牛頓冷卻定律及其適用范圍的探究

許 飛，楊 揚(yáng)，張江偉，杜雪奕，朱江轉(zhuǎn)

(華東理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200237)

牛頓冷卻定律的發(fā)現(xiàn)是牛頓在熱學(xué)上的兩大成果之一，在許多熱學(xué)實(shí)驗(yàn)中對(duì)誤差修正起到了極大的作用[1-4]。牛頓冷卻定律指出：當(dāng)物體處于自然冷卻狀態(tài)下，物體表面與周圍環(huán)境存在溫度差且溫差較小[5]時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)單位面積散失的熱量與溫度差成正比[6,7]。最初的公式表達(dá)：

(1)

Q為散失的熱量，h為樣品的散熱系數(shù)，A為樣品的散熱表面積，T為樣品的溫度，T0為環(huán)境溫度。有研究表明h的大小與多種因素有關(guān)(如樣品表面光滑度等[8])，經(jīng)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，包含該定律的多種輸運(yùn)定律都只適用于近平衡態(tài)，因此該定律的適用程度有限，當(dāng)樣品和環(huán)境的溫差較大時(shí)該定律的適用性將下降，修正后牛頓冷卻定律表達(dá)式[9,10]為：

(2)

α值的大小與樣品和環(huán)境的溫差有關(guān)，在溫度差較小時(shí)可近似認(rèn)為α=1，而溫度差過大后則不能粗略認(rèn)為α=1，不然會(huì)在應(yīng)用該定律時(shí)產(chǎn)生較大誤差。

本文對(duì)牛頓冷卻定律進(jìn)行了分析，設(shè)計(jì)了相關(guān)實(shí)驗(yàn)。通過對(duì)數(shù)據(jù)的處理和分析：驗(yàn)證了牛頓冷卻定律會(huì)隨著樣品和環(huán)境溫度差的變大而適用性下降；計(jì)算了修正指數(shù)值；通過指數(shù)值α的相對(duì)誤差，給出了牛頓冷卻定律的適用范圍。

1 實(shí) 驗(yàn)

1.1 實(shí)驗(yàn)儀器

實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示。

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置模式圖

所用到的儀器有FD-JSBR型金屬比熱容測(cè)量?jī)x、銅-康銅熱電偶、三種材料(銅、鐵和鋁)金屬圓柱體、PASCO溫度測(cè)量?jī)x和無紙記錄儀。銅-康銅熱電偶可以用電壓差的形式反應(yīng)出其兩端的溫度差，冷端置于保溫杯中的冰水混合物中(相當(dāng)于0 ℃)，熱端插入金屬圓柱體的中心，所以電壓差可直接反應(yīng)出樣品的溫度。無紙記錄儀的采樣頻率為每秒一次，熱電偶產(chǎn)生的電壓差傳送到無紙記錄儀。根據(jù)銅-康銅熱電偶的熱電勢(shì)調(diào)試儀器，實(shí)時(shí)記錄樣品溫度的變化情況，通過USB接口將數(shù)據(jù)導(dǎo)出，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行最終的數(shù)據(jù)分析和處理。

1.2 實(shí)驗(yàn)方案

首先測(cè)得實(shí)驗(yàn)時(shí)環(huán)境溫度為8.5 ℃。我們利用的儀器有FD-JSBR型金屬比熱容測(cè)量?jī)x、無紙記錄儀和銅-康銅熱電偶(其熱電勢(shì)約為0.041 mv/℃)[11]，總體可分為加熱部分和測(cè)量部分以及最后的數(shù)據(jù)處理部分。

實(shí)驗(yàn)時(shí)利用FD-JSBR型金屬比熱容測(cè)量?jī)x對(duì)小圓柱體金屬塊進(jìn)行加熱，小圓柱體金屬中心插有熱電偶，加熱到一定溫度時(shí)停止加熱，然后移去熱源使其在防風(fēng)容器中自然散熱。同時(shí)熱電偶的另一端插入冰水混合物使其保持0 ℃。由于冷熱端溫度不同將產(chǎn)生電壓差，利用無紙記錄儀實(shí)時(shí)記錄數(shù)據(jù)，并通過對(duì)電壓的換算輸出溫度值。提取無紙記錄儀中的數(shù)據(jù)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析[12]。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析

