基于主成分與回歸分析的彈藥消耗預(yù)計(jì)方法*

史憲銘，李 康，劉月河，姜廣勝，杜 凱

（陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)，石家莊 050003）

0 引言

彈藥是戰(zhàn)斗力的物質(zhì)基礎(chǔ)，打仗沒有彈藥毫無辦法。國內(nèi)相關(guān)學(xué)者在彈藥消耗預(yù)測方面做了大量研究，對有效保障彈藥需求具有十分重要的意義。隨著科技的發(fā)展，武器的作戰(zhàn)性能和目標(biāo)的防護(hù)性能也得到了一定發(fā)展，導(dǎo)致作戰(zhàn)過程中彈藥消耗影響因素也發(fā)生變化，對彈藥保障工作帶來了嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。

目前，在分析彈藥消耗影響因素研究中，龔傳信等構(gòu)建了面向目標(biāo)的彈藥消耗的影響因素體系，運(yùn)用DEMATEL 方法定量分析了面向目標(biāo)的彈藥消耗影響因素，其充分利用了專家的經(jīng)驗(yàn)知識，找出了影響面目標(biāo)的彈藥需求關(guān)鍵因素。李建華等基于模糊邏輯理論建立了彈藥消耗預(yù)計(jì)模型，定量分析了彈藥消耗影響因素，其通過建立彈藥消耗影響因素的隸屬度函數(shù)，綜合了彈藥消耗諸多因素。趙志寧等提出一種基于可拓優(yōu)度的聯(lián)合火力打擊陸軍彈藥消耗預(yù)測方案評估模型，通過建立因素重要程度模糊評判矩陣，深入分析了聯(lián)合火力打擊陸軍彈藥消耗影響因素。

上述彈藥消耗預(yù)測方法多利用專家打分、模糊評判等方法分析彈藥消耗影響因素，對影響因素的研究具有一定的主觀性和不準(zhǔn)確性。主成分分析是一種多元統(tǒng)計(jì)分析方法，可以消除彈藥消耗影響因素彼此的相關(guān)影響，減少評價指標(biāo)選擇的工作量?；貧w分析可以準(zhǔn)確地計(jì)量各個彈藥消耗影響因素之間的相關(guān)程度與回歸擬合程度的高低，提高預(yù)測方程式的效果。因此，本文采用主成分分析法確定某裝甲武器彈藥消耗影響因素主成分，并對其進(jìn)行了回歸分析，預(yù)測彈藥消耗量。

