考慮濾過作用及黏度時變性的盾構(gòu)壁后注漿擴(kuò)散模型研究

周中，胡江鋒，張俊杰，鄧卓湘

(中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075)

近年來，盾構(gòu)法施工由于具有一系列的優(yōu)點(diǎn)，在隧道的開挖中得以廣泛應(yīng)用。為方便盾構(gòu)隧道的施工，刀盤開挖半徑通常大于管片半徑，圍巖和襯砌之間會形成一定厚的盾尾間隙。同時，為確保工程質(zhì)量，需及時向此盾尾間隙填充漿液，以控制圍巖及地層土體變形。盾構(gòu)隧道壁后注漿的好壞極大地控制著盾構(gòu)施工的安全，因此研究盾構(gòu)隧道壁后注漿漿液的擴(kuò)散運(yùn)動對盾構(gòu)施工具有極大意義。目前，國內(nèi)外學(xué)者不僅在注漿研究方面取得了很大進(jìn)展，在盾構(gòu)隧道壁后注漿方面也收獲頗豐。SAADA 等[1-3]通過一維模型試驗探究漿液受土體濾過效應(yīng)的影響；MAGHOUS 等[4]將一維單向注漿濾過理論模型擴(kuò)展到柱形擴(kuò)散中；房凱等[5]基于線性濾過定律，建立了考慮濾過效應(yīng)的球形漿液擴(kuò)散模型；馮嘯等[6]建立水泥動界面理論模型，分析漿液界面運(yùn)移機(jī)制；葉飛等[7-10]引入等效孔隙率，分析漿液的擴(kuò)散模式及對管片的相互作用力，并在之后的研究中，考慮漿液黏度時變性及空間效應(yīng)，建立漿液運(yùn)動擴(kuò)散模型。毛家驊[11]引入有效擴(kuò)散半徑，建立了考慮濾過效應(yīng)的盾構(gòu)隧道壁后注漿滲透模型；阮文軍等[12-13]通過試驗證明了水泥基漿液存在黏度時變性，并基于此推導(dǎo)出考慮黏度時變性的巖體裂隙注漿擴(kuò)散運(yùn)動模型；梁禹等[14]結(jié)合注漿漿液具有黏度時變性的特點(diǎn)，推導(dǎo)出適用性更強(qiáng)的漿體固結(jié)變形方程；張連震等[15]基于賓漢姆流體，推導(dǎo)出考慮黏度時空變化的雙漿液擴(kuò)散模型；周佳媚等[16-17]以冪律流體為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出考慮漿液稠度時空變化的漿液滲透擴(kuò)散模型；WANG 等[18-19]基于柱面擴(kuò)散理論，推導(dǎo)考慮黏度時變性與否情況下壁后注漿擴(kuò)散半徑和注漿壓力公式，研究管片所受壓力隨注漿時間的變化規(guī)律。然而目前國內(nèi)外學(xué)者對于盾構(gòu)隧道壁后注漿漿液擴(kuò)散的研究大多僅考慮漿液黏度時變性的影響，對圍巖土體濾過作用的影響考慮的較少，尤其是在考慮漿液黏度時變性與土體濾過作用的相互影響方面研究不足。本文基于線性濾過定律，建立了恒定注漿速率下考慮濾過作用與漿液黏度時變性的盾構(gòu)壁后注漿柱形擴(kuò)散模型，推導(dǎo)了漿液黏度時空分布控制方程和漿液擴(kuò)散運(yùn)動方程。結(jié)合實(shí)例，分析相關(guān)注漿參數(shù)對壁后注漿漿液擴(kuò)散運(yùn)動的影響，并對比僅考慮漿液黏度時變性和僅考慮濾過作用時所得計算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)同時考慮濾過作用及黏度時變性的注漿擴(kuò)散模型具有一定研究價值。

