(gè)問題。

如圖1，基于該線段圖可以解決4個(gè)問題：①男生有多少人？②女生有多少人？③男生（女生）比女生（男生）多（少）多少人？④男生和女生一共有多少人？這4個(gè)問題對(duì)應(yīng)的就是4道題目。在以文本信息形式呈現(xiàn)的題目中，學(xué)生認(rèn)為這4道題目是獨(dú)立的、不同的。從讀圖入手，通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)這4道題目的數(shù)量關(guān)系是一樣的，因此線段圖也是一樣的。通過幾何直觀幫助學(xué)生建立一類問題間的聯(lián)結(jié)，從而建構(gòu)起解決一類問題的思維模型。

2. 從圖中讀出關(guān)系，建立圖與式的聯(lián)結(jié)。

（1）從圖中讀出等量關(guān)系式。

列算式是小學(xué)階段學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題最常用的方式，但純算式的呈現(xiàn)方式使得多數(shù)學(xué)生無法明白運(yùn)算符號(hào)與文本信息的內(nèi)在聯(lián)系。示意圖中既包含了對(duì)量的描述，也包含了對(duì)量與量之間關(guān)系的呈現(xiàn)。借助幾何直觀既能明晰文本信息中的隱含題意，又能讓學(xué)生清楚地看到運(yùn)算符號(hào)的產(chǎn)生過程。因此，在讀圖時(shí)，我們除了關(guān)注量，更為重要的是提煉出圖中量與量的關(guān)系。建立圖與式的聯(lián)結(jié)，最后利用關(guān)系式使題目順利得解。從圖1中，我們就可以得出“女生人數(shù)×3=男生人數(shù)”這樣的等量關(guān)系式。在后續(xù)解題中，無論題目求哪個(gè)量（男生人數(shù)、女生人數(shù)、和或差），我們都可以利用這條等量關(guān)系式列出算式使題目得解。

（2）從圖中讀出結(jié)果。

幾何直觀不單單是解題的策略與橋梁，更為重要的是它能直接呈現(xiàn)問題的結(jié)果。將抽象的文本（或算式）轉(zhuǎn)化成直觀的圖呈現(xiàn)時(shí)，我們可以直接從圖中讀出問題的結(jié)果。

在學(xué)生剛剛接觸植樹問題時(shí)，教師不適合直接進(jìn)行列算式教學(xué)，而是要讓他們先學(xué)會(huì)識(shí)別植樹問題中的各種數(shù)據(jù)。我們可以在課堂上出示示意圖（圖2），并創(chuàng)設(shè)不同的情境。①圖2表示在一條路上植樹。從圖中我們可以讀出：兩棵樹之間的距離是（ ）米，這條路上一共種了（ ）棵樹，這條路的全長(zhǎng)是（ ）米。②圖2表示把一根木條鋸開。從圖中我們可以讀出：這根木條被鋸了（ ）次，被鋸成了（ ）段，鋸開后的木條每段長(zhǎng)（ ）米，這根木條原來長(zhǎng)（ ）米。

通過不同的情境，讓學(xué)生明白不同數(shù)據(jù)存在于示意圖中的不同位置，根據(jù)數(shù)據(jù)所處位置的不同，確定出植樹問題中的數(shù)據(jù)有兩種身份：點(diǎn)（數(shù)在點(diǎn)上）和段（數(shù)在段上）。為今后深入學(xué)習(xí)植樹問題做鋪墊。像此類問題的解決，圖畫好了，結(jié)果也就隨之呈現(xiàn)了，學(xué)生無需再進(jìn)行繁雜的列式計(jì)算。

（二）畫圖

畫圖，是將抽象的文本、語言、算式，具體、形象、直觀化的過程。畫圖，怎么畫？

1. 抓關(guān)系句子，將文本信息轉(zhuǎn)化成圖。

我們先來看這樣一個(gè)例子。①小明獲得10朵小紅花，小紅比小明多得4朵。他們兩人一共獲得多少朵小紅花？②小紅獲得14朵小紅花，比小明多得4朵。他們兩人一共獲得多少朵小紅花？

學(xué)生畫圖時(shí)，往往會(huì)從已知量入手畫出兩種不同的線段圖。實(shí)際上這兩道題目的數(shù)量關(guān)系都是“小紅比小明多得4朵”。因此，在畫線段圖時(shí)（見圖3），我們要先抓住形容兩個(gè)量關(guān)系的句子畫出關(guān)系圖a，再將題目中的其他信息添加到線段圖中，題①添上小明的紅花朵數(shù)與問題，得到圖b，題②添加小紅的紅花朵數(shù)與問題，得到圖c。

可見，要將文本信息轉(zhuǎn)化成線段圖，并不是按題目的描述將每個(gè)句子進(jìn)行逐一轉(zhuǎn)化，而是要先找出文本信息中描述兩個(gè)量關(guān)系的句子，先將關(guān)系句子轉(zhuǎn)化成關(guān)系圖，再將題目中的其他信息填充上。

