一類動態(tài)Melan方程的解的存在唯一性

唐夢影,張健,王永達(dá)

(河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河北省機器學(xué)習(xí)與計算智能重點實驗室,河北 保定 071002)

本文主要研究一類非線性非局部動態(tài)Melan方程的初邊值問題(可以看作懸索橋的動態(tài)橫梁模型):

(1)

20世紀(jì)初,Melan[2]將懸索橋的橋面視為一維橫梁,得出了一類模擬懸索橋的四階方程:

EIwxxxx(x)-(H+h)wxx(x)-hyxx(x)=p(x),?x∈(0,L).

(2)

2014年,Gazzola[3]討論了方程(2)的非線性的起源和非局部項的可能形式,他通過合適映射的不動點定理證明了幾個存在性結(jié)果.2018年,Gazzola等[1]考慮了Melan方程(靜態(tài)時懸索橋的數(shù)學(xué)模型)的一種變分形式,并得到了局部解的存在性.有關(guān)Melan方程的其他結(jié)果,見文獻(xiàn)[4-5].

1 預(yù)備知識

則范數(shù)依次為

其中a,b>0,則其范數(shù)為

2 線性問題

本節(jié)考慮一個線性問題

(3)

其中,g=g(x,t)是一給定函數(shù).

成立,則稱w∈ZT是式(3)的一個弱解.

證明:根據(jù)Galerkin方法,主要分4步.

第1步：構(gòu)造逼近問題的解序列.

(4)

對n≥1,尋找逼近問題

((wn)tt,u)2+(wn,u)y=(g,u)2,?u∈En,t>0

(5)

在式(5)中,取u依次為e1,e2,…，en,得到了n個線性方程

(6)

第2步：{wn}的局部有界性.

給定T>0(t

因為g∈C0([0,T];L2(0,L))以及H?lder不等式,所以得到

(7)

因此,

根據(jù)引理1以及式(7),得到局部有界性

(8)

第3步:{wn}的強收斂性.

(9)

根據(jù)式(8),{wn}在ZT中有收斂子列.取m>n≥1,并且設(shè)

在式(5)中,用m代替n,并取u=(wm,n)t(t)=(wm-wn)t(t),可得

(10)

當(dāng)m,n→∞時,Cm,n→0.結(jié)合式(9)、式(10),這說明了{(lán)wn}在ZT中是Cauchy序列.由完備性知,存在唯一的w∈ZT使得wn→w(n→∞).

第4步:唯一性.設(shè)w1和w2是式(3)的2個不同的弱解,則有

將2個方程相減,得

取u=w1-w2,在上式兩邊乘以ut并在(0,L)×[0,T]上積分,得

即證得w1=w2,定理1證畢.

3 問題(1)解的存在唯一性

本節(jié)考慮問題(1).首先給出弱解的定義.

成立,則稱w∈ZT是式(1)的一個弱解.

證明：考慮問題

(11)

證明：因為v∈ZT以及yx∈C0((0,T);L2[0,L]),所以容易驗證Φ(v)∈C0([0,T];L2(0,L)).由定理1知,問題(11)存在唯一的弱解w.

B:={w∈ZT|w(x,0)=w0(x);wt(x,0)=w1(x);x∈(0,L)}.

則引理2可定義一個映射

γ∶B→B,γ(v)=w.

上式兩端乘以wt,然后在(0,L)×[0,T]上積分,得

由文獻(xiàn)[1]中的討論,知

因此,

(12)

其中,c與T無關(guān).于是

(13)

將式(13)代入式(12),得

即

其中，C與T無關(guān).因此,當(dāng)T足夠小時,γ是一個壓縮映射.根據(jù)不動點理論,知γ的一個不動點就是問題(1)的解.