1 壁后注漿擴(kuò)散理論模型

1.1 基本假設(shè)及使用范圍

為簡化計算，提出如下假設(shè)：

1) 注漿漿液為不可壓縮、均勻各向同性流體；

2) 注漿漿液在整個注漿影響厚度范圍內(nèi)等效為滲透擴(kuò)散；

3) 在注漿的過程中，注漿速率恒定，漿液為層流運(yùn)動；

4) 漿液的擴(kuò)散方式為柱形擴(kuò)散，且符合達(dá)西定律；

5) 注漿壓力、水壓力沿著隧道周圍均勻分布。

本文提出的考慮濾過作用及漿液黏度時變性的漿液擴(kuò)散運(yùn)動理論模型，適用于土體自穩(wěn)性較差、深埋盾構(gòu)隧道的單液管片注漿。

1.2 漿液在圍巖土體內(nèi)擴(kuò)散的濾過作用

假設(shè)壁后注漿漿液為均勻水泥漿，且漿液在土層中的滲透擴(kuò)散可看成漿液填充圍巖介質(zhì)孔隙的過程。以n表示壁后土體孔隙率，用ns，nc和nw分別表示單位體積內(nèi)土體顆粒、水泥顆粒和水的體積含量，則有：

水泥顆粒的分流量fc為：

而漿液中水的分流量fw為：

相關(guān)研究表明，可不考慮水動力彌散作用對于水泥顆粒濾過作用的影響[20]，水的質(zhì)量平衡方程可表示為：

式中：ρw為水的密度；vw表示水的流動速度。

考慮漿液濾過作用下水泥顆粒的濾出，水泥顆粒質(zhì)量平衡方程為：

式中：ρc為水泥顆粒的密度；vc表示水泥顆粒流動速度；η為質(zhì)量交換參數(shù)，表示單位體積漿液被濾出固體顆粒質(zhì)量。

同樣地，土體骨架的平衡方程為：

將式(1)代入式(6)，可得：

上式給出了土體孔隙率n與單位體積漿液被濾固體顆粒質(zhì)量η之間的關(guān)系。由于η受多種因素的影響，現(xiàn)采用線性濾過定律[20]：

式中：λ為濾過系數(shù)，δ為漿液濃度。

如圖1所示，以盾構(gòu)隧道壁后注漿中的管片注漿為例，漿液經(jīng)過管片上的注漿口注入，在盾尾間隙及圍巖內(nèi)擴(kuò)散。假定土體均勻，漿液為柱形擴(kuò)散，漿液滲透擴(kuò)散的徑向速度為v(r,t)。

記v0為漿液進(jìn)入滲透區(qū)前的徑向速度，根據(jù)流量守恒原理，滲透區(qū)邊緣處：

式中：n(r0,t)為滲透區(qū)邊緣處土體孔隙率；v(r0,t)為漿液進(jìn)入滲透區(qū)的速度。

整理式(9)可得：

假定注漿速率恒定，根據(jù)質(zhì)量守恒原理，滲透區(qū)內(nèi)部滿足：

整理上式：

由式(5)，式(7)和式(12)，可得：

結(jié)合漿液滲透擴(kuò)散的特點(diǎn)，邊界條件如下：

根據(jù)SAADA等[20]的研究成果，半徑為r處：

考慮圍巖土體濾過作用下，土體孔隙率n：

1.3 漿液黏度的時空分布

盾構(gòu)隧道壁后注漿漿液多為水泥基漿液，阮文軍等[12]通過大量實(shí)驗表明不同濃度的水泥基漿液在凝固前均存在黏度時變性，因此，可將漿液的黏度μg視為濃度δ與時間t的函數(shù)，即t時刻漿液黏度μg可表示為：