2. 抓運(yùn)算意義，將算式轉(zhuǎn)化成圖。

在小學(xué)階段，算式用運(yùn)算符號(hào)聯(lián)結(jié)數(shù)字，是對(duì)數(shù)量關(guān)系的高度概括，通過數(shù)的運(yùn)算來推演量與量之間的關(guān)系。在算式中，數(shù)的運(yùn)算是表象，隱藏著的是數(shù)量關(guān)系。只關(guān)注數(shù)的運(yùn)算，忽視數(shù)量關(guān)系，這樣的運(yùn)算就少了意義的支撐，使運(yùn)算變成了技能技法的操練。將算式轉(zhuǎn)化成圖，學(xué)生不僅可以很好地理解運(yùn)算順序，同時(shí)也可以知道算式的產(chǎn)生過程。

學(xué)習(xí)“混合運(yùn)算”時(shí)，除了通過具體情境讓學(xué)生理解運(yùn)算順序外，還可以利用圖幫助學(xué)生直觀理解運(yùn)算順序。在計(jì)算5+3×4時(shí)，學(xué)生受“同級(jí)運(yùn)算順序”和“乘加運(yùn)算順序”的影響，會(huì)出現(xiàn)從左往右計(jì)算的情況。將算式先轉(zhuǎn)化成圖（圖4），在圖中，我們就可以清楚地看出3×4是一個(gè)整體，因此，我們就不能將5與3直接相加。從圖中我們不僅讓學(xué)生直觀地看出了這道題的運(yùn)算順序，同時(shí)還讓學(xué)生直觀地感受到5和3不能相加的原因。在后續(xù)學(xué)習(xí)運(yùn)算定律時(shí)，通過畫圖，使學(xué)生更好地理解使用交換律時(shí)算式中數(shù)據(jù)如何正確交換位置。

3. 從圖到圖，將圖還原。

以文字表述的數(shù)學(xué)問題，我們都會(huì)有意識(shí)地借助圖的支架作用理解題意，但對(duì)于“圖形與幾何”領(lǐng)域的數(shù)學(xué)問題，卻往往忽略了對(duì)現(xiàn)成圖形的深挖。在學(xué)習(xí)“長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)”（人教版，下同）時(shí)，我們要從現(xiàn)成的圖形中描出要度量的線，隨后將這一圈線通過移動(dòng)的方式有序地直觀呈現(xiàn)在一把尺子上。接著讓學(xué)生明白周長(zhǎng)就是這一條線段的長(zhǎng)度，建立起周長(zhǎng)與線段的聯(lián)系，理解周長(zhǎng)的本質(zhì)是“線”。在學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體的表面積時(shí)，表面積的本質(zhì)是“面”，我們可以與第二單元的“觀察物體（三）”相聯(lián)結(jié)，先從立體圖形中找出它六個(gè)方向面的形狀，接著通過分組建立起求由小正方體拼成的立體圖形表面積的基本模型（圖5）。

（三）借圖

有了讀圖與畫圖的訓(xùn)練，學(xué)生能將“文”“圖”或“式”轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)的“圖”，以“圖”為紐帶，我們就可以幫助學(xué)生建立起“文—圖—式”三者之間的聯(lián)系。在學(xué)生能熟練轉(zhuǎn)化之后，“圖”就可以在大腦里完成，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)“文”與“式”的直接互化。借助“圖”，我們還可以進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)“文—文”“式—式”之間不同表述形式的轉(zhuǎn)化。最終讓學(xué)生具備看到任何形式的信息時(shí)，頭腦中自然呈現(xiàn)出對(duì)此信息其他形式的表征能力，從而真正實(shí)現(xiàn)“文—圖—式”三種形式之間無障礙的互譯與自譯。

六年級(jí)分?jǐn)?shù)解決問題教學(xué)的核心是對(duì)含有分?jǐn)?shù)的關(guān)系句進(jìn)行轉(zhuǎn)化（圖6）。在解讀關(guān)系句中，教師要先讓學(xué)生從意義入手理解分?jǐn)?shù)的具體含義，利用份數(shù)關(guān)系畫出線段圖;接著利用線段圖，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)對(duì)其進(jìn)行多角度表征，不斷豐富學(xué)生的思維角度，通過線段圖打通不同表述方式的內(nèi)在聯(lián)系，促使學(xué)生將分?jǐn)?shù)乘法、分?jǐn)?shù)除法、比、百分?jǐn)?shù)等內(nèi)容融合成一個(gè)整體。當(dāng)學(xué)生能夠獨(dú)立、熟練地完成各種轉(zhuǎn)化后，他們?cè)诮鉀Q問題時(shí)就可以根據(jù)自己的喜好和當(dāng)前水平選擇合適的解題方法進(jìn)行解題，這時(shí)，多種方法解題也就水到渠成了。借助這樣的方式，幫助學(xué)生建立解決分?jǐn)?shù)問題的思維模型。

總之，幾何直觀不單單是解決數(shù)學(xué)問題的一種手段，更是一種十分重要的數(shù)學(xué)思想。在小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題中，通過對(duì)學(xué)生幾何直觀的培養(yǎng)，提升學(xué)生對(duì)各種信息的“翻譯”本領(lǐng)。讓學(xué)生形成利用幾何直觀解題的意識(shí)與習(xí)慣，進(jìn)而通過問題的解決促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展?？梢?，幾何直觀為思維的升華提供了很好的路徑。

（作者單位：浙江省溫州市實(shí)驗(yàn)小學(xué)）