周培源先生的湍流理論研究1)

時德偉 唐湛棋 姜 楠

(天津大學機械工程學院，天津 300354)

今年正值周培源先生（1902年8月28日～1993年11月24日）誕辰120周年，謹以此文向尊敬的周培源先生致以最深切的懷念。

力學家、應(yīng)用數(shù)學家、天體物理學家，美國國家科學院院士、美國國家藝術(shù)和科學院院士、中國科學院外籍院士林家翹（1916年7月7日～2013年1月13日）在1994年為周培源先生所作的追憶文章中這樣寫道[1]：“周培源在湍流理論和相對論方面的工作贏得了國際認可。1945年的一篇關(guān)于湍流理論的論文為隨后數(shù)十年的理論發(fā)展提供了框架[2]?！芘嘣吹姆椒ǜ灿贚udwig Prandtl、 Geoffrey Taylor和 Theodore von Karman的經(jīng)典著作，處理可以量化測量的統(tǒng)計平均值。他和他的學生開發(fā)了越來越好的逐次逼近方法-特別是他在20世紀80年代末提出的逐級迭代方法-以獲得與實驗數(shù)據(jù)進行比較的定量結(jié)果。這項工作激發(fā)了許多關(guān)于湍流和混沌的新研究，其中一些至今仍在繼續(xù)?！眻D1為周培源與林家翹的合影。

圖1 周培源與林家翹（左）合影。一位是85歲的老師，一位是70歲的學生，都是國際知名學者[3]

1995年，《流體力學年鑒（Annual Review of Fluid Mechanics）》雜志刊登了周培源先生生前撰寫的《中國湍流研究五十年（50 years of turbulence research in China）》一文[4]（圖2）。美國流體動力學家、美國國家工程院院士、康奈爾大學教授John Leask Lumley（1930年11月4日～2015年5月30日）為這篇文章作序。Lumley教授時任《Annual Review of Fluid Mechanics》雜志主編，在文章的序言中介紹了雜志向周培源邀約稿件的初衷，并回憶了在北京大學參加中國物理學會和中國力學學會為慶祝周培源先生90壽辰舉辦的國際流體力學和理論物理科學討論會的場景[5]。圖3為當時的會議預(yù)告。

圖2 周培源先生生前撰寫的《50 years of turbulence research in China》首頁[4]

圖3 中國物理學會和中國力學學會為慶祝周培源先生90壽辰舉辦的國際會議[5]

Lumley教授在這篇文章的序言中，從一位外國友人和湍流研究者的角度對周培源湍流研究工作做了簡短的回顧并給出了極高的評價（圖4）。作為中國著名理論物理學家、流體力學家，周培源先生在攻讀博士學位期間從事廣義相對論相關(guān)研究，是第一位在美國加利福尼亞理工學院獲得博士學位的中國人（1928年），并跟隨量子力學創(chuàng)始人海森堡教授（Werner Karl Heisenberg，1932年諾貝爾物理學獎獲得者）在德國萊比錫大學進行博士后研究，隨后應(yīng)泡利教授（Wolfgang Ernst Pauli，1945年諾貝爾物理學獎獲得者）邀請，前往瑞士蘇黎世聯(lián)邦理工學院進行量子力學相關(guān)研究。1936～1937年，周培源前往美國普林斯頓高等研究院（Institute for Advanced Study），參加了愛因斯坦組織的相對論研討班。周培源先生在20世紀30年代以前的研究方向是“廣義相對論”，抗日戰(zhàn)爭開始以后，周培源認為相對論不能直接為抗戰(zhàn)服務(wù)，作為一名科學家必須以科學救國，毅然轉(zhuǎn)向了應(yīng)用價值較大的湍流理論研究[3]（圖5）。在西南聯(lián)大時期，完成了第一篇湍流研究論文，以“On an extension of Reynolds’method of finding apparent stress and the nature of turbulence”為題于1940年在《Chinese Journal of Physics》雜志上發(fā)表[6]，對后來世界范圍內(nèi)的湍流研究產(chǎn)生了重大影響。正如Lumley教授在序言中指出，“在湍流領(lǐng)域，周培源可以被稱之為計算機模擬之父（the father of computational modeling）。在1940年發(fā)表于《Chinese Journal of Physics》雜志的開創(chuàng)性文章中，周培源引入了湍流脈動速度二階關(guān)聯(lián)函數(shù)與三階關(guān)聯(lián)函數(shù)方程，為了使得方程封閉，對三階關(guān)聯(lián)函數(shù)方程中的四階關(guān)聯(lián)函數(shù)基于二階函數(shù)建立了相互聯(lián)系的模型。周培源使用了一個擬渦能的方程為湍流場提供了一個時間尺度?？上е芘嘣吹难芯砍晒霈F(xiàn)于計算機普及之前，基于人工計算的效率具有很大的局限性。但毫無疑問的是，當今全世界大量忙于發(fā)展湍流模型進行計算流體動力學（computational fluid dynamics，CFD）計算的學者們，都可以追溯到周培源1940年的這項工作?！毙蜓宰詈髮懙?，“在這個時代至少有4位流體力學的巨人，分別來自4個國家。他們以自己的方式在國內(nèi)外都享有崇高的聲譽，這不僅是因為他們在流體力學領(lǐng)域的建樹，也是由于他們卓越的領(lǐng)導(dǎo)能力和對于知識的傳承。在他們各自的國家里，大量優(yōu)秀的流體力學工作者都可以追根溯源到這些偉大的鼻祖。這樣的人，在我心中有美國的馮·卡門（von Kármán），蘇聯(lián)的柯爾莫哥洛夫（Kolmogorov），英國的泰勒（G.I.Taylor）和中國的周培源（Chou Pei-yuan）?！?/p>