式中：μ0為與漿液濃度有關(guān)的初始黏度；α為與漿液、介質(zhì)孔隙率有關(guān)的漿液黏度時變系數(shù)。

根據(jù)質(zhì)量守恒原理，漿液的注入量與其在土體中的滲透擴(kuò)散量保持一致，注漿量可表示為：

式中：q為注漿速率，r1為t1時刻漿液擴(kuò)散半徑，注漿體高度l0=ψd，d為盾尾間隙厚度。

整理式(18)，相比于漿液擴(kuò)散半徑而言，注漿孔半徑r0很小，可忽略，得到漿液擴(kuò)散半徑r1為：

定義漿液擴(kuò)散時間t為漿液黏度增長時間，即，在漿液擴(kuò)散鋒面r1內(nèi)部的任意擴(kuò)散半徑為r時，對應(yīng)的漿液黏度增長時間t為：

此時，r應(yīng)滿足：

盾構(gòu)隧道壁后滲透注漿的過程中，現(xiàn)有學(xué)者[15,18]多假定漿液濃度不變，漿液黏度隨著擴(kuò)散時間的增加而發(fā)生增長。實(shí)際上，由于圍巖土體濾過作用的存在，漿液的濃度也會在擴(kuò)散的過程中發(fā)生改變，導(dǎo)致漿液黏度的變化變得更為復(fù)雜。

水泥漿液濃度δ與水灰比Rwc關(guān)系如下[11]：

式中：ρc為水泥顆粒密度；ρw為水的密度。

有關(guān)漿液黏度時變方程中參數(shù)μ0和α的取值，可以通過現(xiàn)場試驗獲得不同水灰比的漿液黏度時變性方程，再結(jié)合式(22)，分別得到漿液初始黏度μ0，黏度時變系數(shù)α與漿液濃度δ的關(guān)系式。

由式(20)可知，漿液濃度δ與漿液擴(kuò)散距離r相對應(yīng)，漿液黏度增長時間t也與漿液擴(kuò)散距離r相對應(yīng)，則注漿時間為t1時，擴(kuò)散半徑r處的μ0和α可分別表示為：

聯(lián)立式(17)，(20)，(23)和(24)構(gòu)成漿液滲透區(qū)黏度時空分布控制方程，式(21)為邊界條件。

1.4 考慮濾過作用及黏度時變性的漿液擴(kuò)散方程

設(shè)漿液擴(kuò)散區(qū)內(nèi)任意距注漿孔中心為r處，擴(kuò)散路徑為dr，存在水頭高度差為dh，根據(jù)達(dá)西定律有：式中：q為注漿速率；A為滲透擴(kuò)散斷面面積；Kg為注漿漿液在土層中的滲透系數(shù)，Kg=Kwβ，Kw為水在土層中的滲透系數(shù)；β為漿液黏度與水的黏度比。式中：μw為水的黏度。

將式(26)代入Kg=Kw/β中，可得：

受濾過作用的影響，隨著水泥漿液的持續(xù)擴(kuò)散，水泥顆粒在土體介質(zhì)孔隙內(nèi)逐漸堆積，土體的再滲透性降低，文獻(xiàn)[20]采用雙曲線模型，計算公式為：

式中：K0為土體初始滲透系數(shù)；ζ為反映土體滲透系數(shù)變化的參數(shù)。

將式(28)代入式(27)，結(jié)合式(16)，可得：

設(shè)t時刻漿液在擴(kuò)散半徑r與r+dr之間呈現(xiàn)穩(wěn)定柱形擴(kuò)散，即，滲透擴(kuò)散面積A=2πrl0；由于dh=dp/ρg，ρ為漿液的密度；將滲透擴(kuò)散面積A和水頭高度差dh代入式(25)可得：

漿液的密度ρ在濾過作用下不斷變化，與漿液濃度δ的關(guān)系可表示為：

由于注漿速率恒定，結(jié)合式(12)，根據(jù)流體力學(xué)原理，可得：

將式(29)，式(31)和式(32)代入式(30)，可得：

漿液擴(kuò)散邊界r1位置處，漿液壓力等于水壓力pr1=pw，結(jié)合此邊界條件對式(33)進(jìn)行積分，可得考慮漿液黏度時變性及濾過作用的漿液壓力時空分布方程：

