傾斜管道內圓柱狀顆粒運動的數(shù)值模擬1)

李 亮 劉炳瑞 張潤輝 張 斌

*(浙江大學力學系流體工程研究所，杭州 310027)

?(廣東盈峰智能環(huán)衛(wèi)科技有限公司，廣東佛山 528322)

**(南華大學，湖南衡陽 421009)

顆粒懸浮流廣泛地存在于自然現(xiàn)象和工業(yè)應用中，而顆粒的遷移運動和沉降過程中的運動規(guī)律在許多石油化工、環(huán)境保護等領域具有極其重要的作用。大部分工作聚焦在顆粒的動力學特性方面，而對于非布朗顆粒在黏性懸浮流中，其運動更貼近實際工程應用。雖然研究中性懸浮顆粒在流場中的運動更加方便[1]，但是重力作用下的顆粒懸浮流是一種更加一般的情況。在大多數(shù)情況下，研究工作聚焦在不考慮外部流場下顆粒的沉降，但也有部分工作是將外部壓力驅動和顆粒的重力沉降結合[2]。

對于顆粒沉降，Wachmann等[3]應用有限差分法對顆粒沉降過程中顆粒速度的平均值和波動進行研究。Pan等[4]使用拉格朗日乘子法模擬研究流化床中顆粒的運動。Climent等[5]運用近似力耦合的方式研究了顆粒在初始靜止流體中沉降過程中速度場，其結果闡明了在有限雷諾數(shù)的情況下顆粒尾跡誘導顆粒間相互作用，平均沉降速度的顯著降低可以解釋為尾流誘導散射過程的增強。Yin等[6-7]使用格子玻爾茲曼方法研究了顆粒沉降過程中速度波動和聚集現(xiàn)象，其結果表明顆粒的速度變化要小于流體的速度變化，因為顆粒不會在與其自身大小相當或小于其自身大小的長度尺度上跟隨流體運動。Kuusela等[8]運用浸沒邊界法研究無外加流場的情況下顆粒穩(wěn)定的沉降，研究了顆粒速度波動的各向異性。Yan等[9]運用格子玻爾茲曼方法研究球形顆粒在管道中的動力學特性，包含顆粒在重力作用下的沉降過程。其結果表明在重力作用下顆粒出現(xiàn)三層區(qū)域，分別為具有透明的流體區(qū)域、流動的顆粒懸浮物區(qū)域以及密集的沉積顆粒區(qū)域。在大多數(shù)情況下，在重力作用下透明的流體區(qū)域增大，而流動的顆粒懸浮物區(qū)域減小。

本項工作中，主要研究在有限寬度的管道中多顆粒的輸運以及沉降，探究多圓柱顆粒在傾斜管道中的輸運效率問題，綜合考慮顆粒重力作用導致的沉降以及流體作用導致顆粒的遷移。建立物理模型，采用計算流體力學-離散單元方法（computational fluid dynamics-discrete element method，CFD-DEM），在考慮重力的情況下對多個圓柱狀顆粒在流體作用下在傾斜管道中的運動進行數(shù)值模擬，分別分析進口速度、顆粒密度、顆粒長徑比、管道傾角以及管道長徑比與顆粒輸運效率的關系，以期探究顆粒在傾斜管道內顆粒的運動規(guī)律。

1 數(shù)值計算

采用CFD-DEM對流場及其顆粒的運動進行模擬。CFD-DEM方法是一種典型的歐拉-拉格朗日方法，它采用連續(xù)介質理論描述流體，并單獨追蹤每一個顆粒的運動狀態(tài)。同時，該方法還考慮了顆粒與流體之間的相互作用，該方法被廣泛應用于流化床、氣力輸運等具有大量顆粒的兩相流系統(tǒng)模擬中[10-12]。

1.1 流體相控制方程

流體相控制方程包括連續(xù)性方程和動量方程，以下方程包含了顆粒在空間中占據(jù)的體積效應及兩相間的動量交換作用[13-14]

式中 εg，ρg，ug，p，τg分別為流體的孔隙率、密度、速度、壓力和應力項；Sp為顆粒與流體之間的動量交換項；方程采用有限體積法求解。

1.2 顆粒相控制方程

柱狀顆粒采用多球模型[15]描述，即由若干個在同一軸線上相互重疊的子球共同組成一個類柱狀顆粒，在柱顆粒運動過程中，子球之間保持剛性連接，而柱顆粒之間的碰撞可以通過子球之間的赫茲碰撞定律[16]的軟球模型[17]求解。

