2022年新高考Ⅱ卷數(shù)學(xué)試題評(píng)析

羅文軍

（秦安縣第二中學(xué)，甘肅 天水 741600）

一、整體評(píng)價(jià)

2022 年使用教育部考試院命制的新高考Ⅱ卷的省市有海南、遼寧和重慶。2022 年新高考Ⅱ卷以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017 年版2020 年修訂本）和《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》為依據(jù)，著重考查了考生對(duì)高中數(shù)學(xué)必備知識(shí)、基本方法和基本技能的掌握情況，突出考查考生的獨(dú)立思考能力、閱讀理解能力、運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力、創(chuàng)新能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。試題涉及的高中數(shù)學(xué)必備知識(shí)面廣，保持了2021 年新高考Ⅱ卷突出對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)與解三角形、解析幾何、立體幾何、概率與統(tǒng)計(jì)和數(shù)列等高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)重點(diǎn)考查的特色，彰顯基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性和選拔性，整套試卷落實(shí)了《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》中的“一核、四層、四翼”的考查要求，落實(shí)了立德樹(shù)人的根本任務(wù)，有利于高校選拔優(yōu)秀人才，對(duì)中學(xué)素質(zhì)教育的實(shí)施具有積極的導(dǎo)向作用，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)開(kāi)展教育教學(xué)改革具有很好的促進(jìn)作用。

二、數(shù)學(xué)卷試題布局及特征分析

從附表可以看出，2022 年新高考Ⅱ卷共有8 道單項(xiàng)選擇題、4 道多項(xiàng)選擇題、4 道填空題和6 道解答題。選擇題第1、2、4、5、6、9、11 題，填空題第13 題，解答題第18 題、第19 題源于課本或者歷年高考真題，注重基礎(chǔ)，注重對(duì)基本方法的考查。第3 題、7 題、8 題、9 題、10 題、12題、15 題、16 題、17 題、18 題、20 題、21 題、22題都考到了函數(shù)與方程思想。第3 題、7 題、10題、11 題、15 題、16 題、20 題和21 題都考查了數(shù)形結(jié)合思想。第6 題、7 題、8 題、9 題、12 題、15 題、17 題、18 題、21 題和22 題都考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想。第14 題、17 題、21 題和22 題都考查了分類討論思想。解答題的考查內(nèi)容和順序有所調(diào)整，2021 年新高考Ⅱ卷解答題的順序?yàn)榈?7 題數(shù)列、18 題解三角形、19 題立體幾何、20 題解析幾何、21 題概率與統(tǒng)計(jì)、22 題函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，2022 年新高考Ⅱ卷解答題的順序?yàn)榈?7題數(shù)列、18 題解三角形、19 題概率與統(tǒng)計(jì)、20題立體幾何、21 題解析幾何、22 題函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，調(diào)整了立體幾何、解析幾何和概率與統(tǒng)計(jì)試題的順序。

附表：2022年全國(guó)新高考Ⅱ卷數(shù)學(xué)卷試題布局一覽表

三、部分試題賞析

例1（3 題）圖1 是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)AA′、BB′、CC′、DD′，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖2 是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中DD1、CC1、BB1、AA1是舉，OD1、DC1、CB1、BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為已知k1、k2、k3成公差為0.1 的等差數(shù)列，且直線OA的斜率為0.725，則k3=（ ）

圖1

圖2

A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9

解：由題設(shè)OD1=DC1=CB1=BA1=d，由題設(shè)CC1=k1DC1=k1d=（k3-0.2）d，BB1=k2CB1=（k3-0.1）d，AA1=k3BA1=k3d，又因?yàn)椋?/p>

解得k3=0.9，故選答案D.