令r=r0，將式(19)代入式(34)可得注漿壓力p0與注漿時間t的關(guān)系為：

將式(20)代入式(35)，注漿壓力p0與漿液擴(kuò)散半徑r1的關(guān)系為：

將式(33)在(r0,r)內(nèi)進(jìn)行積分，結(jié)合r=r0，p=p0的邊界條件，可得在某一注漿終壓時，距離注漿孔中心為r處的漿液壓力：

1.5 僅考慮濾過作用的漿液擴(kuò)散方程

同理，當(dāng)僅考慮漿液由于土層的濾過作用而導(dǎo)致的黏度空間分布不均勻，不考慮漿液的黏度時變性時，則無需考慮時間對漿液黏度的影響。

令黏度時變系數(shù)α=0，代入上述考慮漿液黏度時變性及濾過作用的時空變化方程中，即可得到僅考慮濾過作用的漿液擴(kuò)散方程。

1.6 僅考慮黏度時變性的漿液擴(kuò)散方程

同1.4 節(jié)推導(dǎo)過程，當(dāng)僅考慮漿液的黏度時變性而導(dǎo)致的黏度空間分布不均勻，不考慮漿液在土層中濾過作用時，則黏度時變參數(shù)μ0和α均為常數(shù)。

聯(lián)立式(27)，(30)和(32)，可得：

僅考慮漿液黏度時變性的漿液壓力時空分布方程：

注漿壓力p0與注漿時間t的關(guān)系為：

注漿壓力p0與漿液擴(kuò)散擴(kuò)散半徑r1的關(guān)系為：

在注漿壓力恒定，時間為t時，距離注漿孔中心為r處的漿液壓力：

2 算例分析

根據(jù)上述得到的漿液黏度時空分布控制方程和漿液擴(kuò)散運(yùn)動方程，設(shè)某盾構(gòu)隧道注漿孔r0=2.5 cm，土體初始孔隙率n0=0.22，初始滲透系數(shù)為0.000 5 cm/s，令泥漿水灰比Rwc=1.0，水泥顆粒密度ρc=3.0 g/cm3，盾構(gòu)壁后注漿速率q=25 L/min，地下水壓力Pw=0，漿液注入率ψ=1.5，盾尾間隙d=0.1 m，濾過系數(shù)λ和土體滲透系數(shù)變化參數(shù)ζ均需通過注漿試驗得到[5]，參考房凱等[5]通過計算分析得到的濾過參數(shù)，分別取λ=0.000 3 s-1，ζ為-34。代入相關(guān)計算參數(shù)，計算得l0=0.15 m，n′0=0.74。根據(jù)經(jīng)驗公式K′=Ke′2/e2，漿液擴(kuò)散范圍內(nèi)土體的等效初始滲透系數(shù)K0=0.05 cm/s。

本文漿液初始黏度采用朱光軒等[21]在大量試驗后對不同水灰比漿液黏度擬合的結(jié)果進(jìn)行計算，即，μ0(δ)=0.001+0.127 9δ-0.263 1δ2。滲 透 注 漿一般采用的漿液為水灰比大于1.0 的水泥漿[21]，且有關(guān)研究表明水灰比大于2.0 的漿液注漿效果無法保證，由文獻(xiàn)[12]的實(shí)驗結(jié)果可知，漿液黏度時變系數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的變化不大，暫取α=1/5 000 s-1。

2.1 注漿滲透擴(kuò)散區(qū)黏度時空分布

將q=25 L/min 代入式(32)，求得漿液的初始速率v0=1.768 cm/s，假設(shè)注漿時間t=30 min，由式(19)，漿液擴(kuò)散半徑r1=1.467 m，相關(guān)參數(shù)代入漿液滲透區(qū)黏度時空分布方程中，可得漿液在擴(kuò)散區(qū)(r∈[r0,r1])考慮濾過作用與時變性的黏度空間分布曲線。在上述計算的過程中，令初始黏度μ0(δ)=μ0(δ=0.25)，可得到僅考慮黏度時變性的漿液黏度空間不均勻分布曲線；令初始黏度時變系數(shù)α=0，可得僅考慮濾過作用的漿液黏度空間不均勻分布曲線，如圖2所示。

