滑移線教學(xué)中粗糙平?jīng)_頭壓入半無限體的非Prandtl解探討1)

梅瑞斌 包 立 劉相華

*(東北大學(xué)材料與科學(xué)工程學(xué)院，沈陽 110819)

?(東北大學(xué)秦皇島分校，河北秦皇島 066004)

滑移線法作為金屬塑性力學(xué)分析的主要方法之一，主要適用于理想剛塑性材料的平面應(yīng)變問題，在一定條件下可以推導(dǎo)分析平面應(yīng)力和軸對稱以及硬化材料問題，不僅在力學(xué)分析中有較為廣泛的應(yīng)用[1-4]，更是高校塑性力學(xué)教材內(nèi)容中的主要組成部分。關(guān)于粗糙平?jīng)_頭壓入半無限體這一經(jīng)典力學(xué)問題，相關(guān)教材均基于Prandtl滑移線場，通過剛性三角形ABC在y向受力平衡的求解方法（如圖1所示）分析接觸面AB的平均單位壓力，但該方法求解結(jié)論與光滑平?jīng)_頭結(jié)果完全一樣，在光滑和最大摩擦兩種條件下接觸面單位壓力均為剪切屈服強(qiáng)度的5.14倍[5]，可見，Prandtl場未能準(zhǔn)確反映粗糙接觸面滑移線應(yīng)力邊值問題，計(jì)算結(jié)果也沒有準(zhǔn)確反映出金屬塑性變形規(guī)律，給滑移線應(yīng)用的課堂教學(xué)和學(xué)生理解帶來了較大困擾。文獻(xiàn)[6]給出了另外一種滑移線場，速度場也符合金屬流動(dòng)規(guī)律，但該場的兩族滑移線在AB面中心點(diǎn)處重合而沒有垂直，不符合滑移線相互正交原則。為此，本文基于Prandtl場理念和滑移線場應(yīng)力邊值特征，在研究文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上構(gòu)建了一種符合金屬流動(dòng)應(yīng)力邊界和滑移線性質(zhì)的滑移線場，求解并分析了摩擦對接觸面應(yīng)力分布的影響規(guī)律，為學(xué)生理解滑移線性質(zhì)和滑移線理論研究及應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ)。

圖1 粗糙平?jīng)_頭壓入半無限體Prandtl滑移線場

1 非Prandtl滑移線場構(gòu)建

當(dāng)塑性加工過程中工件與工具間出現(xiàn)全黏著現(xiàn)象時(shí)，一般認(rèn)為此時(shí)接觸表面上的摩擦應(yīng)力為最大，即τk=k，根據(jù)應(yīng)力莫爾圓描述的應(yīng)力狀態(tài)表達(dá)式可知，滑移線與接觸表面的夾角φk為零或-π/2 。α線與β線應(yīng)根據(jù)接觸表面剪應(yīng)力τk的正負(fù)指向情況來確定，如圖2所示。

圖2 黏著接觸表面滑移線特點(diǎn)

根據(jù)黏著接觸面的應(yīng)力邊界滑移線特征，參照光滑平?jīng)_頭壓入半無限體的Hill滑移線場和粗糙平?jīng)_頭壓入半無限體的Prandtl滑移線場，構(gòu)建了新的滑移線場，如圖3所示。關(guān)于該滑移線場的構(gòu)建思路和解釋如下。

圖3 粗糙平?jīng)_頭壓入半無限體滑移線非Prandtl場及速端圖

（1）接觸面為最大黏著接觸摩擦，AM和BN線為最大剪切面，即為滑移線，符合最大摩擦條件的應(yīng)力邊值特征，AM兩側(cè)剪應(yīng)力為順時(shí)針，BN兩側(cè)剪應(yīng)力為逆時(shí)針，根據(jù)規(guī)則AM為α線、MD1為β線，與AM垂直；BN為β線、NE1為α線，與BN垂直。

（2）由于沖頭足夠粗糙，與Prandtl場類似，中心非常小區(qū)域可近似為剛性等腰三角形MNC，MN為特殊邊界，MC與NC從AB線弧形過渡到C點(diǎn)，C1點(diǎn)為中心對稱點(diǎn)，并不發(fā)生x方向變形（對稱中心，無摩擦存在），C點(diǎn)為速度不連續(xù)點(diǎn)，M、N和C非常接近C1點(diǎn)，α線AM的延長線（MC）與β線BN的延長線（NC）相交于C點(diǎn)并相互垂直。