【賞析】本題以中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)為背景，以探索創(chuàng)新情境為載體，考查了等差數(shù)列的定義、直線斜率的定義和解直角三角形，考生在讀懂題目的基礎(chǔ)上，抓住題目中的關(guān)鍵信息，設(shè)這些相等的步的數(shù)值為d，再根據(jù)舉步之比把舉用步表示，運(yùn)用等差數(shù)列的定義把k1和k2都用k3表示，再根據(jù)直線的斜率定義表示出直線OA的斜率，最后通過(guò)運(yùn)算可以求出k3的值。本題以中國(guó)建筑藝術(shù)文化為情境，以舉架結(jié)構(gòu)為載體，設(shè)計(jì)新穎，面向全體考生，重基礎(chǔ)、重創(chuàng)新、重生產(chǎn)和生活實(shí)際，考查了考生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。試題的設(shè)計(jì)讓考生感受到我國(guó)古代建筑文化的博大精深，體會(huì)到中國(guó)古建筑的對(duì)稱美與和諧美以及其中蘊(yùn)含的“注重現(xiàn)實(shí)和天人合一”的哲學(xué)思想。本題還可以引導(dǎo)考生通過(guò)了解中國(guó)古代建筑文化，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)方法在認(rèn)識(shí)改造現(xiàn)實(shí)世界中的重要作用，體現(xiàn)了理性思維、數(shù)學(xué)文化的學(xué)科素養(yǎng)和數(shù)學(xué)的人文價(jià)值，落實(shí)了應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求，落實(shí)了數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的整體育人功能，落實(shí)了立德樹(shù)人的根本任務(wù)。

例2（7 題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）

A.100π B.128π C.144π D.192π

圖3

設(shè)球的半徑為R，則軸截面中由幾何知識(shí)可得解得R=5，所以該球的表面積為4πR2=4π×25=100π.

故選：A.

【賞析】試題以正三棱臺(tái)的外接球?yàn)楸尘?，以課程學(xué)習(xí)情境為載體，棱臺(tái)的外接球問(wèn)題在近五年的全國(guó)各省市高考題中均沒(méi)出現(xiàn)過(guò)，因此說(shuō)本題背景具有一定的新穎性，需要考生將學(xué)過(guò)的處理棱錐的外接球的方法遷移過(guò)來(lái)，即將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，最后將幾何量集中在一個(gè)梯形中。本題考查了正弦定理、正三棱臺(tái)的幾何性質(zhì)、球的幾何性質(zhì)以及球的表面積公式，體現(xiàn)了高考試題注重在知識(shí)交匯處命題的特點(diǎn)，難度比較大。本題以課程學(xué)習(xí)情境為載體，對(duì)考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力有比較高的要求，具有很好的區(qū)分度和選拔功能。

例3（8 題）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y），f（1）=1，則

【賞析】本題是一道抽象函數(shù)問(wèn)題，以探索創(chuàng)新情境為載體，要求考生在讀懂題目的基礎(chǔ)上，通過(guò)推理論證得出函數(shù)f（x）的周期，計(jì)算出該抽象函數(shù)的部分函數(shù)值，從而得出解答.本題考查了考生的邏輯思維能力與運(yùn)算求解能力，具有很好的區(qū)分度。

例4（10 題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線C：y2=2px（p＞0）焦點(diǎn)F的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)M（p，0）.若，則（ ）

A.直線AB的斜率為

D.∠OAM+∠OBM＜180°

解法1：如圖4，

圖4

【賞析】試題考查了拋物線的焦點(diǎn)弦和焦半徑的性質(zhì)，以課程學(xué)習(xí)情境為載體，考查了考生對(duì)直線與拋物線的通性通法的掌握情況；考查了數(shù)形結(jié)合思想及化歸與轉(zhuǎn)化思想；考查了運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力；考查了考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題在課本中有相關(guān)例子，本題立足于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的考查，注重對(duì)關(guān)鍵能力的考查，突出對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，試題解法多樣，有利于不同學(xué)習(xí)程度的考生作答，試題具有很好的區(qū)分度和選拔功能。

【賞析】試題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究曲線的切線方程，以課程學(xué)習(xí)情境為載體，考查了分類討論思想、函數(shù)的對(duì)稱性、運(yùn)算求解能力、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。試題設(shè)計(jì)了兩空，加大了試題的區(qū)分度，題目側(cè)重于對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)的理解和應(yīng)用，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的教學(xué)具有積極的引導(dǎo)作用。

例6（17 題）已知｛an｝是等差數(shù)列，｛bn｝是公比為2 的等比數(shù)列，且a2-b2=a3-b3=b4-a4.