由圖2可知：

1) 僅考慮漿液黏度時變性時，漿液黏度空間分布曲線表現(xiàn)為緩慢上升，隨著漿液擴(kuò)散半徑的增加，漿液黏度增加的速率變快，空間分布曲線近似指數(shù)函數(shù)形式。

2) 僅考慮濾過作用時，漿液黏度在空間上的分布表現(xiàn)為隨擴(kuò)散半徑的增加而緩慢下降，其原因是土體濾過作用導(dǎo)致漿液濃度降低，從而使得漿液黏度減小。

3) 當(dāng)考慮濾過作用與黏度時變性時，漿液黏度在前期變化與僅考慮黏度時變性的黏度空間分布曲線相一致，在擴(kuò)散半徑大于0.6 m 時，隨擴(kuò)散半徑的增加，漿液黏度增長速率減小，擴(kuò)散半徑為1.4 m 處出現(xiàn)負(fù)增長，其原因是漿液在距注漿孔較近處受濾過作用較小，漿液黏度受時變性的影響較大，隨著擴(kuò)散半徑的增加，土體濾過作用逐漸增大，漿液黏度會受到濾過作用與時變性的雙重影響。

4) 漿液擴(kuò)散半徑在0～0.6 m 時，漿液黏度的空間分布僅需考慮黏度時變性，漿液擴(kuò)散半徑大于0.6 m 時，漿液黏度的空間分布需要考慮濾過作用與漿液黏度時變性的雙重影響。

2.2 注漿壓力與注漿時間的關(guān)系

代入相關(guān)計算參數(shù)于式(35)和式(40)，可得注漿壓力隨時間變化對比曲線，如圖3所示。

由圖3可知：

1) 隨注漿時間的增加，3 種情況下的注漿壓力均表現(xiàn)為：在前期急劇增大，在后期注漿壓力較大時，注漿壓力的增長變緩，近似線性增長。

2) 注漿時間超過3 min 時，3 種情況下的注漿壓力增長速度從大到小依次為：考慮濾過作用與黏度時變性、僅考慮濾過作用和僅考慮黏度時變性。隨著時間的增加，三者的差值越來越大，注漿時間40 min 時，考慮濾過作用與黏度時變性和僅考慮濾過作用相差0.058 MPa，僅考慮濾過作用和僅考慮黏度時變性的注漿壓力相差0.36 MPa。這表明盾構(gòu)隧道壁后注漿的過程中，充分考慮濾過作用與黏度時變性十分有必要。

2.3 注漿壓力對擴(kuò)散半徑的影響

將相關(guān)計算參數(shù)代入式(36)和式(41)，得到注漿壓力0.1 MPa～1.2 MPa 時，漿液的擴(kuò)散半徑如表1所示，并繪制漿液擴(kuò)散半徑與注漿壓力變化曲線如圖4所示。

表1 不同注漿壓力下漿液擴(kuò)散半徑Table 1 Slurry diffusion radius under different grouting pressures

由表1和圖4可知：

1) 注漿壓力較小時，3 種情況下的漿液擴(kuò)散半徑均隨注漿壓力的增大而緩慢增加；注漿壓力較大時(大于0.5 MPa)，漿液擴(kuò)散半徑迅速增加；注漿壓力進(jìn)一步增大時(大于1.0 MPa)，擴(kuò)散半徑的增長速率變慢，注漿壓力的影響逐步減弱。