圖4 Lumley教授在文章序言中對同時代4位來自不同國家的流體力學巨人的描述[4]

圖5 《周培源》畫冊中關(guān)于周培源轉(zhuǎn)為湍流研究的描述[3]

受《Annual Review of Fluid Mechanics》雜志主編Lumley教授的邀約，《50 years of turbulence research in China》主要是對周培源先生個人湍流研究工作的回顧。另一方面，1991年10月，中國力學學會第三屆全國湍流與流動穩(wěn)定性學術(shù)會議在天津大學召開，周培源先生作了75分鐘題為《非壓縮性流體的湍流理論》的學術(shù)報告，而這也成為了他生前所作的最后一次學術(shù)報告[7-8]。天津大學王振東教授曾是周培源先生的學生，為這次報告制作了錄音稿，因此，周培源先生的報告留存了下來。周培源先生從事湍流研究五十余年，在這次學術(shù)報告中，也回顧了個人的湍流研究工作，并將他自身的研究工作大致總結(jié)分為四個階段[9]。

第一階段是20世紀40年代。在周培源先生指導(dǎo)下，王竹溪先生于1934年發(fā)表了國內(nèi)最早的湍流論文，而周培源本人的湍流研究工作是1938年在昆明西南聯(lián)大正式展開的，當時跟隨他一起作湍流研究的學生有林家翹先生和郭永懷先生[10]。對于非壓縮性流體的湍流問題，最主要的理論根據(jù)就是Navier-Stokes方程（N-S方程），在20世紀初，英國學者雷諾（Osborn Reynolds）提出把速度分解成平均速度和脈動速度，把壓強分解成平均壓強和脈動壓強，按照這個思路代入N-S方程后，得到了平均運動方程和脈動運動方程，以及雷諾應(yīng)力方程。當時學術(shù)界的主要思想是使用平均運動方程求解，并考慮將雷諾應(yīng)力與平均速度聯(lián)系起來。而周培源在1940年發(fā)表在《Chinese Journal of Physics》雜志上的第一篇湍流論文《On an extension of Reynolds’ method of finding apparent stress and the nature of turbulence》中[6]首次提出研究湍流必須研究脈動速度場，并給出了二階和三階速度關(guān)聯(lián)方程，進一步將四階關(guān)聯(lián)函數(shù)變成兩個二階關(guān)聯(lián)函數(shù)乘積求和的形式，這一理論的提出，使得本來不封閉的脈動運動方程可以求解，從而奠定了湍流模式理論的基礎(chǔ)。此外，1943年周培源在加州理工學院做訪問教授，于1945年在《Quarterly of Applied Mathematics》雜志上發(fā)表論文《On velocity correlations and the solutions of the equations of turbulent fluctuation》[2]，詳細地分析了湍流脈動方程的求解，提出同時求解平均運動方程和湍流脈動方程，特別是文中有關(guān)脈動壓力所滿足泊松方程的求解，是以后湍流模式理論有關(guān)壓力-速度梯度關(guān)聯(lián)的?；幕A(chǔ)。

