軌道車輛零碳感知壓電俘能工程建模及分析

丁亞琦，彭樂樂，李曉靖，周炯，鄭樹彬，張園

(1. 上海地鐵維護(hù)保障有限公司 車輛分公司，上海 200031；2. 上海工程技術(shù)大學(xué) 城市軌道交通學(xué)院，上海 201620)

軌道車輛零碳感知兼顧綠色環(huán)保及軌道車輛狀態(tài)數(shù)據(jù)感知互聯(lián)，其技術(shù)的發(fā)展有助于碳達(dá)峰及碳中和目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，推進(jìn)交通強(qiáng)國(guó)戰(zhàn)略中數(shù)據(jù)資源賦能交通的發(fā)展。利用壓電發(fā)電實(shí)現(xiàn)軌道車輛狀態(tài)感知傳感器自驅(qū)化是軌道車輛零碳感知的核心技術(shù)[1-3]。壓電俘能結(jié)構(gòu)建模及發(fā)電特性分析[4]是實(shí)現(xiàn)軌道車輛傳感設(shè)備能源自供給的理論基礎(chǔ)。壓電俘能器通常采用壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)[5-7]，該結(jié)構(gòu)一端固定，一端自由運(yùn)動(dòng)[8-9]，一般主要是由壓電陶瓷、金屬基底和質(zhì)量塊組成[10-11]，壓電陶瓷受外界作用力下發(fā)生形變，從而引起正壓電效應(yīng)產(chǎn)生電荷。然而，受輪軌作用力及線路不平順的影響，軌道車輛走行部處的瞬間沖擊高達(dá)100 g 以上[12]，常規(guī)懸臂梁式壓電俘能結(jié)構(gòu)通常應(yīng)用在1 g 以下[3]，造成壓電陶瓷碎裂而較難滿足軌道車輛走行部處微傳感器供電需求。針對(duì)壓電懸臂梁建模及發(fā)電特性分析上，以往的建模方法通常是基于壓電梁結(jié)構(gòu)及力學(xué)特征，建立其分布參數(shù)機(jī)電耦合模型[13-17]，這會(huì)導(dǎo)致模型公式復(fù)雜、參數(shù)繁多，不利于模型求解和工程化應(yīng)用。思建行等[13]通過分析壓電梁機(jī)電耦合特性并利用模態(tài)分析法構(gòu)建了雙晶片壓電懸臂梁雙向耦合分布參數(shù)模型。郭抗抗等[14]在考慮壓電材料非線性特性基礎(chǔ)上，建立了單晶壓電懸臂梁機(jī)電耦合模型，獲得了壓電材料非線性、外激勵(lì)參數(shù)及負(fù)載電阻對(duì)發(fā)電功率的影響規(guī)律。孫舒等[17]針對(duì)雙穩(wěn)態(tài)壓電懸臂梁發(fā)電系統(tǒng)，建立了集中參數(shù)模型并得到了其懸臂梁發(fā)電系統(tǒng)的特性。因此，目前軌道車輛零碳技術(shù)中，壓電俘能發(fā)電難點(diǎn)在于缺少適應(yīng)軌道車輛振動(dòng)強(qiáng)烈且瞬間沖擊大的俘能結(jié)構(gòu)和統(tǒng)一的工程化建模方法，難以達(dá)到與車輛振動(dòng)頻率適配及功率最大化發(fā)電的目的。針對(duì)該問題，本文采用一種新型壓電俘能結(jié)構(gòu)，并針對(duì)該結(jié)構(gòu)提出一種統(tǒng)一的工程化建模方法，實(shí)現(xiàn)了發(fā)電特性工程化分析，可為軌道車輛零碳感知技術(shù)推廣與應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)。

1 軌道車輛零碳感知壓電俘能工程建模

軌道車輛零碳感知壓電俘能結(jié)構(gòu)工程建模是實(shí)現(xiàn)軌道車輛走行部件健康狀態(tài)零碳排放感知及數(shù)據(jù)互聯(lián)互通的傳感設(shè)備能源自供給的理論基礎(chǔ)。圖1給出了軌道車輛零碳感知壓電俘能工程建模方案。首先，基于歐拉-伯努利梁理論建立雙端固支式壓電懸臂梁本構(gòu)模型，推導(dǎo)出壓電俘能結(jié)構(gòu)諧振頻率與結(jié)構(gòu)參數(shù)關(guān)系，可為頻率適配提供理論基礎(chǔ)。其次，對(duì)非線性車輛振動(dòng)狀態(tài)下壓電俘能結(jié)構(gòu)進(jìn)行受力分析，獲取壓電結(jié)構(gòu)機(jī)電耦合等效模型，得到輸出功率與加速度及結(jié)構(gòu)參數(shù)方程，并通過構(gòu)建無量綱工程化模型簡(jiǎn)化方程的復(fù)雜程度，可實(shí)現(xiàn)發(fā)電特性工程化分析及應(yīng)用。

