沖擊載荷下平板玻璃裂紋擴(kuò)展和破壞形態(tài)的數(shù)值模擬

王木飛，李志強(qiáng)

（1. 太原理工大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院應(yīng)用力學(xué)研究所, 山西 太原 030024；2. 山西省材料強(qiáng)度與結(jié)構(gòu)沖擊重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 山西 太原 030024；3. 力學(xué)國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心, 山西 太原 030024）

玻璃材料具有高強(qiáng)度、高透光性、低密度、耐高溫等優(yōu)異的性能，在民用建筑、運(yùn)輸工具、航空航天等各個(gè)行業(yè)得到了廣泛的應(yīng)用。在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中，使用最普遍的玻璃類型是平板鈉鈣玻璃，研究其在強(qiáng)載荷下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)具有重要的意義。在理論方面，Krauthammer 等[1]采用等效厚度和等效剛度將玻璃結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化成等效單自由度質(zhì)量-彈簧模型進(jìn)行研究；Yuan[2]等將玻璃結(jié)構(gòu)在空中爆炸載荷作用下的響應(yīng)解耦為玻璃的彈性變形和PVB 的大塑性變形兩個(gè)變形階段。在實(shí)驗(yàn)方面，Holmquist 等[3]進(jìn)行了較大應(yīng)變率范圍內(nèi)無(wú)機(jī)玻璃的平板撞擊實(shí)驗(yàn)，得到其狀態(tài)參數(shù)；Daryadel 等[4]使用改進(jìn)的分離式霍普金森壓桿（split Hopkinson pressure bar，SHPB）研究了4 種不同的無(wú)機(jī)玻璃的動(dòng)態(tài)壓縮行為，得到其壓縮強(qiáng)度、能量吸收值和最大失效應(yīng)變。在數(shù)值模擬方面，裂紋擴(kuò)展問(wèn)題是計(jì)算力學(xué)領(lǐng)域長(zhǎng)期存在的難點(diǎn)和熱點(diǎn)。雖然有限元法在傳統(tǒng)應(yīng)力分析方面具有很大的優(yōu)勢(shì)，但是對(duì)材料失效斷裂方面的模擬略顯不足。這種不足源于經(jīng)典連續(xù)力學(xué)理論控制方程中的偏微分方程，在裂紋尖端和裂紋面上會(huì)遇到偏微分方程空間導(dǎo)數(shù)不存在的情況，造成裂紋尖端應(yīng)力的奇異性。為了解決上述數(shù)值求解上的困難，一方面，人們提出了帶有失效準(zhǔn)則的單元?jiǎng)h除法[5]、節(jié)點(diǎn)分離法[6]和擴(kuò)展有限元法[7]等多種有限元數(shù)值處理手段；另一方面，為了避免模擬多條裂紋帶來(lái)的數(shù)值不穩(wěn)定，人們采用諸如近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)（peridynamic，PD）[8]、離散元法（discrete element method，DEM）[9]、光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)（smoothed particle hydrodynamics，SPH）法[10]等無(wú)網(wǎng)格方法。例如：Sun 等[11]、Nie 等[12]利用SHPB 對(duì)玻璃材料開(kāi)展高應(yīng)變率動(dòng)態(tài)加載實(shí)驗(yàn)，并利用斷裂損傷力學(xué)方法，考慮損傷演化的本構(gòu)關(guān)系，結(jié)合有限元方法（finite element method，F(xiàn)EM），對(duì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了數(shù)值模擬；Zang 等[13]采用SPH 與FEM 相耦合的方法模擬玻璃碎片的飛濺過(guò)程；Deng 等[14]采用多物質(zhì)ALE 方法對(duì)中空玻璃幕墻的抗爆特性進(jìn)行了大規(guī)模計(jì)算模擬；Bobaru 等[15]根據(jù)Bless 等[16]的實(shí)驗(yàn)方案和結(jié)果，使用PD 對(duì)多層鈉鈣玻璃在高速?zèng)_擊載荷下的損傷進(jìn)行了系統(tǒng)研究；Ren 等[17]在用鍵基PD 模擬動(dòng)態(tài)脆性失效分析中應(yīng)用了三維不連續(xù)伽遼金有限元方法，對(duì)沖擊載荷下框支玻璃的動(dòng)態(tài)裂紋擴(kuò)展進(jìn)行了數(shù)值模擬。