2) 注漿壓力較大時(大于0.5 MPa)，漿液擴(kuò)散半徑的增長速度為：僅考慮漿液黏度時變性>僅考慮濾過作用>考慮濾過作用與黏度時變性，注漿壓力1.2 MPa 時，僅考慮黏度時變性的擴(kuò)散半徑是僅考慮濾過作用的情況的1.92 倍，僅考慮濾過作用和考慮濾過作用與黏度時變性的漿液擴(kuò)散半徑相差4.8%。其原因在于，考慮土體濾過作用與黏度時變性均會減小土體滲透系數(shù)，從而影響漿液的擴(kuò)散半徑，但土體的濾過作用相比于漿液的黏度時變性對漿液的擴(kuò)散半徑的影響更大，考慮2種效應(yīng)的疊加時，漿液黏度時變性的影響被顯著減弱。

2.4 漿液壓強(qiáng)分布

以注漿壓力1.0 MPa 為注漿終壓，將表1 中的擴(kuò)散半徑與其他相關(guān)計算參數(shù)代入式(37)和式(42)，可得漿液各質(zhì)點(diǎn)壓強(qiáng)的時空分布對比曲線，如圖5所示。以注漿時間為10～50 min，代入相關(guān)參數(shù)于式(34)，可得考慮濾過作用與黏度時變性時，不同注漿時間下漿液壓強(qiáng)時空分布曲線，如圖6所示。

由圖5和圖6可知：

1) 在注漿壓力相同的情況下，漿液質(zhì)點(diǎn)壓強(qiáng)均隨著距注漿孔中心距離的增大而減小，但表現(xiàn)出的衰減幅度并不一致，從大到小依次為：考慮濾過作用與漿液黏度時變性、僅考慮濾過作用、僅考慮漿液黏度時變性。

2) 相較于僅考慮黏度時變性的情況而言，考慮濾過作用下的漿液滲透阻力更大，因此漿液壓力的衰減更為明顯；而考慮濾過作用與黏度時變性和僅考慮濾過作用2種情況下的漿液壓強(qiáng)分布曲線幾乎重合，其原因可能在于土體濾過作用對漿液的稀釋作用導(dǎo)致漿液黏度時變性的影響大幅度減小。

3) 隨著注漿時間的增加，考慮濾過作用與黏度時變性時，同一位置處的漿液壓力逐漸增大；不同注漿時間下的漿液壓力隨距離的衰減呈現(xiàn)相似性。

3 結(jié)論

1) 基于線性濾過定律，建立了恒定注漿速率下考慮濾過作用與漿液黏度時變性的盾構(gòu)壁后注漿柱形擴(kuò)散模型，推導(dǎo)了漿液黏度時空分布控制方程和漿液擴(kuò)散運(yùn)動方程。

2) 當(dāng)同時考慮濾過作用與黏度時變性時，漿液黏度在前期變化和僅考慮黏度時變性的黏度空間分布曲線相一致，在擴(kuò)散半徑大于0.6 m 時，隨擴(kuò)散半徑的增加，漿液黏度會受到濾過作用與時變性的雙重影響，漿液黏度增長速率變慢，擴(kuò)散半徑到1.4 m處開始出現(xiàn)負(fù)增長。

3) 注漿壓力較小時，漿液擴(kuò)散半徑均隨著注漿壓力的增大而緩慢增加；注漿壓力較大時，漿液擴(kuò)散半徑的增長速度為：僅考慮漿液黏度時變性>僅考慮濾過作用>考慮濾過作用與黏度時變性，注漿壓力1.2 MPa 時，僅考慮黏度時變性的擴(kuò)散半徑是僅考慮濾過作用的情況的1.92 倍，僅考慮濾過作用和考慮濾過作用與黏度時變性的漿液擴(kuò)散半徑相差4.8%。

4) 注漿壓力相同時，漿液壓力均表現(xiàn)為隨距注漿孔中心距離的增大而衰減，相較于僅考慮黏度時變性的情況而言，考慮濾過作用下的漿液滲透阻力更大，漿液壓力的分布曲線衰減更為明顯。