1.1 壓電俘能結(jié)構(gòu)及本構(gòu)模型

為了適應(yīng)軌道車輛振動(dòng)強(qiáng)烈且瞬間沖擊較大的實(shí)際應(yīng)用環(huán)境[18-20]，采用新型雙端固支式壓電梁結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)由金屬基底、壓電陶瓷及質(zhì)量塊組成，如圖2所示。壓電陶瓷粘貼于金屬基底的上下表面組成壓電雙晶片，質(zhì)量塊通過螺栓固定于雙晶片上下壓電陶瓷表面中央處，雙晶片兩端固定。當(dāng)壓電梁受到外界振動(dòng)時(shí)，質(zhì)量塊由于慣性作用使雙晶片發(fā)生機(jī)械形變，從而將機(jī)械能轉(zhuǎn)換為電能。

以壓電雙晶片幾何重心作為原點(diǎn)，建立XYZ坐標(biāo)系，如圖3 所示。設(shè)壓電雙晶片長(zhǎng)度為L(zhǎng)pcb，寬度為Wpcb，壓電陶瓷厚度為tpm，金屬基底厚度為tssm，質(zhì)量塊長(zhǎng)度為L(zhǎng)m，高度為tm，質(zhì)量塊與壓電陶瓷等寬。

基于歐拉-伯努利梁理論可得到壓電雙晶片的單位寬度撓曲模量Dp為：

式中：Essm為金屬基底楊氏模量；Epm為壓電陶瓷楊氏模量。設(shè)壓電陶瓷密度為ρpm，金屬基底密度為ρssm，單位長(zhǎng)度的壓電梁的質(zhì)量m為：

雙端固支式壓電梁質(zhì)量ms為質(zhì)量塊質(zhì)量Δm與壓電雙晶片質(zhì)量me之和，其表達(dá)式為：

式中：a(x)為壓電雙晶片上某一點(diǎn)沿Z軸的軸向加速度；a(Lpcb)為壓電雙晶片中點(diǎn)沿Z軸的軸向加速度。利用歐拉-伯努利梁理論可得雙端固支式壓電梁結(jié)構(gòu)的諧振頻率fr為：

式中：ks=3DpWpcb/為壓電雙晶片等效彈性模量；為n階模態(tài)特征值。由式(3)和式(4)可得到壓電梁諧振頻率fr與結(jié)構(gòu)參數(shù)關(guān)系為：

1.2 無量綱工程化建模

在軌道車輛運(yùn)行過程中，壓電梁主要受到輪軌垂向加速度及沖擊作用下質(zhì)量塊慣性力和因壓電梁響應(yīng)加速度與固定支點(diǎn)激勵(lì)加速度不同而產(chǎn)生的相對(duì)作用力。將質(zhì)量塊慣性力等效為F(t)，支點(diǎn)相對(duì)作用力產(chǎn)生的位移為y(t)，壓電梁等效為剛度為ks，阻尼系數(shù)為bt的彈簧阻尼系統(tǒng)的等效機(jī)械模型和電流源與壓電等效夾持電容Cp并聯(lián)的等效電路模型，則壓電結(jié)構(gòu)機(jī)電耦合等效模型如圖4所示。

由材料力學(xué)可知，壓電陶瓷相對(duì)平衡位置的位移z(t)為：

當(dāng)軌道車輛振動(dòng)時(shí)，設(shè)固定支點(diǎn)的激勵(lì)加速度為y?(t)，則壓電陶瓷動(dòng)力學(xué)方程可以表達(dá)為：

式中：α為壓電等效力壓轉(zhuǎn)換因子；Vp為壓電輸出電壓。由基爾霍夫定律可列出壓電梁KCL方程：

式中：Rp為純電阻負(fù)載。對(duì)式(8)進(jìn)行拉普拉斯變換可以得到Vp為：

對(duì)式(7)和式(8)進(jìn)行零初始條件下的拉普拉斯變換并化簡(jiǎn)，得到壓電梁相對(duì)運(yùn)動(dòng)位移z(t)與固定支點(diǎn)激勵(lì)加速度y?之間的傳遞函數(shù)關(guān)系：

