互耦誤差下環(huán)形共形陣列多參數(shù)聯(lián)合估計(jì)*

胡 月，高 猛，侯文林，謝吉鵬

（空軍通信士官學(xué)校，遼寧 大連 116600）

0 引言

共形陣列天線是將天線陣元附著在共形載體表面，陣列形狀隨著載體表面的變化而變化的天線陣列，能夠充分利用載體表面，不影響飛行器動(dòng)力性能，相比常規(guī)天線具有無法比擬的優(yōu)勢(shì)。利用戰(zhàn)機(jī)上的共形陣列天線對(duì)信源來波方向的無源探測具有隱蔽性強(qiáng)的特點(diǎn)，可極大地提升戰(zhàn)機(jī)的生存能力，使用的算法主要為高分空間譜估計(jì)算法，這些算法實(shí)現(xiàn)的前提是陣列流型精確已知。但在實(shí)際應(yīng)用中，陣元接收信號(hào)的同時(shí)也在向外輻射干擾，這就是互耦效應(yīng)。受共形載體的散射效應(yīng)等因素的影響，共形陣列中的互耦效應(yīng)更為嚴(yán)重?；ヱ钚?yīng)導(dǎo)致陣列流型出現(xiàn)偏差，信源方位估計(jì)偏差增大、甚至失效。受共形載體曲率的影響，各陣元單元方向圖函數(shù)各不相同，進(jìn)行DOA 估計(jì)需要同時(shí)考慮信源方位、極化參數(shù)和互耦系數(shù)3 種參數(shù)，經(jīng)典陣列中的互耦誤差校正算法無法直接移植到共形陣列中。文獻(xiàn)［8］提出了共形陣列互耦誤差校正的輔助陣元法，只需3 個(gè)精確校正的輔助陣元，即可實(shí)現(xiàn)互耦、通道幅相等多種誤差的校正，且適用于多種共形載體，但要求輔助陣元精確已知。實(shí)際應(yīng)用中，精確校正的輔助陣元往往難以構(gòu)造。文獻(xiàn)［9］提出了圓臺(tái)共形陣列互耦誤差校正算法，但未涉及信源極化參數(shù)對(duì)校正算法的影響，未考慮共形陣列的遮蔽效應(yīng)，且在參數(shù)迭代求解中易得到局部最優(yōu)解，而不是全局最優(yōu)解。目前國內(nèi)在球面共形陣列誤差校正方面的研究還較少。故探討無需輔助陣元、多參數(shù)相互耦合情況下的球面共形陣列互耦誤差校正算法具有重要意義。

本文針對(duì)球面環(huán)形共形陣列互耦誤差校正問題展開，建立了球面環(huán)形共形陣列互耦誤差模型；利用天線單元方向圖正交分量的差異、互耦矩陣的特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了信源方位、極化和互耦系數(shù)的分離；在此基礎(chǔ)上利用“秩損理論”，通過二維參數(shù)搜索得到信源方位的估計(jì)值，進(jìn)而估計(jì)出信源極化參數(shù)和互耦系數(shù)，無需參數(shù)配對(duì)；最后分析討論了算法參數(shù)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)一致性與有效性，推導(dǎo)了參數(shù)估計(jì)的極限性能。

1 球面環(huán)形共形陣列天線互耦誤差模型

圖1 球面環(huán)形共形陣列天線

式中，為理想的導(dǎo)向矢量，其表達(dá)式為：

其中，j 為虛數(shù)單位；P為在全局坐標(biāo)系中第i 個(gè)陣元的位置矢量；u 為入射信號(hào)的方向矢量；r為單位強(qiáng)度入射信號(hào)在第i 個(gè)陣元上的響應(yīng)，可表示為：

圖2 陣元在全局坐標(biāo)系中對(duì)入射信號(hào)的響應(yīng)

各陣元單元方向圖函數(shù)g是由局部坐標(biāo)系中參數(shù)表示的，但在應(yīng)用中需要將局部坐標(biāo)系中的參數(shù)轉(zhuǎn)換為全局坐標(biāo)系中的參數(shù)，以便各方向圖函數(shù)統(tǒng)一計(jì)算，所以共形天線建模時(shí)必須完成參數(shù)從局部坐標(biāo)系到全局坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換。

假設(shè)空間有處有M 個(gè)同頻窄帶獨(dú)立信源，陣列接收快拍數(shù)據(jù)可表示為：

2 互耦誤差條件下的多參數(shù)聯(lián)合估計(jì)算法

其中，U為M 個(gè)大特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量構(gòu)成的矩陣，是信號(hào)子空間的基；U為（N-M）個(gè)小特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量構(gòu)成的矩陣，是噪聲子空間的基。由子空間原理有：