1 基于主成分的彈藥消耗影響因素分析

1.1 主成分分析基本模型

假定有n 個樣本，每個樣本有p 個指標(biāo)變量，數(shù)據(jù)矩陣可以表示為：

由于對任意變量可作上述線性變換，得到的綜合變量Y 的統(tǒng)計(jì)特性也各不相同，為達(dá)到最好效果，系數(shù)u有如下約束：

1.2 主成分分析計(jì)算步驟

1）計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣

式中，r為原變量x和x之間的相關(guān)系數(shù)，計(jì)算公式為：

2）計(jì)算特征值

特征方程為：

3）計(jì)算主成分貢獻(xiàn)率與累計(jì)貢獻(xiàn)率

主成分Y的貢獻(xiàn)率z為：

累計(jì)貢獻(xiàn)率為：

4）計(jì)算主成分載荷

主成分載荷計(jì)算公式為：

得到各主成分載荷后可進(jìn)一步計(jì)算各主成分的得分。

1.3 基于主成分的彈藥消耗影響因素分析

由于彈藥消耗受到多重因素的影響，預(yù)計(jì)彈藥消耗是一個復(fù)雜的工作，需要先對彈藥消耗影響因素進(jìn)行分析。從宏觀角度講，作戰(zhàn)樣式、作戰(zhàn)規(guī)模、作戰(zhàn)強(qiáng)度等都對彈藥消耗產(chǎn)生影響。本文立足彈藥-目標(biāo)匹配的角度，以確定的某裝甲武器為研究對象，面向點(diǎn)目標(biāo)，不涉及宏觀角度下的彈藥消耗影響因素，即在彈藥、目標(biāo)以及毀傷程度確定的情況下考慮相關(guān)因素。隨著科技的進(jìn)步，武器平臺的移動速度和目標(biāo)的防護(hù)程度越來越影響彈藥的消耗，因此，本文選取武器與目標(biāo)的距離、武器平臺的移動速度、目標(biāo)的移動速度、目標(biāo)規(guī)模、目標(biāo)的防護(hù)程度和環(huán)境影響系數(shù)6 種彈藥消耗影響因素。

基于主成分的彈藥消耗影響因素如圖1 所示，分析步驟具體如下：

圖1 基于主成分的彈藥消耗影響因素分析步驟

1）選取相應(yīng)的彈藥消耗影響因素，計(jì)算KMO（kaiser-meyer-olkin，表示檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量）等指標(biāo)，比較變量之間的相關(guān)性，判斷數(shù)據(jù)是否適合主成分分析。

2）計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣，分析彈藥消耗影響因素之間的相關(guān)關(guān)系。

3）計(jì)算協(xié)方差矩陣，分析各彈藥消耗影響因素協(xié)方差。

4）通過前面的分析確定彈藥消耗影響因素的主成分。

2 彈藥消耗量回歸分析方法

對彈藥消耗影響因素進(jìn)行主成分分析后，得到了降維后的變量，消除了彈藥消耗各影響因素之間的相關(guān)關(guān)系，利用少數(shù)影響因素代替多個影響因素，同時又基本涵蓋原始彈藥消耗影響因素的作用。在實(shí)際彈藥消耗預(yù)計(jì)中，根據(jù)已有的數(shù)據(jù)，難以用一個精確的函數(shù)將變量聯(lián)系在一起，進(jìn)而用回歸模型對彈藥消耗量進(jìn)行回歸分析。

2.1 彈藥消耗量多元線性回歸分析

所謂回歸分析方法，即利用統(tǒng)計(jì)方法建立因變量和自變量的關(guān)系，根據(jù)提供的自變量，研究因變量的變化，可以用于預(yù)計(jì)分析。線性回歸分為一元線性回歸和多元線性回歸，以自變量的數(shù)量區(qū)分。本文中彈藥消耗影響因素有多種，故選取多元線性回歸。

視彈藥消耗量為因變量y，各彈藥消耗影響因素為自變量x，其中（i=1，2，…，n），可建立多元線性回歸方程：

其中，β 為回歸系數(shù)；ε 為誤差。求出回歸方程后，需要對方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，觀察彈藥消耗量與影響因素是否符合多元線性模型。

通過最小二乘法可以獲得多元線性回歸方程的參數(shù)，即采用最小誤差平方和，公式如下：

式（10）即求一組β 使得Q（β）達(dá)到最小值，采用普通最小二乘法：

式中，X 為自變量矩陣；Y 為因變量矩陣。

2.2 彈藥消耗量多元非線性回歸分析

非線性關(guān)系，包括3 類，1）可以通過變量替換轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系；2）自變量和因變量之間關(guān)系函數(shù)式不確定；3）自變量和因變量之間關(guān)系函數(shù)式可以確定，但參數(shù)未知，且不可轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系。

一般多元非線性回歸模型公式為：

給定一組彈藥消耗預(yù)計(jì)的彈藥消耗量與各影響因素的觀測值后，式（12）可改寫為：

其中，β 為回歸系數(shù)；x為彈藥消耗影響因素，根據(jù)彈藥消耗影響因素的個數(shù)可以確定非線性函數(shù)的維數(shù)；ε為隨機(jī)誤差項(xiàng)，接受獨(dú)立同分布假定條件，即：