由圖4中壓電結(jié)構(gòu)等效電路可知，輸出功率等于消耗在負(fù)載Rp上的電功率，壓電結(jié)構(gòu)輸出功率PH可表達(dá)為：

將式(9)代入式(11)可得：

將式(10)代入式(12)，可得輸出功率與激勵(lì)加速度及結(jié)構(gòu)參數(shù)方程：

由式(13)可以得出，軌道車輛零碳感知雙端固支式壓電梁輸出功率受等效質(zhì)量ms，激勵(lì)加速度yM，壓電等效力壓轉(zhuǎn)換因子α，系統(tǒng)等效阻尼系數(shù)bt，系統(tǒng)等效剛度ks，負(fù)載Rp和壓電等效夾持電容Cp7個(gè)物理量的影響，且參數(shù)間相互耦合。軌道車輛在運(yùn)行的過程中，壓電梁受到復(fù)雜的外界非線性振動(dòng)激勵(lì)，使得難以分析壓電結(jié)構(gòu)發(fā)電特性，不利于結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)與工程化應(yīng)用。為了工程化模型，將式(13)中參數(shù)進(jìn)行無量綱化。

基于“物理相似”、“運(yùn)動(dòng)相似”和“動(dòng)力相似”的數(shù)據(jù)無量綱化準(zhǔn)則[21]，利用比值法和曲線形標(biāo)準(zhǔn)化函數(shù)法，將式(13)中的7 個(gè)參量映射為4 個(gè)無量綱參量，如表1所示。

表1 模型無量化參數(shù)映射表Table 1 Parameters mapping table of the dimensionless model

利用表1 中的無量綱參數(shù)對(duì)式(13)進(jìn)行無量綱化，再對(duì)輸出功率PH進(jìn)行歸一化處理，以獲取無量綱統(tǒng)一模型，設(shè)參考輸出功率為：

則歸一化輸出功率PˉH表達(dá)式為：

將表1 中無量綱參數(shù)代入式(15)得到無量綱壓電俘能工程化模型：

將式(16)與式(13)相比，模型由7 個(gè)參量降至4個(gè)無量綱參量，簡(jiǎn)化了模型計(jì)算復(fù)雜程度，有利于發(fā)電特性工程化分析。

2 模型驗(yàn)證及發(fā)電特性分析

為了驗(yàn)證軌道車輛零碳感知壓電俘能無量綱工程化建模方法的正確性，利用COMSOL 有限元軟件構(gòu)建了雙端固支式壓電梁仿真模型，如圖5所示。模型主要由金屬基底、上下壓電陶瓷片及質(zhì)量塊組成，其關(guān)鍵參數(shù)如表2所示，仿真模型采用自由四面體網(wǎng)格劃分方式。對(duì)上海地鐵5號(hào)線阿爾斯通車輛的軸箱處振動(dòng)加速度進(jìn)行采集，采樣頻率為5 kHz，測(cè)試區(qū)間為劍川路測(cè)試線，通過傅里葉變換分析獲取軌道車輛振動(dòng)加速度一階主頻率為83 Hz。因此，仿真設(shè)定激勵(lì)加速度頻率范圍為82～84 Hz 之間的正弦信號(hào)，以步長(zhǎng)為0.2 Hz 進(jìn)行掃頻。

圖6為搭建的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，主要由主機(jī)、信號(hào)發(fā)生器、功率放大器、激振器、壓電陶瓷、轉(zhuǎn)換電路、控制軟件和示波器組成，采用與仿真模型相同的參數(shù)及激勵(lì)大小。利用絕對(duì)偏差A(yù)E、最大絕對(duì)偏差MAE和相對(duì)偏差百分比E來評(píng)價(jià)模型的精度：

式中：i表示第i個(gè)點(diǎn)數(shù)；Vri為給定值；Vci為計(jì)算值。

將表2 中的參數(shù)代入式(5)和式(16)可以獲得壓電俘能結(jié)構(gòu)的理論諧振頻率及輸出功率，利用輸出功率P與輸出峰值電壓Vp的關(guān)系，如式(19)，可以由實(shí)測(cè)輸出峰值電壓計(jì)算出實(shí)驗(yàn)輸出功率。

表2 仿真及工程模型關(guān)鍵參數(shù)Table 2 Key parameters setting of simulation and engineering models