將式（10）、式（11）代入式（18）可得：

互耦矩陣C 為條帶對(duì)稱toeplitz 矩陣，故有：

或：

所以：

綜上所述，本文算法流程如下：

1）由式（14）和式（16）得到陣列接收的快拍數(shù)據(jù)X（t）的協(xié)方差矩陣R，對(duì)其特征分解得到噪聲子空間U；

3）對(duì)式（26）或式（27）進(jìn)行譜峰搜索，找出極大值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角度即為信源方位；

4）由式（28）～式（30）得到互耦系數(shù)和極化參數(shù)的估計(jì)值。

3 算法性能分析

3.1 參數(shù)估計(jì)統(tǒng)計(jì)一致性的證明

當(dāng)陣列快拍數(shù)

要證明互耦系數(shù)和信源極化參數(shù)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)一致性，只需證明：

式（41）與存在互耦誤差的陣列導(dǎo)向矢量滿足無秩M-1 模糊時(shí)相矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了互耦系數(shù)和信源極化參數(shù)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)一致性。

3.2 參數(shù)估計(jì)的CRB

參數(shù)估計(jì)的CRB（cramer-rao bound）給出了參數(shù)無偏估計(jì)方差的下界。下面將計(jì)算信源方位、極化和互耦系數(shù)聯(lián)合估計(jì)的CRB 表達(dá)式。

為了簡化推導(dǎo)過程，將噪聲方差歸一化為1，設(shè)信源的相關(guān)矩陣R已知。陣列接收快拍數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣R中包含4M+2p-2 個(gè)未知實(shí)參數(shù)，即2M 個(gè)信源方位參數(shù)、2M 個(gè)信源極化參數(shù)和2p-2 個(gè)互耦系數(shù)，可表示為：

信源方位、極化和互耦系數(shù)聯(lián)合估計(jì)的CRB 可表示為：

式中，trace（·）表示取矩陣（·）的跡；矩陣A 的表達(dá)式如式（15）所示。

本文算法需要進(jìn)行二維搜索，每一個(gè)搜索點(diǎn)需計(jì)算式（25），其計(jì)算量為2p（N-M）（N+p）次復(fù)乘法，還需計(jì)算式（26）的行列式，其計(jì)算量為p（p-1），故本文算法的計(jì)算量為n（2p（N-M）（N+p）+p（p-1）），n 為每一維搜索總點(diǎn)數(shù)。

4 仿真分析

以下對(duì)本文算法進(jìn)行MATLAB 仿真驗(yàn)證。若信源方位估計(jì)值與真實(shí)小于1°，則認(rèn)為仿真有效。成功概率的定義為：仿真有效次數(shù)與仿真總次數(shù)的比值。估計(jì)偏差定義為：有效仿真中，信源估計(jì)值與真值之差的絕對(duì)值。估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差定義為：有效仿真中，信源估計(jì)值與真值之差的均方值開方。

4.1 仿真條件

當(dāng)θ'>π/2 時(shí)：

圖3 俯仰角的估計(jì)效果曲線

圖4 方位角的估計(jì)效果曲線

由圖3 和圖4 可知，在低信噪比條件下，文中所提互耦誤差校正算法在信源方位估計(jì)方面性能略差于極化參數(shù)已知時(shí)的互耦校正算法；在高信噪比情況下，兩者對(duì)信源方位的估計(jì)成功概率均為100%。表1 中給出了極化參數(shù)和互耦系數(shù)的估計(jì)均值與方差，當(dāng)信噪比較低時(shí)，本文算法估計(jì)性能不如極化已知時(shí)的估計(jì)算法；當(dāng)信噪比增大時(shí)，本文算法估計(jì)性能變好，當(dāng)信噪比大于16 dB 時(shí)，估計(jì)性能與極化已知時(shí)的估計(jì)性能相差無幾，從而證明了本文算法能夠?qū)崿F(xiàn)信源方位、互耦系數(shù)和極化參數(shù)的聯(lián)合估計(jì)。

表1 互耦和極化參數(shù)的估計(jì)（真值為k1=7，δ1=30°，k2=2，δ2=20°，c11=0.749 2，c12=0.309 8）

5 結(jié)論

在球面環(huán)形共形陣列中，受載體曲率變化的影響，各陣元單元方向圖函數(shù)不同，致使信源方位、極化和互耦系數(shù)同時(shí)存在，無法分離，是實(shí)現(xiàn)互耦校正算法的難點(diǎn)。本文給出了一種自校正算法，可實(shí)現(xiàn)信源方位、極化和互耦系數(shù)的聯(lián)合估計(jì)。該算法可實(shí)現(xiàn)盲極化條件下的互耦誤差校正，且無需參數(shù)配對(duì)，本文詳細(xì)推導(dǎo)了算法的理論與一致性。最后MATLAB 仿真，證明本文算法可以很好解決球面環(huán)形共形陣列互耦誤差校正的難題。