關(guān)于概率論中近似計(jì)算問(wèn)題的幾點(diǎn)標(biāo)記

李 浩

宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽宿州，234000

為了計(jì)算隨機(jī)事件的概率，需要對(duì)該事件進(jìn)行描述，描述方式可分為定性與定量?jī)煞N。一方面，若采用定性的方式，在缺乏一定的條件下，所求事件的概率精確值不易求得，但從實(shí)際應(yīng)用的角度看，只需得到概率的近似取值范圍即可，例如概率論中的加法公式與切比雪夫不等式就可以較好地體現(xiàn)近似計(jì)算思想；另一方面，若采用定量描述的方式，等價(jià)地刻畫所求事件概率，一般需要知道隨機(jī)變量服從的分布，但是某些分布在具體計(jì)算時(shí)比較麻煩。例如，服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量，當(dāng)參數(shù)n較大時(shí)，事件概率的計(jì)算量將會(huì)非常大，很難得到精確值。若能求出二項(xiàng)分布的近似分布，則可以利用近似分布加以計(jì)算，這樣會(huì)起到事半功倍的效果，而泊松定理正是用于刻畫二項(xiàng)分布的一種近似分布；最后，當(dāng)隨機(jī)事件需要使用一組隨機(jī)變量和的形式進(jìn)行描述時(shí)，其概率值更是難以精確計(jì)算，若這組隨機(jī)變量符合某些特性(獨(dú)立同分布)，則可以利用大數(shù)定律與中心極限定理，近似地計(jì)算“和事件”(一組獨(dú)立分布的隨機(jī)變量和)的概率，例如棣莫弗-拉普拉斯定理揭示了正態(tài)分布是一組服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量和的極限分布，該定理恰是近似計(jì)算思想的重要體現(xiàn)。以下我們將從概率論教材中的幾個(gè)具體方面進(jìn)行歸納近似計(jì)算思想，并加以舉例說(shuō)明并給出標(biāo)注加以闡述每種近似計(jì)算的實(shí)際特點(diǎn)。

1 加法公式

對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)事件A，B，有

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

此公式稱為概率的加法公式[1]。

由加法公式可知，當(dāng)事件A與事件B的概率都已知時(shí)，如果A與B同時(shí)發(fā)生(AB)以及A與B至少有一個(gè)發(fā)生(A∪B)，兩者中有一個(gè)是給定的，則另一個(gè)的概率可以求得，否則另一個(gè)的概率只能計(jì)算取值范圍，然后根據(jù)實(shí)際情況取定一個(gè)可能的近似值。

例1在某局部戰(zhàn)爭(zhēng)中為了執(zhí)行特殊任務(wù)，空軍需要出動(dòng)兩款不同型號(hào)的戰(zhàn)機(jī)協(xié)同作戰(zhàn)。據(jù)資料顯示，在特殊環(huán)境下其中一款戰(zhàn)機(jī)被擊落的概率為0.45，另一款戰(zhàn)機(jī)被擊落的概率為0.57，求兩款戰(zhàn)機(jī)同時(shí)被擊落的概率。

解：設(shè)A為第一款戰(zhàn)機(jī)被擊落，B為第二款戰(zhàn)機(jī)被擊落，則兩款戰(zhàn)機(jī)同時(shí)被擊落為事件AB。

根據(jù)加法公式，可得

P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)

由概率具有的規(guī)范性可知，0≤P(A∪B)≤1，則

P(AB)≥0.02。

例2已知P(A)=0.82，P(B)=0.75，證明P(AB)≥0.57。

證：根據(jù)加法公式，P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)

由概率的規(guī)范性可知，0≤P(A∪B)≤1，則

P(AB)≥0.82+0.75-1=0.57

得證。

注：(1)在實(shí)際生活中，人們更關(guān)心兩個(gè)隨機(jī)事件同時(shí)發(fā)生的可能性大小，所以利用加法公式可以粗略地估計(jì)其取值范圍，再根據(jù)實(shí)際設(shè)定一個(gè)經(jīng)驗(yàn)值；

(2)在例1中由于兩戰(zhàn)機(jī)需要協(xié)同作戰(zhàn)，故兩戰(zhàn)機(jī)被擊落對(duì)應(yīng)的兩隨機(jī)事件之間不具有相互獨(dú)立性，所以不能利用事件的獨(dú)立性進(jìn)行求解；

(3)盡管概率的加法公式形式上較為簡(jiǎn)單，但是在近似計(jì)算隨機(jī)事件的概率時(shí)比較有效。

2 泊松定理

設(shè)λ>0是一個(gè)常數(shù)，n是任意正常數(shù)，設(shè)npn=λ，則對(duì)于任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有