圖7 和圖8 分別為雙端固支式壓電梁在激勵(lì)頻率從82 Hz 到84 Hz 時(shí)的輸出功率對(duì)比圖和輸出峰值電壓對(duì)比圖。從圖7 和圖8 可以看出，理論值與仿真值以及實(shí)測(cè)值，無論是在輸出功率方面還是在輸出峰值電壓方面，變化趨勢(shì)基本一致且數(shù)值非常相近，同時(shí)均呈現(xiàn)出在一階諧振頻率83 Hz時(shí)，輸出功率和峰值電壓達(dá)到最大值，驗(yàn)證了本構(gòu)模型與無量綱工程化建模的正確性。

圖9和圖10分別對(duì)應(yīng)頻率從82 Hz到84 Hz時(shí)，輸出功率絕對(duì)偏差和峰值電壓絕對(duì)偏差對(duì)比曲線。表3 為頻率從82 Hz 到84 Hz 之間的輸出功率及峰值電壓統(tǒng)計(jì)結(jié)果。從圖9、圖10 和表3 中可以看出，理論值與仿真值之間的輸出功率絕對(duì)偏差和絕對(duì)峰值電壓偏差均較小，最大偏差為82.8 Hz時(shí)，其對(duì)應(yīng)的理論輸出功率P為1.446 mW，理論峰值電壓Vp為5.378 V；仿真輸出功率P為1.482 mW，仿真峰值電壓Vp為5.445 V。對(duì)應(yīng)的最大絕對(duì)功率偏差MAEP為0.036 mW，功率相對(duì)偏差百分比EP為2.501%；最大絕對(duì)峰值電壓偏差MAEVP為0.067 V，峰值電壓相對(duì)偏差百分比EVP為1.243%。同理，從圖9～圖10 和表3 中還可以看出，理論值與實(shí)測(cè)值之間的輸出功率絕對(duì)偏差和絕對(duì)峰值電壓偏差均較小，最大偏差為82.4 Hz 加速度時(shí)，其對(duì)應(yīng)的理論輸出功率P為1.383 mW，理論峰值電壓Vp為5.259 V；實(shí)測(cè)輸出功率P為1.412 mW，仿真峰值電壓Vp為5.197 V。對(duì)應(yīng)的最大絕對(duì)功率偏差MAEP為0.029 mW，功率相對(duì)偏差百分比EP為2.154%；最大絕對(duì)峰值電壓偏差MAEVP為0.055 V，峰值電壓相對(duì)偏差百分比EVP為1.035%。

表3 82～84 Hz下輸出功率及峰值電壓結(jié)果統(tǒng)計(jì)Table 3 Statistical results of output power and peak voltage from 82 to 84 Hz

為了進(jìn)一步分析壓電俘能結(jié)構(gòu)在一階諧振頻率下模型精度，表4 給出了在83 Hz 下理論值、仿真值與實(shí)測(cè)值所對(duì)應(yīng)的輸出功率及峰值電壓的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。從表4 可以看出，在1 階諧振頻率下理論輸出功率P為1.465 mW，理論峰值電壓Vp為5.412 V；仿真輸出功率P為1.500 mW，仿真峰值電壓Vp為5.477 V；實(shí)測(cè)輸出功率P為1.484 mW，實(shí)測(cè)峰值電壓Vp為5.447 V。對(duì)應(yīng)的仿真最大絕對(duì)功率偏差MAEP為0.035 mW，功率相對(duì)偏差百分比EP為2.390%；仿真最大絕對(duì)峰值電壓偏差MAEVP為0.065 V，峰值電壓相對(duì)偏差百分比EVP為1.201%。同理，對(duì)應(yīng)的實(shí)測(cè)最大絕對(duì)功率偏差MAEP為0.019 mW，功率相對(duì)偏差百分比EP為1.297%；仿真最大絕對(duì)峰值電壓偏差MAEVP為0.035 V，峰值電壓相對(duì)偏差百分比EVP為0.647%。對(duì)比仿真數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)可以得出，理論值在1階諧振頻率下，建立的無量綱工程化模型的計(jì)算值更加靠近實(shí)測(cè)值。

表4 1階諧振頻率83 Hz時(shí)輸出功率及峰值電壓結(jié)果統(tǒng)計(jì)Table 4 Statistical results of output power and peak voltage for resonance frequency 83 Hz

綜上所述，無量綱工程模型無論是在1階諧振頻率附近還是1 階諧振頻率點(diǎn)處，其精度均在3%以內(nèi)，且理論計(jì)算值均比仿真值更加接近實(shí)測(cè)數(shù)值，這說明本文所建立的模型不僅在保障精度的前提下實(shí)現(xiàn)了模型簡(jiǎn)化，而且更能反映壓電懸臂梁實(shí)際輸出特性。