研究人員對(duì)玻璃材料的理論計(jì)算、實(shí)驗(yàn)分析和數(shù)值模擬的處理手段豐富，取得了很多優(yōu)異的成果。但是，玻璃材料在沖擊荷載下的細(xì)觀裂紋數(shù)值模擬研究尚不全面，鮮有文獻(xiàn)將不同算法的模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比研究。本工作將采用單元?jiǎng)h除法、不連續(xù)伽遼金近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)（discontinuous Galerkin peridynamic，DG-PD）法和無(wú)網(wǎng)格粒子近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)（meshless peridynamic，M-PD）法，以常見(jiàn)的平板玻璃板為例，研究其在子彈沖擊載荷作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。通過(guò)定量定性分析，對(duì)比單元?jiǎng)h除法、DG-PD 法和M-PD 法在模擬裂紋擴(kuò)展方面的特點(diǎn)，并結(jié)合相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)結(jié)果的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 單元?jiǎng)h除法在平板玻璃中的應(yīng)用

單元?jiǎng)h除法是指模型中的單元滿足預(yù)先設(shè)定的失效準(zhǔn)則時(shí)，程序會(huì)自動(dòng)刪除相應(yīng)的單元和節(jié)點(diǎn)，當(dāng)一系列單元和節(jié)點(diǎn)被刪除而相互貫通后就形成了可視的裂紋路徑。其中，最常用的方式是添加最大主應(yīng)力、最大主應(yīng)變或最大拉應(yīng)力等失效準(zhǔn)則，在加載過(guò)程中若滿足任何一種預(yù)置的失效準(zhǔn)則，則材料發(fā)生破壞；另一種方式是采用有限元軟件中自帶失效準(zhǔn)則的材料模型，將失效準(zhǔn)則嵌入相應(yīng)的材料本構(gòu)，無(wú)需添加額外的失效準(zhǔn)則。單元?jiǎng)h除法在一定程度上適合模擬玻璃材料的損傷破壞，刪除的單元可被看作產(chǎn)生裂紋。單元?jiǎng)h除法雖然操作簡(jiǎn)單，計(jì)算效率較高，但是無(wú)法保證系統(tǒng)的質(zhì)量、能量和動(dòng)量守恒，使得體系的運(yùn)動(dòng)控制方程不成立，從而很難準(zhǔn)確地反映真實(shí)的材料特性。為了模擬出裂紋的細(xì)觀特征，應(yīng)設(shè)置合適的網(wǎng)格密度和材料失效閾值，以確保網(wǎng)格在合適的時(shí)候才被刪除，從而提高模擬結(jié)果的精確度。

1.1 有限元模型

使用TrueGrid 軟件作為前處理器進(jìn)行參數(shù)化模型的建立，整個(gè)模型結(jié)構(gòu)采用kg-mm-ms 單位制。單層平板玻璃的尺寸為600 mm×600 mm×6 mm（長(zhǎng)×寬×厚），模型四周采用30 mm 寬的框支結(jié)構(gòu)固定邊界。玻璃部件的面內(nèi)網(wǎng)格尺寸為3 mm×3 mm，考慮到玻璃材料彎曲效應(yīng)的影響，在玻璃厚度方向劃分為3 層網(wǎng)格，沖擊頭采用常規(guī)子彈形狀。整個(gè)結(jié)構(gòu)的有限元模型及彈頭放大圖如圖1 所示。

圖1 有限元模型及彈頭放大圖Fig. 1 Finite element model and enlarged view of the bullet

為了研究單層平板玻璃在不同子彈沖擊速度下的動(dòng)態(tài)損傷行為，分別采用帶有失效準(zhǔn)則的單元?jiǎng)h除法和PD 法進(jìn)行數(shù)值模擬。玻璃屬于微彈脆性材料，在發(fā)生破壞時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)變很小，為了能夠直觀地觀察裂紋演化過(guò)程，在單元?jiǎng)h除法、DG-PD 法和M-PD 法中分別采用最大主應(yīng)變?cè)茍D、等效塑性應(yīng)變和損傷因子表示損傷程度。