單個柱狀顆粒在求解過程中被視為整體，其運動方程為[18]

式中mi，vi，Ii，ωi分別為第i個顆粒的質量、速度、慣量張量及角速度；Fi和Mi則為第i個顆粒受到的外力及外力矩，體現(xiàn)了重力、氣動力（轉矩）、碰撞力（力矩）等作用。

1.3 計算設置

圖1為計算域示意圖。模擬三維圓柱形顆粒在圓管中的運動，設置管徑，高度。模擬流體為密度1.2 kg/m3的空氣，選取模擬的顆粒密度ρp分別為 600 kg/m3，800 kg/m3，1000 kg/m3，1200 kg/m3，1500 kg/m3，管道長徑比變化λc定義為，分別取值4，5，6，7，8，管道傾角取值為 35°，40°，45°，50°，55°，圓柱顆粒長徑比λp定義為h/φ，取值2，4，6，8，10；吸入速度變化Vin= 8 m/s，10 m/s，12 m/s，14 m/s，16 m/s。為便于比較，選定顆粒密度600 kg/m3，800 kg/m3，顆粒長徑比6，吸入速度14 m/s，管道傾角45°以及管道長徑比6作為基準參數(shù)。在管道入口處放置顆粒數(shù)目Nt為200，管道中通過顆粒數(shù)目標記為N，則顆粒輸運效率為N/Nt。

圖1 計算域示意圖Fig.1 Schematic diagram of computational domain

2 模擬結果與討論

2.1 顆粒性質的影響

本部分探究顆粒性質對輸運效率的影響，即分別研究圓柱顆粒密度和長徑比對輸運效率的影響。分別選取 5種密度 (ρp= 600 kg/m3，800 kg/m3，1000 kg/m3，1200 kg/m3，1500 kg/m3)的顆粒進行數(shù)值模擬，進口吸入速度分別取Vin=12 m/s和14 m/s，保持其他物理量不變（管道長徑比為6，管道傾角為45°，圓柱顆粒長徑比為6）。

如圖2所示，不管吸入速度如何，隨著顆粒密度增大，顆粒在管道內輸運效率減小。然而，通過比較相同密度、不同進口速度的輸運效率可以看出：在顆粒密度較小（ρp= 600 kg/m3）時，兩種吸入速度下的輸運效率相差無幾；在顆粒密度中等（ρp= 1000 kg/m3）時，吸入速度為14 m/s時的輸運效率與吸入速度為12 m/s時的輸運效率相差最大，二者相差52%；當顆粒密度ρp增大至1500 kg/m3，兩種吸入速度下的輸運效率相差較小。比較兩種吸入速度下顆粒的輸運效率之差，可以發(fā)現(xiàn)隨著顆粒的密度增大，兩種吸入速度下輸運效率之差變化趨勢為先增大后減小。

圖2 密度(ρp)與輸運效率(N/Nt)的關系Fig.2 Relationship between particle density (ρp) and conveying efficiency(N/Nt)

另外針對不同長徑比λp顆粒在吸入速度Vin為14 m/s下的吸入效率進行研究，分別選取兩種密度（ρp= 800 kg/m3，1200 kg/m3）、5種長徑比顆粒(λp= 2，4，6，8，10)，保持其他物理量不變（管道長徑比為6，管道傾角為45°，圓柱顆粒體積保持不變），顆粒長徑比越大，圓柱顆粒越細越長。需要說明的是：為避免顆粒大小對吸入效率的影響，本部分采用保持顆粒體積不變，改變顆粒長徑比，當顆粒長徑比為6時，顆粒直徑為5 mm。圖3詳細展示了兩種密度的顆粒在不同長徑比下的輸運效率。整體來看，兩種密度的顆粒（800 kg/m3，1200 kg/m3）隨著顆粒長徑比增大，顆粒的輸運效率呈現(xiàn)下降趨勢。對于密度為800 kg/m3的顆粒而言，長徑比對輸運效率的影響較小，顆粒的輸運效率隨著顆粒長徑比增大而出現(xiàn)較小的減??；對于密度為1200 kg/m3的顆粒，顆粒的長徑比對顆粒的輸運效率影響較大，顆粒的輸運效率隨著長徑比增大出現(xiàn)較大的下降。同時比較兩種密度顆粒的輸運效率，密度為1200 kg/m3的顆粒輸運效率與密度為800 kg/m3的顆粒輸運效率之差隨著顆粒長徑比增大而不斷增大。