根據(jù)最初的牛頓冷卻定律：

(3)

在實(shí)驗(yàn)中樣品表面積和表面光滑度等條件沒有發(fā)生變化，同時(shí)對(duì)于熱量Q有：

dQ=cmdT

(4)

c(樣品的比熱容)和m(樣品的質(zhì)量)實(shí)驗(yàn)中沒有變化，由(3)、(4)可得：

(5)

兩邊積分得：

ln(T-T0)=kt+C

(6)

由于最初牛頓冷卻定律認(rèn)為溫差的指數(shù)α恒為一，但實(shí)際中α不恒為一，所以指數(shù)的變化會(huì)通過上式中k的反應(yīng)出來，因此我們令y=ln(T-T0)為縱坐標(biāo)，時(shí)間t為橫坐標(biāo)，進(jìn)行了擬合。三種材料不同溫差下擬合的k值如表1所示。

表1 銅鐵鋁不同溫差范圍k值測(cè)量結(jié)果

為了直觀地對(duì)比三種材料k值的變化情況，將k隨溫度變化的情況作圖如圖2所示。

圖2 鋁鐵銅自然降溫下k值變化曲線

由表1和圖2可以看出，對(duì)于三種材料，溫差范圍逐步變大時(shí)，k值呈逐步上升趨勢(shì)。分析可得，牛頓冷卻定律在溫差較大的情況下k值變化較大，說明α值變化也較大，因此可知牛頓冷卻定律隨著溫差的變大適用性會(huì)不斷減小，因此需要確定牛頓冷卻定律的適用范圍。

為了計(jì)算某些溫差點(diǎn)的指數(shù)值，對(duì)修改后的牛頓冷卻定律表達(dá)式進(jìn)行了處理，如下：

(7)

這里以銅為例，針對(duì)樣品銅在10、15、20、25、30、35、40、45、50 ℃溫度點(diǎn)，在其前后五秒分別取了五個(gè)樣點(diǎn)，算出溫度降低的平均速率，以代表在該點(diǎn)處的瞬時(shí)溫度降低速率。由于牛頓冷卻定律適用于溫度差較低的情形，所以這里以溫差最小組(5～10 ℃)的k值為基準(zhǔn)進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如表2所示。

表2 不同溫度的α估算值

上表是α的估算值，可見α值和k值一樣隨著溫差變大而變大，距離α=1越來越遠(yuǎn)，另一方面這個(gè)數(shù)據(jù)再次驗(yàn)證了牛頓冷卻定律會(huì)隨著溫差變大而適用程度下降。

最后我們計(jì)算了不同溫度差下，α與α=1的相對(duì)變化情況，結(jié)果如表3所示。

表3 不同溫度差所估算出的α值與1的誤差

牛頓冷卻定律認(rèn)為溫度差的指數(shù)為α=1，但實(shí)際上α的值會(huì)隨著溫度差的變大而變化，因此在實(shí)際應(yīng)用中需要確定牛頓冷卻定律的適用范圍。對(duì)上表進(jìn)行分析，可見隨著溫差變大指數(shù)值的相對(duì)誤差也在變大，而溫差在30 ℃以內(nèi)時(shí)，相對(duì)偏差值小于等于3.0%，作者認(rèn)為這是一個(gè)可以接受的范圍，即在溫差小于等于30 ℃時(shí)牛頓冷卻定律能夠適用，超出該范圍則我們需要考慮到指數(shù)值的變化。

3 結(jié) 語

牛頓冷卻定律最初表達(dá)式存在一定局限性，本文選取鋁、鐵、銅三種樣品材料，通過實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了牛頓冷卻定律的實(shí)用性隨著環(huán)境溫度的升高而下降，進(jìn)一步對(duì)牛頓冷卻定律指數(shù)值α進(jìn)行了相關(guān)計(jì)算與分析，給出了50 ℃范圍內(nèi)不同區(qū)間的相對(duì)誤差，確定牛頓定律的適用范圍為t≤30 ℃。