1.2 材料模型和損傷準(zhǔn)則

目前，模擬玻璃、陶瓷等脆性材料時(shí)使用最廣泛的動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型是Johnson 和Holmquist 共同提出的*MAT_JOHNSON_HOLMQUIST_CERAMICS（JH-2）模型，它能夠很好地反映脆性材料在高應(yīng)力、大變形下的動(dòng)態(tài)破壞行為。該模型描述的損傷演化進(jìn)程為：加載初期，材料表現(xiàn)為彈性性質(zhì)；當(dāng)應(yīng)力達(dá)到預(yù)先設(shè)定的屈服極限時(shí)，材料開(kāi)始出現(xiàn)損傷；當(dāng)損傷達(dá)到一定程度時(shí)，材料出現(xiàn)破碎。采用JH-2 材料模型和單元?jiǎng)h除法，同時(shí)施加最大主應(yīng)變和最大主應(yīng)力失效準(zhǔn)則來(lái)模擬裂紋的擴(kuò)展，最大主應(yīng)變和最大主應(yīng)力分別設(shè)為0.001 2 和65 MPa[18]。

在JH-2 材料模型中，陶瓷等類型材料的等效屈服應(yīng)力σ*可以表示為

表1 玻璃材料JH-2 材料模型參數(shù)[6]Table 1 JH-2 material model parameters of glass material[6]

邊框和彈頭均選用鋼材料，采用LS-DYNA 中的剛體材料模型描述，表2 給出了邊框和彈頭的剛體材料模型參數(shù)，其中：ν 為泊松比，E為彈性模量。

表2 邊框和彈頭剛體材料模型參數(shù)Table 2 Rigid body material model parameters of frame and bullet

1.3 裂紋擴(kuò)展和破壞形態(tài)

為了探究平板玻璃在子彈沖擊載荷下的裂紋擴(kuò)展和破壞模式，結(jié)合單元?jiǎng)h除法和JH-2 材料模型進(jìn)行數(shù)值模擬分析，彈體的沖擊速度分別為5、8、12 和15 m/s。為了直觀展現(xiàn)平板玻璃裂紋萌生、擴(kuò)展進(jìn)程，圖2 給出了15 m/s 沖擊速度下迎撞面和背撞面的損傷演化過(guò)程。由圖2 可以看出：?jiǎn)卧獎(jiǎng)h除法呈現(xiàn)出明顯的十字形裂紋，沖擊接觸區(qū)域出現(xiàn)空洞，但受自身算法的限制，并未出現(xiàn)玻璃碎片飛濺；裂紋在沖擊接觸點(diǎn)萌生，并不斷向前擴(kuò)展，與唐劍[6]采用1/4 對(duì)稱模型所得模擬結(jié)果不同的是，裂紋并非完全對(duì)稱，且擴(kuò)展的先后順序和長(zhǎng)短略有不同；背撞面在4 ms 時(shí)刻出現(xiàn)十字形裂紋，明顯早于迎撞面。這可能是由于在玻璃厚度方向劃分了多層網(wǎng)格，從而考慮了其彎曲效應(yīng)，再疊加四周夾支的邊界條件，產(chǎn)生了反射拉伸波，進(jìn)而造成背撞面損傷加劇。

圖2 迎撞面和背撞面的損傷演化Fig. 2 Damage evolution of the top face and bottom face

圖3 從定性角度展示了上述4 種不同沖擊速度下平板玻璃的最終損傷模態(tài)。沖擊速度為5 m/s時(shí)，彈頭和玻璃接觸處僅有淡淡的彈痕，未見(jiàn)裂紋萌生；沖擊速度為8 m/s 時(shí)，出現(xiàn)明顯的十字形裂紋，彈頭未沖破玻璃而出現(xiàn)反彈現(xiàn)象；沖擊速度為12 m/s 時(shí)，裂紋出現(xiàn)分叉現(xiàn)象，彈頭微微嵌入玻璃內(nèi)部；沖擊速度為15 m/s 時(shí)，裂紋的對(duì)稱性較好，彈頭穿過(guò)玻璃，且邊框處損傷較嚴(yán)重。由此可見(jiàn)，采用單元?jiǎng)h除法模擬得到的玻璃裂紋主要以十字形裂紋形式擴(kuò)展，在損失質(zhì)量的前提下會(huì)造成裂紋的不穩(wěn)定性。

圖3 不同沖擊速度下平板玻璃的最終損傷模態(tài)Fig. 3 Final damage of glass plates at different impact velocities

