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    強(qiáng)GFP-內(nèi)射模的刻畫

    2022-07-19 02:34:30吳雅麗
    關(guān)鍵詞:內(nèi)射模投射模子模

    ◎吳雅麗

    (廣東交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院,廣東 廣州 510650)

    文中的環(huán)都為結(jié)合環(huán)、且有單位元,所有的模都特指左模

    內(nèi)射模是模與環(huán)范疇與同調(diào)代數(shù)理論的一種重要概念,它的研究方法與理論影響涉及代數(shù)和其他數(shù)學(xué)學(xué)科但是人們也看到了內(nèi)射模作為研究工具的局限性,因此產(chǎn)生很多關(guān)于內(nèi)射模概念的推廣2009年張力宏和劉巖運(yùn)用已知的-內(nèi)射模概念做出-內(nèi)射模的等價(jià)刻畫2013年,徐龍玉等人給出-投射模和-投射模是等價(jià)的與此同時(shí),他們給出了-投射模對(duì)半單環(huán)的新刻畫

    1 強(qiáng)GFP-內(nèi)射模

    11若E為R-模給任意下圖模與同態(tài)的圖形:

    圖1

    其中底行是正合的,模A是模B的任意有限表現(xiàn)子模,恒能完備為一個(gè)交換圖,即存在一個(gè)模同態(tài):→,使得=|,則稱模E是強(qiáng)GFP-內(nèi)射模

    所以,內(nèi)射模也就是強(qiáng)GFP-內(nèi)射模在本文參考文獻(xiàn)已經(jīng)給了GFP-內(nèi)射模的等價(jià)刻畫,如果A為GFP-內(nèi)射模,當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意自由模F的任何有限表現(xiàn)子模K,有限表現(xiàn)子模K到模A的同態(tài)均可以擴(kuò)張到自由模F到模A的同態(tài)由這個(gè)等價(jià)刻畫,可以得出結(jié)論:強(qiáng)GFP-內(nèi)射模為GFP-內(nèi)射模的一種

    13若E為R-模,下列條件均為等價(jià):

    (1)E是強(qiáng)GFP-內(nèi)射模;

    對(duì)任意的(,),因?yàn)镋是強(qiáng)GFP-內(nèi)射模,所以存在′∈(,),使得′=,即下圖可進(jìn)行交換:

    圖2

    故(′)=′=從而是滿同態(tài),所以0→(,)→(,)→(,)→0是正合列

    14如果模E是一個(gè)有限表現(xiàn)R-模,那么模E是強(qiáng)GFP-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)任何形如0→→→→0分裂的

    其次證明充分性對(duì)于正合列0→→及∈(,),A為有限表現(xiàn)R-模通過本文參考文獻(xiàn)[2] 253中定理可以得到充分性結(jié)論,下面兩行是正合列的交換圖:

    圖3

    通過證明,得出正合列0→→→∕→0是分裂的,即存在∈(,),使得=1令=,而===1=因此是強(qiáng)GFP-內(nèi)射模

    結(jié)合本文參考文獻(xiàn)[2]中介紹的可除模定義,當(dāng)已知內(nèi)射模是可除模的一種時(shí)可通過證明得出結(jié)論:位于交換環(huán)上的任意強(qiáng)GFP-內(nèi)射模,都為可除模

    15若R為交換環(huán),強(qiáng)GFP-內(nèi)射模都為可除模

    當(dāng)模E為強(qiáng)GFP-內(nèi)射模,且S是R所有非零因子的乘法集時(shí)令∈,∈記=(),同時(shí)令()=則是一個(gè)同態(tài)因?yàn)槭且粋€(gè)非零因子,所以=()是一個(gè)自由主理想,從而是有限表現(xiàn)R-模因?yàn)槟是一個(gè)強(qiáng)GFP-內(nèi)射模,可推導(dǎo)出可擴(kuò)張為R到E的同態(tài)記作=(1),我們有=()=()=(1)=綜上所述模為可除模