對于非線性回歸模型，仍使用最小二乘法估計(jì)參數(shù)，即：

3 示例分析

本文以某裝甲武器為例，研究對點(diǎn)目標(biāo)的彈藥需求預(yù)計(jì)。根據(jù)1.3 節(jié)中彈藥消耗影響因素分析，選取武器與目標(biāo)的距離、武器平臺的移動速度、目標(biāo)的移動速度、目標(biāo)規(guī)模、目標(biāo)的防護(hù)程度和環(huán)境影響系數(shù)進(jìn)行主成分分析，分別對應(yīng)x，x，x，x，x，x6 個變量。彈藥消耗影響因素?cái)?shù)據(jù)歸一化處理后如表1 所示。

表1 彈藥消耗影響因素?cái)?shù)據(jù)

對選取的6 個彈藥消耗影響因素指標(biāo)首先進(jìn)行KMO 檢驗(yàn)，判斷其是否適合主成分分析，KMO 值計(jì)算結(jié)果如表2 所示。一般來說，KMO 值在0.8 以上適合做主成分分析，在實(shí)證分析中能達(dá)到0.6 以上，就認(rèn)為可以進(jìn)行主成分分析。據(jù)表2 中數(shù)據(jù)可以看出彈藥消耗影響因素可以進(jìn)行主成分分析。主成分分析結(jié)果如下頁表3 所示，第2 列代表特征值。具有95%置信度漸進(jìn)置信區(qū)間的碎石圖如圖2所示。分析表中數(shù)據(jù)可以看出前兩個主成分累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到84%，且根據(jù)特征值大于1 的主成分選定條件，選擇前兩個主成分可以很好解釋原始變量。圖3 是主成分分析后的得分圖，描述了各組數(shù)據(jù)得分散點(diǎn)圖，圖4 為主成分分析所得載荷圖，可以直觀看出各彈藥消耗影響因素對主成分影響的大小。

圖2 特征值95%置信區(qū)間碎石圖

圖3 主成分分析的得分圖

圖4 主成分分析因子載荷圖

表2 彈藥消耗影響因素KMO 值

表3 彈藥消耗影響因素主成分分析結(jié)果

通過對載荷矩陣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，得到主成分對應(yīng)的特征向量如表4 所示。

表4 第一、二主成分特征向量

則兩個主成分的表達(dá)式為：

以主成分Comp1、Comp2 為自變量，彈藥消耗y量為因變量，進(jìn)行多元線性回歸分析后結(jié)果如表5所示，表明解釋變量均顯著，可得線性回歸方程為：

表5 線性回歸結(jié)果

以主成分Comp1、Comp2 為自變量，彈藥消耗量y（表示彈藥消耗基數(shù)）為因變量，進(jìn)行多元非線性回歸分析后結(jié)果如表6 所示，z，z，z，z，z分別表示Comp1，Comp2，Comp1，Comp2，Comp1Comp2，可以看出解釋變量均顯著，可得非線性回歸方程為：

表6 非線性回歸結(jié)果

選取3 組數(shù)據(jù)檢驗(yàn)線性回歸和非線性回歸方程預(yù)測彈藥消耗量的效果，結(jié)果如下頁表7 所示。由表5～表7 可以看出，對彈藥消耗影響因素進(jìn)行主成分分析后，以得到的主成分作為自變量進(jìn)行回歸分析，其中非線性回歸方程的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差和誤差更低，可以用來預(yù)測彈藥消耗。

表7 回歸預(yù)測結(jié)果對比

4 結(jié)論

論文采用主成分分析方法分析彈藥消耗影響因素，以獲取的主成分作為自變量，分別用線性回歸模型和非線性回歸模型，預(yù)測了不同影響因素條件下的彈藥消耗量，結(jié)果表明非線性模型更適于彈藥消耗預(yù)測。戰(zhàn)場情況復(fù)雜多變，影響彈藥消耗的因素眾多，影響因素的選取和彈藥消耗數(shù)據(jù)的收集是下一步研究的難點(diǎn)。