圖4 從定量角度展示了不同沖擊速度下?lián)p傷參數(shù)的對(duì)比。從玻璃和彈頭接觸區(qū)域損傷面積來(lái)看，5 m/s 速度下的玻璃幾乎未受到破壞；8～12 m/s 速度下區(qū)域損傷面積的變化不大；而15 m/s 速度下玻璃在彈頭的貫穿作用下，損傷面積明顯增大。從玻璃最大裂紋擴(kuò)展距離來(lái)看，5～8 m/s 速度下，最大裂紋擴(kuò)展距離與速度大小正相關(guān)，8～15 m/s 速度下裂紋增長(zhǎng)幅度很小。在沖擊速度增大的過(guò)程中，玻璃結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力和應(yīng)變也隨之增大，當(dāng)達(dá)到預(yù)設(shè)的損傷閾值時(shí)，材料開(kāi)始斷裂。從子彈嵌入深度來(lái)看，在低于8 m/s 的沖擊速度下，子彈將出現(xiàn)與速度正相關(guān)的反彈距離；隨著沖擊速度繼續(xù)增大到12 m/s 時(shí)，彈頭將嵌入玻璃內(nèi)部；15 m/s 的沖擊速度下，子彈完全貫穿玻璃。

圖4 不同沖擊速度下?lián)p傷參數(shù)的對(duì)比Fig. 4 Comparison of damage parameters at different impact velocities

綜上所述，彈頭的沖擊速度對(duì)玻璃的裂紋擴(kuò)展和破壞模態(tài)具有重要的影響；單元?jiǎng)h除法可以在一定程度上模擬出玻璃結(jié)構(gòu)的損傷形態(tài)，且計(jì)算效率較高，但是在捕捉裂紋分叉、貫通等細(xì)觀方面的精確度不高。值得注意的是，模擬30、50 m/s 等中高速下單層平板玻璃的破壞時(shí)，網(wǎng)格畸變和單元負(fù)體積會(huì)造成計(jì)算終止，捕捉的裂紋形態(tài)也很不理想。由此可見(jiàn)，單元?jiǎng)h除法在模擬中高速材料損傷破壞方面存在一定的缺陷。

2 DG-PD 法在平板玻璃中的應(yīng)用

傳統(tǒng)的有限單元離散是一種連續(xù)的網(wǎng)格劃分，相鄰單元之間共享節(jié)點(diǎn)和邊界，阻止了單元之間的分離，從而無(wú)法進(jìn)行斷裂模擬。而不連續(xù)伽遼金有限單元中的相鄰單元各自擁有獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)，在斷裂發(fā)生前，它們的節(jié)點(diǎn)位置相互重合，斷裂發(fā)生后，每個(gè)單元擁有各自的節(jié)點(diǎn)。而在使用有限單元離散PD 模型時(shí)，只有單元的高斯點(diǎn)之間具有鍵的連接關(guān)系，模擬斷裂時(shí)，也只考慮高斯點(diǎn)之間的鍵是否斷裂。圖5 為二維有限單元斷裂前后的節(jié)點(diǎn)分離示意圖。雖然不連續(xù)伽遼金法比傳統(tǒng)的有限元網(wǎng)格增加了節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，但是相比經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)模型，在PD 模型中引入不連續(xù)伽遼金單元有其天然的優(yōu)越性。因?yàn)榻?jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論包含了位移的導(dǎo)數(shù)，而PD 理論不需要包含位移的導(dǎo)數(shù)，且不連續(xù)伽遼金單元離散在單元邊界處允許位移的不連續(xù)。如果在經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)模型中應(yīng)用不連續(xù)伽遼金單元以模擬斷裂問(wèn)題，就需要考慮單元與單元邊界處的通量約束，從而大幅增加計(jì)算的復(fù)雜度。

圖5 二維有限單元斷裂前后的節(jié)點(diǎn)分離示意圖Fig. 5 Node separation before and after fracture of 2D finite elements

2.1 有限元模型和材料參數(shù)