此定理稱為泊松定理[2]。

由泊松定理可知，二項(xiàng)分布的極限分布就是泊松分布。當(dāng)滿足定理中的條件時(shí)，可以利用泊松分布近似計(jì)算二項(xiàng)概率。即若X服從B(n,p)，當(dāng)n較大，并且p較小時(shí)，X近似服從P(np)，則有

例3假設(shè)某保險(xiǎn)公司有1 000人投保一款交通旅游人身意外險(xiǎn)，投保人在保險(xiǎn)約定的時(shí)效內(nèi)發(fā)生人身意外的概率約為0.001，且各投保人在保險(xiǎn)期是否發(fā)生意外是相互獨(dú)立的。求在保險(xiǎn)約定的時(shí)效內(nèi)至少有4人發(fā)生人身意外的概率。

解：設(shè)X為保險(xiǎn)期內(nèi)發(fā)生人身意外的投保人數(shù)，由題意可知，X服從B(1 000,0.001),則

=0.019 597

例4設(shè)實(shí)驗(yàn)室機(jī)房有80臺(tái)同類型電腦，各臺(tái)工作相互獨(dú)立，電腦發(fā)生故障的概率為0.01，且一臺(tái)電腦的故障只能由一名技術(shù)人員負(fù)責(zé)處理。現(xiàn)有4名技術(shù)人員維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)。計(jì)算機(jī)房電腦發(fā)生故障時(shí)不能得到及時(shí)維護(hù)的概率。

解：設(shè)X表示“一名技術(shù)人員維護(hù)的20臺(tái)電腦中同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)”，以Ai(i=1,2,3,4)表示事件“第i名技術(shù)人員維護(hù)的20臺(tái)中發(fā)生故障不能得到及時(shí)維護(hù)”。設(shè)A為事件“機(jī)房電腦發(fā)生故障時(shí)不能得到及時(shí)維護(hù)”，則所求概率為

P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4)

因?yàn)镻(Ai)=P(X≥2)，i=1,2,3,4。而X服從B(20,0.01)，近似地理解為X服從P(0.2)，則有

P(Ai)=P(X≥2)=1-P(X<2)

≈0.017 5

(3)在概率論教學(xué)過(guò)程中，需要重點(diǎn)掌握泊松定理的證明，其證明方法利用到高等數(shù)學(xué)極限思想，極限思想正是近似計(jì)算思想的重要體現(xiàn)。

3 切比雪夫不等式

設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)及方差D(X)都存在，則對(duì)任意ε>0，有

成立,此不等式稱為切比雪夫不等式[3]。

例5假設(shè)某項(xiàng)投資的平均收益為10萬(wàn)元，風(fēng)險(xiǎn)為5萬(wàn)元。求該項(xiàng)投資的收益在7萬(wàn)元至13萬(wàn)元之間的概率。

解：設(shè)X為該項(xiàng)投資的收益，由經(jīng)濟(jì)學(xué)意義可知，其平均收益為E(X)，風(fēng)險(xiǎn)為D(X)。

則所求概率為P(7≤X≤13)，由于收益X的分布情況未知，故求不出此概率。但利用切比雪夫不等式可求出該概率的近似值。根據(jù)切比雪夫不等式，可得

現(xiàn)取ε=3，將其帶入式，可得

例6利用切比雪夫不等式粗略理解“3σ”法則。

解：當(dāng)X服從N(μ,σ2)時(shí)，有

P{μ-σ

P{μ-2σ

P{μ-3σ

這說(shuō)明盡管隨機(jī)變量X的取值范圍是R，但它的值落在(μ-3σ，μ+3σ)內(nèi)幾乎是肯定的事，這就是所謂的“3σ”法則。

設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=μ，方差D(X)=σ2，則

(i)取ε=σ，由切比雪夫不等式得:

即0

(ii)取ε=2σ，由切比雪夫不等式得:

即0.75

(iii)取ε=3σ，由切比雪夫不等式得:

注：(1)當(dāng)隨機(jī)變量X的具體分布未知時(shí)，切比雪夫不等式可粗略地計(jì)算概率的近似值；當(dāng)隨機(jī)變量X的具體分布已知時(shí)，則不必使用切比雪夫不等式，可選取其他更有效的近似方法。

(2)切比雪夫不等式揭示了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)兩者之間的關(guān)系，可以得到隨機(jī)變量落在以數(shù)學(xué)期望為中心、方差的倍數(shù)為半徑的開(kāi)區(qū)間內(nèi)的近似概率值，盡管近似程度不太精確，但是只有數(shù)學(xué)期望與方差兩個(gè)數(shù)字特征的情形，切比雪夫不等式不失為一種較為有效的近似計(jì)算工具。