圖3 顆粒長徑比λp與輸運效率(N/Nt)的關系Fig.3 Relationship between the particle aspect ratio (λp) and conveying efficiency (N/Nt)

2.2 管道設置的影響

除了顆粒密度和形狀對其運動的影響，管道的設置也是一個重要影響因素。在這一部分中，分別研究管道長徑比和管道傾角對于顆粒輸運效率的影響。探究管道長徑比λ對顆粒輸運效率的影響，通過固定管道直徑，改變管道長度來實現(xiàn)管道長徑比的變化。固定管道直徑可以實現(xiàn)管道截面上顆粒的理論體積通量和孔隙率保持不變。分別選取5種管道長徑比(4，5，6，7，8)。管道吸入速度Vin取14 m/s，顆粒密度ρp分別取800 kg/m3和1200 kg/m3，保持其他物理量不變（管道傾角為45°，圓柱顆粒長徑比為6）。圖4詳細展示了顆粒在不同長徑比管道中的輸運效率變化。對于密度為800 kg/m3的顆粒而言，管道長徑比對其輸運效率幾乎無影響，顆粒在不同管道長徑比中輸運效率呈現(xiàn)微小波動；而對于密度為1200 kg/m3的顆粒而言，管道長徑比對其輸運效率影響較大，隨著管道長徑比增大，顆粒輸運效率呈現(xiàn)明顯下降趨勢，這也說明隨著管道越長，輸運顆粒的效率越低，因此應盡量避免長直管道的使用，尤其對于密度較大的顆粒。

圖4 管道長徑比λc與輸運效率(N/Nt)的關系Fig.4 Relationship between the channel aspect ratio (λc) and conveying efficiency (N/Nt)

在管道布置過程中管道傾角的選擇是一個重要環(huán)節(jié)，在本部分中管道傾角被定義為管道中心軸線與平面的夾角。在本部分中專門研究管道傾角對顆粒輸運效率的影響。選取5種管道傾角θ，分別為 35°，40°，45°，50°，55°，管道的吸入速度Vin為14 m/s下，顆粒密度ρp分別取800 kg/m3和1200 kg/m3，保持其他物理量不變（管道長徑比為6，圓柱顆粒長徑比為6），數(shù)值模擬計算顆粒通過管道的概率。如圖5所示，顆粒在不同傾角的管道中輸運效率并無明顯規(guī)律，隨著管道傾角增大，顆粒在管道中的輸運效率呈現(xiàn)波動趨勢。對于密度為800 kg/m3的顆粒而言，管道傾角對其輸運效率幾乎無影響，顆粒在不同傾角的管道中輸運效率呈現(xiàn)較小波動；而對于密度為1200 kg/m3的顆粒而言，管道傾角對其輸運效率影響較大，隨著管道傾角增大，顆粒的輸運效率波動較大。

圖5 管道傾角(θ)與輸運效率(N/Nt)的關系Fig.5 Relationship between the pipeline inclination (θ) and conveying efficiency (N/Nt)

2.3 吸入速度的影響

在顆粒向上運動的過程中，顆粒在流體作用下克服重力作用向上運動，因此流體吸入速度是一個非常重要的因素。本部分研究在不同吸入速度下兩種密度的顆粒的輸運效率，選取5種吸入速度 (Vin= 8 m/s，10 m/s，12 m/s，14 m/s和16 m/s)，顆粒密度 ρp分別取 800 kg/m3，1200 kg/m3，保持其他物理量不變（管道長徑比為6，管道傾角為45°，圓柱顆粒長徑比為6）。

如圖6所示，隨著吸入速度增大，兩種密度的顆粒的輸運效率均呈現(xiàn)增大趨勢，且密度小（ρp= 800 kg/m3）的顆粒輸運效率始終大于密度大（ρp= 1200 kg/m3）的顆粒的輸運效率。密度為800 kg/m3的顆粒輸運效率變化趨勢表明隨著吸入速度的增大，顆粒的輸運效率增大為邊界遞減，尤其是吸入速度為14 m/s和16 m/s的輸運效率相差無幾；而對于密度為1200 kg/m3的顆粒輸運效率在給定的參數(shù)條件下顆粒為邊際遞增。比較兩種密度顆粒在不同吸入速度下的輸運效率，可以發(fā)現(xiàn)隨著吸入速度增大，兩種密度顆粒的輸運效率之差為先增大后減小。吸入速度為12 m/s時，兩種密度的顆粒輸運效率相差最大，而在吸入速度為8 m/s和16 m/s時，兩種密度的顆粒輸運效率相差最小，吸入速度為8 m/s時，顆粒的輸運效率最低，吸入速度為16 m/s時，輸運效率最高。