采用與1.1 節(jié)中相同的有限元模型，采用DG-PD 方法研究平板玻璃的抗沖擊性能，邊框和彈頭保持原有模型不變，唯一不同的是需要對(duì)平板玻璃進(jìn)行節(jié)點(diǎn)分離。節(jié)點(diǎn)分離操作會(huì)造成節(jié)點(diǎn)增多，與單元?jiǎng)h除法相比，計(jì)算量會(huì)明顯地增大。LS-DYNA 提供了簡(jiǎn)單的節(jié)點(diǎn)分離操作，只需對(duì)目標(biāo)部件中的節(jié)點(diǎn)集進(jìn)行Detach 前處理即可。玻璃材料的DG-PD 模型的關(guān)鍵參數(shù)如表3 所示[15]，其中：Gt為臨界斷裂能量釋放率；HSFAC 表示標(biāo)準(zhǔn)化的支持域大小，LS_DYNA 會(huì)自動(dòng)調(diào)整HSFAC，確保材料點(diǎn)合適的鄰域。這里，最重要的是斷裂失效準(zhǔn)則的選取，即斷裂能量釋放率，而臨界能量釋放率與臨界伸長(zhǎng)率直接相關(guān)，當(dāng)伸長(zhǎng)率超過(guò)臨界值時(shí)，點(diǎn)對(duì)之間的鍵就不再有相互作用，并且不可恢復(fù)。

表3 玻璃材料DG-PD 材料模型參數(shù)Table 3 DG-PD material model parameters of glass material

2.2 裂紋擴(kuò)展和破壞形態(tài)

采用DG-PD 法對(duì)平板玻璃的抗沖擊性能進(jìn)行數(shù)值模擬，采用等效塑性應(yīng)變反映損傷狀態(tài)。圖6、圖7、圖8、圖9 分別給出了彈體沖擊速度為5、15、30、50 m/s 時(shí)不同時(shí)刻玻璃迎撞面的損傷演化。5 m/s 沖擊速度下，玻璃出現(xiàn)輕微的十字形裂紋，彈頭與玻璃接觸的局部區(qū)域損傷嚴(yán)重；15 m/s 沖擊速度下，十字形裂紋擴(kuò)展到玻璃結(jié)構(gòu)邊界處，破壞程度進(jìn)一步加大，有數(shù)道裂紋開(kāi)始相互交叉和貫通；30 m/s 沖擊速度下，玻璃呈現(xiàn)復(fù)雜的破壞模式，中心點(diǎn)損傷嚴(yán)重，產(chǎn)生大量的粒子碎片，邊框處出現(xiàn)環(huán)狀裂紋，玻璃內(nèi)部多條裂紋分叉、貫通，細(xì)節(jié)捕捉效果較好；50 m/s 沖擊速度下，中心點(diǎn)損傷區(qū)域進(jìn)一步擴(kuò)大，裂紋的數(shù)量明顯增多，大量粒子開(kāi)始飛濺。

圖6 5 m/s 沖擊速度下迎撞面的損傷演化Fig. 6 Damage evolution of the impact face at the impact velocity of 5 m/s

圖7 15 m/s 沖擊速度下迎撞面的損傷演化Fig. 7 Damage evolution of the top face at the impact velocity of 15 m/s

圖8 30 m/s 沖擊速度下迎撞面的損傷演化Fig. 8 Damage evolution of the top face at the impact velocity of 30 m/s

圖9 50 m/s 沖擊速度下迎撞面的損傷演化Fig. 9 Damage evolution of the impact face at the impact velocity of 50 m/s

綜上所述，彈頭沖擊速度對(duì)平板玻璃的裂紋擴(kuò)展和破壞模式有很大的影響，玻璃結(jié)構(gòu)整體以十字形裂紋為主，隨著速度的不斷增大，裂紋擴(kuò)展形式逐漸復(fù)雜化。此外，與單元?jiǎng)h除法相比，DG-PD 法不僅保證了結(jié)構(gòu)的質(zhì)量守恒，還可以捕捉到玻璃碎片的飛濺，裂紋擴(kuò)展形式更加多樣。

圖10 給出了不同沖擊速度下中心點(diǎn)單元的速度變化曲線。從圖10 可以看出，在5～15 m/s的低速?zèng)_擊下，單元速度會(huì)在短時(shí)間內(nèi)急速增大至與彈頭相同的速度，并保持相對(duì)長(zhǎng)的一段時(shí)間；在30、50 m/s 相對(duì)高速?zèng)_擊下，單元速度在短時(shí)間內(nèi)提升至42、59 m/s，略高于彈頭的沖擊速度，并在此速度下來(lái)回振蕩。這可能是由于在高速?zèng)_擊下單元和彈頭不再接觸而出現(xiàn)了分離，導(dǎo)致單元的進(jìn)一步加速。此外，隨著彈頭沖擊速度增大，單元速度增至最大速度所需的時(shí)間降低。由此可以解釋1.2 節(jié)中在中高速?zèng)_擊下單元?jiǎng)h除法算法不穩(wěn)定的原因，更加突出了DG-PD 數(shù)值算法的穩(wěn)定性。

