基于測量不確定度的測量過程特性分析

王 勇, 梁基超

(1. 山東計量測試學會,山東濟南250014；2. 山東省計量科學研究院，山東濟南250014)

1 引 言

測量不確定度是表征被測量分散性的參數，在符合性判定活動中所起的作用日益受到重視[1～6]。ISO 10012測量管理體系要求，測量過程設計和測量設備的計量確認應評定測量不確定度，以滿足顧客的計量要求[7]。但是現有研究往往只注重測量不確定度評定而忽視了被測量的合格概率[8～11]，這不足以全面掌握一個測量過程的性能特性，應結合合格概率、誤判風險進行全面的分析。如果研究結果表明不合格概率較大，則應采取提高測量設備的精度等級等相應措施減少誤判風險。本文開展定量分析并結合實例進行驗證。

2 測量過程及合格概率

測量過程是確定量值的一組操作，過程要素包括操作者、設備、方法、環(huán)境等，設備是重點。被測對象是輸入，測量結果是輸出。過程特性包括測量不確定度、穩(wěn)定性、最大允許誤差等[7]。一個被測對象被視為一個隨機變量Y，其可能為值η。對Y進行測量得到一個測得值ηm，不確定度為um。由貝葉斯定理可知，多數情況下Y的分布特性為正態(tài)分布，Y的期望y、標準不確定度u與先驗值y0、u0及測得值ηm、um有關，如果Y的先驗信息太少，則y≈ηm、u≈um[12]。Y落在區(qū)間[a,b]內的概率pc(合格概率)為：

pc(a

(1)

式中:η是被測量Y的可能值;ηm是Y的一個測得值;Φ()是標準正態(tài)分布的分布函數。

3 具有上下限合格區(qū)間的測量過程

對于某個測量過程，被測量Y允許值的上限為TU、下限為TL，為便于討論分析，稱該被測量允許值的區(qū)間為合格區(qū)間。如圖1所示。區(qū)間大小用T表示，T=TU-TL。如果該過程是檢定或校準過程，則T=(MPE+-MPE-)。Y位于合格區(qū)間的概率即合格概率為：

(2)

圖1 具有上下限合格區(qū)間的測量過程Fig.1 measurement process with upper and lower limits of conformance interval

圖1中橫軸代表被測量，η是被測量的值；縱軸為η的正態(tài)分布概率密度。

(3)

式中：um為測量過程的標準不確定度；U為擴展不確定度，包含因子k=2。

定義d為測得值偏離合格區(qū)間下限的相對距離：

(4)

則d的取值范圍是0≤d≤1。將式(3)、式(4)代入式(2)得到

pc=Φ(4Cm(1-d))-Φ(-4Cmd)

(5)

式(5)只有兩個參數Cm和d，當被測量的測得值ηm偏離合格區(qū)間的中心時，可以用偏離下限的距離d和測量能力指數Cm求得被測量的合格概率。表1是取5個常用Cm值代入式(5)求得的pc值,表2是pc取0.95、0.99時得到Cm的數值解。

表1 pc值Tab.1 Value of pc

表2 Cm值Tab.2 Value of Cm

圖2為pc-d-Cm曲面。圖3為pc=0.95時d-Cm曲線，曲線上的點對應pc=0.95，曲線上方區(qū)域pc>0.95，曲線下方區(qū)域pc<0.95。

圖2 pc-d-Cm曲面Fig.2 Curve surface of pc-d-Cm

圖3 d-Cm曲線(pc=0.95)Fig.3 Curve of d-Cm

圖4為偏離合格區(qū)間下限的距離dL與不合格概率的關系曲線。對一個測量過程而言，合格區(qū)間和y通常是確定的，由圖4可知，為提高測量過程的合格概率、降低誤判風險，必須提高測量能力指數Cm，特別是當測量值位于上下限附近的時候，由于測量不確定度影響使誤判概率增加。這種情況下可以根據測得值ηm、dL和規(guī)定的合格概率得到過程的測量能力指數Cm和標準不確定度um，選擇適當的測量方法和高精度的測量設備以減小測量過程的um，降低誤判風險。

圖4 dL與不合格概率Fig.4 dL and the probability of failure

例2對一氧化碳報警器出廠檢驗，報警器的測量范圍為(0～1 000)×10-6mol/mol， 相對誤差±10%，要求誤判概率小于5%。則對于150×10-6mol/mol測量點允許誤差為±15×10-6mol/mol。選擇Cm=3，則um=T/6=30×10-6/12=2.5×10-6mol/mol。查表1，在TL+U<η0.95。使用相對標準不確定度值為2×10-6mol/mol氣體標準物質進行檢驗，經評定標準測量不確定度為2.2×10-6mol/mol，小于um，滿足測量要求。

4 具有單側上限或下限合格區(qū)間的測量過程

在某些情況下，測量過程只規(guī)定了被測量Y合格區(qū)間的上限TU或下限TL。以單側下限為例進行分析，如圖5所示，下限值為TL，合格區(qū)域為η≥TL，灰色部分為不合格區(qū)域。此時測量過程合格概率為

(6)

圖5 具有合格區(qū)間單側下限的測量過程Fig.5 Measurement process with a lower single limit of conformance interval

圖6 單側下限的曲線Fig.6 Curve of with a single lower limit

對于合格區(qū)間為單側上限TU的情形，可以采用相同的方法進行分析。

5 結 論

(1) 由于測量結果存在不確定度，對測量過程的符合性進行判定必須考慮測量不確定度的影響。

(2)當測量結果位于合格區(qū)間上下限附近時誤判概率增大，必須選擇允許誤差較小的測量設備減小測量不確定度，提高合格概率。

(3)當測量要求規(guī)定了誤判概率的限值，可以查表1和表2得到Cm，計算滿足測量要求的um，如果um小于或等于過程的測量不確定度評定結果則可以判定該測量過程合格。