第二階段是20世紀50年代到60年代，周培源先生率領(lǐng)他的一批學生（包括蔡樹棠先生、是長春先生和陳定亞先生）繼續(xù)從事湍流統(tǒng)計理論的研究工作。他和蔡樹棠從五十年代初就開始了“先求解后平均”的湍流研究新途徑，避免了傳統(tǒng)湍流理論中N-S方程不封閉的弱點。在1956年，周培源與蔡樹棠從黏性流體的N-S方程出發(fā)，找到了均勻各向同性湍流在耗散后期的軸對稱渦旋解，利用軸對稱渦旋模型作為湍流基元的物理圖像來說明均勻各向同性湍流運動[11]，并根據(jù)對均勻各向同性湍流運動的研究，分別求得在湍流耗散后期和初期的二元速度的關(guān)聯(lián)函數(shù)、三元速度關(guān)聯(lián)函數(shù)，提出了先求解后平均的旋渦結(jié)構(gòu)湍流統(tǒng)計理論。后來黃永念先生在1965年用周培源先生和蔡樹棠先生提出的軸對稱二階球渦計算了兩個不同點之間的三元速度關(guān)聯(lián)[12]，而這一理論計算的結(jié)果也在十年后得到了實驗的證實。

第三階段是20世紀的70年代。由于均勻各向同性湍流在其衰變初期和末期的兩個相似條件是不同的，所以應(yīng)該有一個單一的條件來包含它們。周培源和黃永念提出了均勻各向同性湍流的準相似性假設(shè)，將耗散初期和后期的相似條件統(tǒng)一為一個確定解的物理條件，利用這種新引入的準相似條件，他們將非線性速度波動方程求解為均勻各向同性湍流的一級近似，并得到了統(tǒng)一湍流衰減的初始到末期的解。此后周培源又與北京大學魏中磊、諸乾康和鈕珍南等同志通過實驗證明了準相似假設(shè)，對于雙速度關(guān)聯(lián)和三重速度關(guān)聯(lián)，以及從衰變初期到衰變末期的能譜函數(shù)，計算結(jié)果與實驗結(jié)果符合得很好。這些結(jié)果發(fā)表在1980年國際理論和應(yīng)用力學大會上，以及第一屆亞洲流體力學大會上，并于1982年獲得國家自然科學二等獎。

第四階段是20世紀的80年代到90年代初，周培源先生進一步發(fā)展了1945年在論文《On velocity correlations and the solutions of the equations of turbulent fluctuation》[2]中提出的逐次逼近法，同時在上一階段的研究背景下，將均勻各向同性湍流的結(jié)果推廣到具有剪切應(yīng)力的一般湍流運動中去，如尾流場[13]、槽道流場[14]，提出了廣義準相似性假設(shè)（這一假設(shè)實際上包括了普朗特的動量轉(zhuǎn)移理論、泰勒的渦量輸運理論，馮·卡門的相似性理論），并給出了處理這種流動的奇階截斷法（在各種實驗的基礎(chǔ)上[15]，發(fā)現(xiàn)奇數(shù)階的速度關(guān)聯(lián)通常比偶數(shù)階的速度關(guān)聯(lián)小得多。在近似過程中，可以截斷奇數(shù)階的速度關(guān)聯(lián)，從而終止速度關(guān)聯(lián)的動力學方程）。歷經(jīng)半個世紀的不懈努力，最終克服了同時求解平均運動方程和湍流脈動方程的種種困難，周培源先生的湍流模式理論體系已相當完整。

致謝特別感謝天津大學王振東教授為本文寫作提供了大量的素材和思路，并全程指導(dǎo)文章修改。