（1）證明：a1=b1；

解：（1）證明：設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d，

【評(píng)析】本題以課程學(xué)習(xí)情境為載體，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、集合以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性?？疾榭忌鷮?duì)數(shù)列、集合與函數(shù)等高中數(shù)學(xué)必備知識(shí)的掌握程度和靈活應(yīng)用能力。本題體現(xiàn)了高考試題注重在知識(shí)交匯處命題的特點(diǎn)，考查了運(yùn)算求解能力和邏輯思維能力，對(duì)高中數(shù)學(xué)數(shù)列部分的教學(xué)有積極的導(dǎo)向作用。

例7（19 題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100 位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20，70）的概率；

（3）已知該地區(qū)這種疾病的患者的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40，50）的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40，50），求此人患這種疾病的概率（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001.）.

解：（1）由頻率分布直方圖得該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡為：=5×0.001×10+15×0.002×10+25×0.012×10+45 ×0.023 ×10+55 ×0.020×10+65×0.017×10+75 ×0.006 ×10+85 ×0.002×10=47.9歲.

（2）該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間【20，70）的頻率為：（0.012+0.017+0.023+0.020+0.017）×10=0.89，

∴估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間【20，70），的概率為0.89.

（3）設(shè)從該地區(qū)中任選一人，此人的年齡位于區(qū)間【40，50）為事件B，此人患這種疾病為事件C，則0.0014.

【賞析】試題以某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查為背景，體現(xiàn)了命題以社會(huì)生活實(shí)踐情境為載體。第（1）問(wèn)和第（2）問(wèn)旨在考查考生對(duì)頻率分布直方圖的理解和掌握情況以及用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體數(shù)字特征、用頻率估計(jì)概率的方法。第（3）問(wèn)考查了條件概型的應(yīng)用，著力考查了考生的閱讀理解能力、分析和處理數(shù)據(jù)的能力、運(yùn)算求解能力；考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)；考查了考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。本題可以使考生體會(huì)到概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)在社會(huì)生活實(shí)踐中的應(yīng)用價(jià)值，對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)學(xué)的教學(xué)改革具有促進(jìn)作用。

（1）求C的方程；

（2）過(guò)F的直線與C的兩條漸近線分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1＞x2＞0，y＞0.過(guò)P且斜率為的直線與過(guò)Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.①M(fèi)在AB上；②PQ∥AB；③

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

y，其中k為直線PQ的斜率；

若選擇①②：設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2），并設(shè)A的坐標(biāo)為（x3，y3），B的坐標(biāo)為（x4，y4），

若選擇①③：

當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)M即為點(diǎn)F（2，0），此時(shí)不在直線上，矛盾，當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)AB直線的方程為y=m（x-2）（m≠0），并設(shè)A的坐標(biāo)為（x3，y3），B的坐標(biāo)為（x4，y4），

因此PQ∥AB.

若選擇②③：設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2），并設(shè)A的坐標(biāo)為（x3，y3），B的坐標(biāo)為（x4，y4），

即點(diǎn)M恰為AB中點(diǎn)，故點(diǎn)M在直線AB上.

【賞析】本題是一道結(jié)構(gòu)不良試題，以探索創(chuàng)新情境為載體。這道題的模式是給出三個(gè)條件，讓考生選擇把其中兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，并進(jìn)行證明。本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系；考查了設(shè)而不求思想、方程思想以及化歸與轉(zhuǎn)化思想；考查了運(yùn)算求解能力和邏輯思維能力，具有很好的選拔功能，落實(shí)了服務(wù)選才的功能。