圖6 進口速度(Vin)與輸運效率(N/(Nt)的關系Fig.6 Relationship between the suction velocity (Vin) and conveying efficiency (N/(Nt)

2.4 顆粒分布情況

以上研究了各因素對顆粒輸運效率的影響，本部分將分析顆粒在管道輸運過程中其分布情況。如圖7，展示顆粒在管道輸運過程中不同時刻下管道中顆粒的分布狀況。根據(jù)結果顯示：假設在入口處顆粒在管道截面上隨機分布，在顆粒輸運的過程中，由于管道為傾斜且顆粒受重力的影響，顆粒整體在管道底部運動的狀態(tài)，顆粒在運動的空氣的作用下向上運動，但受到重力的作用，在運動過程中會出現(xiàn)少量顆粒向下滑動的情況；同時多顆粒運動過程中顆粒間碰撞發(fā)生動量交換，部分顆粒出現(xiàn)向下運動現(xiàn)象。綜上原因，顆粒輸送效率無法達到100%。

圖7 顆粒在輸運過程中分布情況（續(xù)）Fig.7 Distribution of particles during the transportation (continued)

圖7 顆粒在輸運過程中分布情況Fig.7 Distribution of particles during the transportation

在圖7中，同樣出現(xiàn)Yan等[9]研究定義的三層區(qū)域：上層的透明流體區(qū)域、中層的流動懸浮物區(qū)域以及底層密集的顆粒沉積區(qū)域。與之不同的是，在外加流場的作用下，顆粒懸浮流的分層區(qū)域在逐漸向上運動，最終大部分顆粒通過管道，少部分顆粒沿壁面滑落。需要說明的是，為展現(xiàn)所有顆粒的位置及狀態(tài)，圖7是將所有顆粒渲染到一張截面上產(chǎn)生的圖片，并不是某一具體管道截面。圖8展示50 s時刻下圓柱管道中心截面流場的速度云圖，對應條件：顆粒密度為800 kg/m3，流體速度為12 m/s。可以觀察到在顆粒聚集區(qū)域，由于顆粒與流體的相互作用，該區(qū)域流體速度明顯比其他區(qū)域的速度?。煌瑫r在鄰近壁面的區(qū)域，流體速度本身較小，因此在壁面的鄰近區(qū)域存在小部分顆?；涞默F(xiàn)象。

圖8 流場速度云圖Fig.8 Velocity contour of the flow

3 結論

應用CFD-DEM對流場中的圓柱狀顆粒進行數(shù)值模擬，分別研究了顆粒密度、顆粒長徑比、吸入速度、管道長徑比、管道傾角對顆粒輸運效率的影響。結果表明，隨著吸入速度增大，兩種密度的顆粒輸運效率均增大，但低密度顆粒的輸運效率始終大于高密度顆粒的輸運效率。而顆粒密度與顆粒輸運效率的關系則為負相關，隨著顆粒密度增大，顆粒的輸運效率逐漸減小，同時高吸入速度情況下顆粒的輸運效率始終大于低吸入速度情況的顆粒輸運效率。顆粒的長徑比對不同密度的顆粒輸運效率影響各不相同，但整體上隨著顆粒長徑比的增大，顆粒的輸運效率減小，對于高長徑比的顆粒影響比對低長徑比的顆粒影響較大。對于管道各因素對顆粒輸運效率的影響：管道長徑比對低密度顆粒的輸運效率幾乎無影響，對于高密度顆粒的輸運效率影響較大，隨著管道長徑比增大，高密度顆粒的輸運效率減小。管道傾角對顆粒輸運效率的影響為非單調性：對于低密度顆粒，管道傾角對顆粒的輸運效率同樣幾乎無影響；而對于高密度顆粒，管道傾角對顆粒的輸運效率影響較大且二者關系的波動性更強。另外，顆粒在管道中的運動主要集中在管道的下壁面，因此顆粒在流體作用下向上運動的過程會出現(xiàn)顆?；洮F(xiàn)象。