4 棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理

此定理稱為棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理[4]。

例7設(shè)有1 000個(gè)私家車主投保某保險(xiǎn)公司的機(jī)動(dòng)車車險(xiǎn)，保費(fèi)為2 600元，保險(xiǎn)期限為1年。該保險(xiǎn)規(guī)定，被保車輛在保險(xiǎn)期間發(fā)生，則可獲得3萬(wàn)元理賠額。假設(shè)車主在1年內(nèi)發(fā)生車險(xiǎn)的概率為0.5%，求保險(xiǎn)公司此項(xiàng)業(yè)務(wù)發(fā)生虧損的概率。

解：設(shè)Xi為第i名私家車主在1年保險(xiǎn)期內(nèi)發(fā)生交通意外的人數(shù)，則

此外，由題意可知X～B(1 000,0.005)，于是保險(xiǎn)公司虧損的概率為

P(2 200×1 000<200 000X)=P(X>11)

=1-P(X≤11)

≈1-Φ(2.69)

=0.003 6

注：(1)由于二項(xiàng)概率在計(jì)算時(shí)會(huì)涉及計(jì)算量比較大的問(wèn)題，因此采用棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理加以近似計(jì)算會(huì)起到較好的效果。

(3)對(duì)于獨(dú)立不同分布的隨機(jī)變量序列，在滿足一定條件下，則可以利用李雅普洛夫定理，可求出隨機(jī)變量序列的和分布的漸近分布，于是可以利用其漸近分布進(jìn)行近似計(jì)算。

5 利用超幾何分布近似二項(xiàng)分布[2]

解：當(dāng)抽取方式為有放回時(shí)，由于樣本總數(shù)不發(fā)生變化，所以X的分布律為

當(dāng)抽取方式為不放回時(shí)，由于樣本總數(shù)發(fā)生變化，所以X的分布律為

(2)事實(shí)上，對(duì)于樣本總數(shù)不是足夠大時(shí)，有放回與無(wú)放回兩種抽取方式對(duì)計(jì)算某些隨機(jī)事件的概率結(jié)果也沒(méi)有任何差別，例如抽獎(jiǎng)券問(wèn)題、抓鬮問(wèn)題。于是當(dāng)樣本總數(shù)較少時(shí)，一般利用無(wú)放回方式近似計(jì)算有放回方式。

例9在例8的基礎(chǔ)上，取m=40，N=100，n=4，計(jì)算在抽取的4個(gè)球中的有2個(gè)黑球的概率。

解：由題意可知X服從超幾何分布H(4,100,40)。此外40和100遠(yuǎn)大于4，所以X可近似服從參數(shù)是4，0.4的二項(xiàng)分布。于是

注：(1)在本例中使用超幾何分布來(lái)求解可得概率精確值，若利用二項(xiàng)分布近似求解可得概率的近似值。當(dāng)樣本總數(shù)較大時(shí)，采用二項(xiàng)分布近似計(jì)算效果較好。

(2)在某種程度上，與可以將二項(xiàng)分布理解為超幾何分布的漸近分布，在計(jì)算分布概率時(shí)可以靈活運(yùn)用。

6 利用泊松分布證明Stirling公式[5]

P{Sn=n}=P{n-1

解：根據(jù)Stirling公式，可得

注：(1)在此例中要計(jì)算1010，e-10兩個(gè)數(shù)比較麻煩，但利用Stirling公式加以近似計(jì)算會(huì)便捷許多。

(2)有關(guān)Stirling公式的證明方法較多，相比較代數(shù)方法而言利用概率的方法比較易行，通過(guò)假設(shè)滿足一定前提條件，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布進(jìn)行近似計(jì)算。

7 利用均勻分布近似計(jì)算積分[6]

注：考慮到積分區(qū)間為[a,b]，本例可以利用服從均勻分布的隨機(jī)變量的性質(zhì)證明。

8 結(jié)束語(yǔ)

在一些日常生活與理論研究中，經(jīng)常會(huì)涉及計(jì)算隨機(jī)事件的概率問(wèn)題，在滿足一定條件要求下，往往只需得到其近似值即可。例如當(dāng)隨機(jī)變量服從一些重要的概率分布時(shí)，在具體的計(jì)算過(guò)程中會(huì)涉及一些比較繁瑣的計(jì)算式，結(jié)果不易得到。若運(yùn)用加法公式、泊松定理、近似分布和中心極限定理等理論工具加以近似計(jì)算，可以起到事半功倍的效果。因此近似計(jì)算方法與思想在概率論教學(xué)中具有很重要的作用。文中詳盡地歸納了幾種常見(jiàn)分布的近似分布及近似計(jì)算問(wèn)題，相應(yīng)地標(biāo)注了在不同的條件下，列舉了若干近似分布的計(jì)算實(shí)例。