（3）同無摩擦情況下Hill場一樣，在自由表面上的塑性區(qū)也應(yīng)是均勻應(yīng)力狀態(tài)的直線場AFD和BGE，邊界滑移線與表面成45°角。

（4）由于流動(dòng)的對稱性，從沖頭接觸面引出的滑移線必須與AFD和BGE直線滑移線場連接，并與接觸面呈90°，根據(jù)滑移線幾何性質(zhì)可知，AFC1和BGC1為有心扇形場，只是該扇形場在MNC微剛性區(qū)發(fā)生速度不連續(xù)變化。

（5）依據(jù)邊界條件可以判斷自由表面α和β滑移線方向上的合力指向外法線方向，左半部分塑性變形區(qū)AM，AC，AF為α線，平行于CFD的弧線為β滑移線，而右半部分塑性變形區(qū)BN，BC，BG為β線，平行于CGE的弧線為α滑移線。

（6）根據(jù)塑性變形秒流量相等原則，所以速端圖閉合，如圖3中所示，C1，C，M，N四個(gè)點(diǎn)極為接近，應(yīng)力求解中剛性小三角形可以忽略。

2 應(yīng)力求解與討論

由于MNC為微剛性區(qū)，M和N點(diǎn)接近于C1點(diǎn)，可認(rèn)為σyM=σyN=σyC1，基于漢基應(yīng)力方程式，如果沿β線（弧線MD1），有

由于D1點(diǎn)為自由表面上的點(diǎn)，因此pD1=k，而根據(jù)β線時(shí)應(yīng)遵守α線相同曲率方向或圖示滑移線方向，可得

將式（2）中任一組角度代入式（1），均可得到

如果沿α線（弧線NE1），E1為自由表面上的點(diǎn)，因此pE1=k，然后據(jù)滑移線α的速度方向，確定角度，代入漢基應(yīng)力方程式，可得

由式（4）可見，沿不同的滑移線得到的AB線上的靜水壓力相同，即N點(diǎn)處靜水壓力等于M點(diǎn)處靜水壓力值。

在得到M點(diǎn)處的靜水壓力后，按照點(diǎn)的應(yīng)力張量與靜水壓力關(guān)系，可得到該點(diǎn)處應(yīng)力張量分量分別為

根據(jù)式（5）可以得到粗糙平?jīng)_頭壓入半無限體時(shí)試樣與沖頭接觸面的平均單位壓力為

根據(jù)屈雷斯加屈服準(zhǔn)則中屈服應(yīng)力與剪切屈服強(qiáng)度關(guān)系，σs=2k，可得應(yīng)力狀態(tài)影響系數(shù)為

該滑移線場求解的單位壓力5.71k明顯大于Prandtl場的求解值5.14k[5]。通過與光滑平?jīng)_頭壓入半無限體結(jié)果對比[7]，可以判斷出由于受到摩擦作用，接觸面y方向單位接觸壓力和應(yīng)力狀態(tài)影響系數(shù)增加了11%，而x方向的應(yīng)力增加更為明顯，約為82%，受摩擦影響金屬在x方向流動(dòng)困難。計(jì)算結(jié)果相比Prandtl解更能準(zhǔn)確反映外摩擦使塑性變形力和能耗增加的塑性變形理論，構(gòu)建的滑移線場合理可靠。另外，由于Prandtl解與光滑平?jīng)_頭求解結(jié)果相同，可認(rèn)為5.14k是粗糙平?jīng)_頭壓入半無限體的平均單位壓力下限解，而本文所得5.71k為上限解。

3 結(jié)論

根據(jù)滑移線性質(zhì)和黏著接觸摩擦條件的應(yīng)力邊值特征，構(gòu)建了粗糙平?jīng)_頭壓入半無限體的非Prandtl滑移線場，得到了粗糙平?jīng)_頭壓入半無限體平均單位壓力上限解為5.71k。與Prandtl滑移線場計(jì)算結(jié)果相比，接觸面y方向單位接觸壓力和應(yīng)力狀態(tài)影響系數(shù)增加了11%，與光滑平?jīng)_頭壓縮半無限體計(jì)算結(jié)果相比，x方向的應(yīng)力增加約82%，受摩擦影響金屬在x方向流動(dòng)困難，計(jì)算結(jié)果更能準(zhǔn)確反映外摩擦使金屬塑性變形力增加的塑性變形理論，構(gòu)建的滑移線場合理可靠，有助于學(xué)生理解及滑移線理論的研究和實(shí)際應(yīng)用。