    與FP-投射模的情形類似,對(duì)于強(qiáng)GFP-內(nèi)射模方面也有下面對(duì)應(yīng)的定理

    16([2]定理247)設(shè)下圖中行是正合列,圖中左邊的方圖可以進(jìn)行交換:

    圖4

    則存在:→′,使得右邊方圖成為交換圖

    因?yàn)槟是一個(gè)有限表現(xiàn)R-模,模E是一個(gè)強(qiáng)GFP-內(nèi)射模,因此存在∈(′,),使得=通過引理16得到結(jié)論,存在∈(,),使得下圖可進(jìn)行交換:

    圖5

    2 強(qiáng)GFP-內(nèi)射模對(duì)環(huán)的刻畫

    下面來看一下強(qiáng)GFP-內(nèi)射模的等價(jià)刻畫

    21若R為環(huán),下列條件都為等價(jià):

    (1)R是一個(gè)左G-半單環(huán);

    (2)任意R-模都是一個(gè)強(qiáng)GFP-內(nèi)射模;

    (3)強(qiáng)GFP-內(nèi)射模的子模就是強(qiáng)GFP-內(nèi)射模;

    (4)任意一個(gè)有限表現(xiàn)R-模,其是內(nèi)射模

    證明(2)?(3)任意強(qiáng)GFP-內(nèi)射模的子模是R-模,從(2)可知,任意強(qiáng)GFP-內(nèi)射模的子模,均為強(qiáng)GFP-內(nèi)射模

    (3)?(2)對(duì)任意R-模C,C是其內(nèi)射包E(C)的子模,故C是強(qiáng)GFP-內(nèi)射模

    (2)?(1)對(duì)任意R-模C,B是C的有限表現(xiàn)子模.由(2)知B是強(qiáng)GFP-內(nèi)射模,故對(duì)恒等映射1(,),存在∈(,),得出=1,其中:→是一個(gè)包含映射所以正合列0→→→→0是分裂的因此B是C的直和加項(xiàng)

    圖6

    (1)?(4)設(shè)B為有限表現(xiàn)R-模,由于條件B是其內(nèi)射包E(B)的直和加項(xiàng),因此B是內(nèi)射模

    (4)?(1)對(duì)任意R-模C以及其有限表現(xiàn)子模B,存在正合列0→→→∕→0,因?yàn)闂l件B是內(nèi)射模,所以該正合列分裂得到結(jié)論B是C的直和加項(xiàng)

    當(dāng)R是一個(gè)左Noether環(huán)時(shí),R是一個(gè)左G-半單環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是一個(gè)半單環(huán)如果一個(gè)R-模M的任意子模都是它的直和加項(xiàng),可推導(dǎo)出M為半單模如果R自身的模為半單模,繼而R為半單環(huán).最終可以得出結(jié)論,當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)R-模都是內(nèi)射?;蛎總€(gè)R-模都是投射模時(shí),R為半單環(huán)

    22若R為一個(gè)左Noether環(huán),下列條件都為等價(jià):

    (1)R是半單環(huán);

    (2)任意的有限表現(xiàn)R-模都為內(nèi)射模

    (1)?(2)顯然

    (2)?(1)設(shè)I是R的左理想,因R是左Noether環(huán),所以I是有限生成的,因此I是有限表現(xiàn)模;因I為內(nèi)射模,可以得知正合列0→→→∕→0分裂從而可以推導(dǎo)出I是R的直和加項(xiàng),而R則是半單環(huán)

    23([3]定理27)設(shè)R為左凝聚環(huán),下列條件均為等價(jià):

    (1)環(huán)R不僅為左自內(nèi)射環(huán),同時(shí)也為VN正則環(huán);

    (2)環(huán)R為左G-半單環(huán);

    (3)環(huán)R為左自內(nèi)射環(huán),且每一個(gè)R-模都為GFP-內(nèi)射模

    由引理23可知,若為左凝聚環(huán),每個(gè)模都是強(qiáng)GFP-內(nèi)射模的條件為當(dāng)且僅當(dāng)是VN-正則環(huán)且是左自內(nèi)射環(huán)

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