為了分析軌道車輛零碳感知用壓電俘能結(jié)構(gòu)發(fā)電特性，利用無量綱工程模型分別研究了不同無量綱平方壓電力壓轉(zhuǎn)換因子下，無量綱壓電負(fù)載與最大歸一化輸出功率關(guān)系；不同機(jī)械品質(zhì)因子下，頻率比與最大歸一化輸出功率關(guān)系、最大歸一化輸出功率隨頻率比和無量綱壓電負(fù)載變化關(guān)系。

圖11 為不同無量綱平方壓電力壓轉(zhuǎn)換因子下，無量綱壓電負(fù)載與最大歸一化輸出功率關(guān)系曲線。圖11 表明無量綱平方壓電力壓轉(zhuǎn)換因子的增大對(duì)壓電梁的最大歸一化輸出功率產(chǎn)生較大影響，且無量綱平方壓電力壓轉(zhuǎn)換因子值越大，歸一化輸出功率也越大。歸一化輸出功率隨著無量綱壓電負(fù)載的增大至最大值，隨后逐步減小，存在最優(yōu)無量綱壓電負(fù)載使得軌道車輛零碳感知壓電俘能輸出功率最大。

圖12 為不同機(jī)械品質(zhì)因子下，頻率比與最大歸一化輸出功率關(guān)系曲線。從圖12 可以看出，機(jī)械品質(zhì)因子值的增加對(duì)壓電梁的最大歸一化輸出功率并無影響，而對(duì)頻率比帶寬有明顯的影響。機(jī)械品質(zhì)因子值大小代表著壓電梁對(duì)激勵(lì)頻率選擇性的強(qiáng)弱，隨著機(jī)械品質(zhì)因子值的增大，頻率選擇性越強(qiáng)。

圖13 為最大歸一化輸出功率隨頻率比和無量綱壓電負(fù)載變化關(guān)系曲線。從圖13 可以得出，當(dāng)頻率比值固定時(shí)，最大歸一化輸出功率隨無量綱壓電負(fù)載值的增大呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢(shì)，當(dāng)達(dá)到0.8 附近時(shí)，趨近于極限值1，輸出功率最大。同樣，當(dāng)無量綱壓電負(fù)載值固定時(shí)，最大歸一化輸出功率隨頻率比值的增大呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢(shì)，當(dāng)頻率比達(dá)到1附近時(shí)，輸出功率趨近于極限值1。因此，當(dāng)無量綱平方壓電力壓轉(zhuǎn)換因子與機(jī)械品質(zhì)因子一定的情況下，頻率比值為1與無量綱壓電負(fù)載為0.8 時(shí)，軌道車輛零碳感知壓電俘能輸出性能達(dá)到最佳。

3 結(jié)論

1) 無量綱平方壓電力壓轉(zhuǎn)換因子值越大，歸一化輸出功率也越大。歸一化輸出功率隨著無量綱壓電負(fù)載的增加呈現(xiàn)先增加后減小的趨勢(shì)，且存在最優(yōu)無量綱壓電負(fù)載使得輸出功率最大。

2) 對(duì)于雙端固支式壓電梁結(jié)構(gòu)，增大壓電懸臂梁的機(jī)械品質(zhì)因子值，不會(huì)影響最大歸一化輸出功率，但會(huì)減小其頻率比帶寬，即提高壓電梁的頻率選擇能力。

3) 當(dāng)壓電梁的機(jī)械品質(zhì)因子值和無量綱平方壓電力壓轉(zhuǎn)換因子值固定時(shí)，最大歸一化輸出功率受到頻率比值和無量綱壓電負(fù)載共同作用影響，且在頻率比值為1 與無量綱壓電負(fù)載為0.8 時(shí)，壓電懸臂梁輸出性能達(dá)到最佳。

4) 在諧振頻率處，理論計(jì)算值與仿真值及實(shí)測(cè)值之間的最大絕對(duì)功率偏差分別為0.035 mW 和0.019 mW，對(duì)應(yīng)的相對(duì)偏差百分比為2.390%和1.297%；最大絕對(duì)峰值電壓偏差為0.065 V 和0.035 V，對(duì)應(yīng)的相對(duì)偏差百分比為1.201% 和0.647%。基于無量綱模型構(gòu)建的壓電懸臂梁模型不僅在保障模型精度的前提下實(shí)現(xiàn)了模型簡(jiǎn)化，而且更能反映壓電懸臂梁實(shí)際輸出特性。