圖10 采用DG-PD 法得到的不同沖擊速度下中心點(diǎn)單元的速度變化Fig. 10 Velocity change of center element obtained by DG-PD method at different impact velocities

3 M-PD 法在平板玻璃中的應(yīng)用

M-PD 法是基于離散粒子方法建立模型，并賦予這些粒子質(zhì)量密度、速度、體積（V）等物料信息。粒子間以非局部力的方式在一定范圍內(nèi)相互作用，這些長(zhǎng)程力中包含了材料所有的本構(gòu)關(guān)系，圖11 為M-PD 非局部相互作用示意圖。通常情況下，采取施加臨界伸長(zhǎng)率S0來(lái)模擬玻璃結(jié)構(gòu)的損傷破壞行為，并通過(guò)物質(zhì)點(diǎn)已破壞的鍵與所有鍵的比值體現(xiàn)材料的損傷程度。此外，與DG-PD 法相比，M-PD 法無(wú)需進(jìn)行單元節(jié)點(diǎn)分離操作。

圖11 M-PD 非局部相互作用示意圖Fig. 11 Schematic diagram of M-PD non-local interaction

3.1 粒子模型和材料參數(shù)

對(duì)1.1 節(jié)中的平板玻璃結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行“.k”文件的python 讀寫操作，將有限元模型中的每個(gè)單元節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)中相應(yīng)的離散粒子形式，包含坐標(biāo)、體積和材料編號(hào)等物料信息，即(x,y,z,V, Block_ID)。與直接建立離散粒子模型相比，對(duì)有限元模型讀寫操作的轉(zhuǎn)換更適合于復(fù)雜粒子模型的建立。邊界條件的確定與上述兩種方法略有區(qū)別，采用的是對(duì)玻璃部件邊緣30 mm 處的粒子，以約束所有的自由度來(lái)代替框支結(jié)構(gòu)，無(wú)網(wǎng)格粒子模型如圖12 所示。

圖12 M-PD 粒子模型及彈頭放大圖Fig. 12 M-PD particle model and enlarged view of the bullet

玻璃粒子離散間距設(shè)為 Δx=3 mm，近場(chǎng)半徑為δ=3.01Δx。根據(jù)彈性模量和近場(chǎng)半徑[15]計(jì)算出玻璃材料的微模量c=4.19×1019N/m6，得到鍵的臨界伸長(zhǎng)率S0=7.17×10-5。玻璃材料M-PD 模型的關(guān)鍵參數(shù)如表3、表4 所示。

表4 玻璃材料M-PD 材料模型參數(shù)Table 4 M-PD model parameters of glass

3.2 裂紋擴(kuò)展和破壞形態(tài)

采用M-PD 法對(duì)平板玻璃的抗沖擊性能進(jìn)行數(shù)值模擬，采用損傷因子D來(lái)反映損傷狀態(tài)。圖13展示了30 m/s 沖擊速度下平板玻璃的損傷演化?？梢钥闯?，玻璃構(gòu)件在彈頭的沖擊下出現(xiàn)裂紋萌生、擴(kuò)展和貫通等現(xiàn)象，沖擊點(diǎn)附近局部區(qū)域損傷最嚴(yán)重，并伴有徑向裂紋和環(huán)狀裂紋。0.4 ms 時(shí)，玻璃最先產(chǎn)生十字形裂紋；2.2 ms 時(shí)，出現(xiàn)大量徑向裂紋，邊框處開(kāi)始有輕微的損傷；7.2 ms 時(shí)，裂紋不斷向外擴(kuò)展，損傷程度也逐漸加重，向外延伸的裂紋相互貫通形成環(huán)狀裂紋，邊框處也形成一道明顯的環(huán)狀裂紋；20 ms 時(shí)，裂紋形狀幾乎沒(méi)有任何改變，只是損傷程度有所增強(qiáng)。

圖13 30 m/s 沖擊速度下迎爆面的損傷演化Fig. 13 Damage evolution images of the top face at the impact velocity of 30 m/s

3.3 近場(chǎng)域大小對(duì)平板玻璃動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響

近場(chǎng)域的大小是近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)的關(guān)鍵所在，對(duì)近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)與連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的接觸力模型做出了區(qū)分，從而避免了傳統(tǒng)有限元控制方程中微分的奇異性。為了探究近場(chǎng)域大小對(duì)平板玻璃動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響，以沖擊速度30 m/s 為例，分別模擬了常見(jiàn)的3 種粒子間距下平板玻璃的破壞情況，如圖14 所示。就損傷情況來(lái)看，2 倍粒子間距下的玻璃損傷程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)弱于3 倍和4 倍粒子間距，捕捉裂紋數(shù)量較少，而3 倍和4 倍粒子間距下的裂紋模態(tài)幾乎相同；就計(jì)算時(shí)長(zhǎng)來(lái)看，3 種工況的計(jì)算時(shí)長(zhǎng)為1.5、2.7 和5.2 h，隨著粒子間距的增大，所需的計(jì)算資源顯著增加。綜上所述，在保持計(jì)算精度的情況下，應(yīng)該盡量降低計(jì)算成本，故3 倍粒子間距是相對(duì)優(yōu)異的選擇，與文獻(xiàn)[8]中的觀點(diǎn)一致。

圖14 不同近場(chǎng)域大小下的平板玻璃損傷Fig. 14 Damage of glass plate under different horizon sizes

3.4 沖擊速度對(duì)平板玻璃動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響

沖擊速度對(duì)平板玻璃的損傷模式具有決定性的影響，是研究玻璃材料抗沖擊性能最直觀的體現(xiàn)。

圖15 不同沖擊速度下平板玻璃的最終損傷破壞Fig. 15 Final damage of glass plate at different impact velocities

4 結(jié) 論

采用3 種不同方法對(duì)平板玻璃在沖擊載荷下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值模擬，通過(guò)對(duì)比分析，得出以下結(jié)論。

(1) 單元?jiǎng)h除法作為經(jīng)典連續(xù)力學(xué)中模擬脆性材料的常用方法，可模擬玻璃在沖擊載荷下的主要形貌，即十字形裂紋，但在捕捉裂紋分叉和貫通等方面存在不足；低速?zèng)_擊下裂紋形貌的變化不大，而在中高速?zèng)_擊過(guò)程中，會(huì)出現(xiàn)網(wǎng)格畸變和計(jì)算不收斂的情況；模擬過(guò)程中未見(jiàn)玻璃碎片飛濺，無(wú)法通過(guò)碎片飛濺情況評(píng)估其安全性能。

(2) DG-PD 法進(jìn)一步豐富了裂紋的擴(kuò)展形式，可以同時(shí)模擬出低、中、高速下玻璃的裂紋擴(kuò)展模式，但商業(yè)軟件中的可選參數(shù)有限；通過(guò)DG-PD 法可以獲得明顯的環(huán)狀裂紋和徑向裂紋，且裂紋具有很高的對(duì)稱性，能捕捉到裂紋的分叉、貫通等現(xiàn)象；沖擊點(diǎn)和邊框處有大量玻璃碎片飛濺，通過(guò)監(jiān)測(cè)碎片飛濺情況，可為結(jié)構(gòu)防護(hù)提供參考。

(3) M-PD 法通過(guò)粒子的形式建立模型，可通過(guò)調(diào)節(jié)近場(chǎng)域、本構(gòu)模型和斷裂準(zhǔn)則等可選參數(shù)充分發(fā)揮近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)的優(yōu)勢(shì)；M-PD 法能捕捉到徑向裂紋和環(huán)狀裂紋，裂紋的對(duì)稱性較好，與DG-PD 法得到的模擬結(jié)果具有很高的一致性；對(duì)比單元?jiǎng)h除法和DG-PD 法獲得的損傷模態(tài)，并綜合考慮計(jì)算資源，近場(chǎng)域取3 倍粒子間距較為合適；低速?zèng)_擊下的裂紋形態(tài)單一，而高速?zèng)_擊下的裂紋擴(kuò)展形態(tài)復(fù)雜。