空爆載荷作用下固支彈塑性圓板的動力學(xué)模型

吳 迪，米 國，郭香華，張慶明

（北京理工大學(xué)機電學(xué)院, 北京 100081）

在結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)中，通常既有彈性變形，又有塑性變形，并且兩種變形場的分界面隨時間不斷發(fā)生變化，因此，在求解彈塑性動力響應(yīng)時，不僅需要對不同區(qū)域采用不同的本構(gòu)關(guān)系，還要處理復(fù)雜的動邊界問題。現(xiàn)有的關(guān)于結(jié)構(gòu)在強動載荷下響應(yīng)的理論研究[1-3]大多把材料假定為理想剛塑性，同時忽略材料的應(yīng)變強化效應(yīng)和應(yīng)變率效應(yīng)，從而簡化理論分析過程。Duffey[4]通過構(gòu)建板的初始動能等于塑性變形耗散能的能量守恒方程來計算固支圓板在爆炸載荷下的最終撓度，這種方法假定板的位移分布始終滿足形函數(shù)，并且徑向位移的影響可以忽略。然而這一假設(shè)僅在小撓度情況下是合理的，當(dāng)板的中心點撓度與板的厚度為同量級甚至存在幾十倍差異時，膜力效應(yīng)將逐漸顯著，甚至超過彎矩效應(yīng)而在抵抗板的變形中起主導(dǎo)作用。

Nurick 等[5]指出，忽略徑向位移對估算平板撓度的影響不大，但會導(dǎo)致計算的膜應(yīng)變分布與試驗獲得的應(yīng)變分布相反，即中心小、外圍大，為此提出了一個考慮徑向位移的理論模型，得到了與試驗結(jié)果吻合的膜應(yīng)變分布。Jones[6]提出了一種同時考慮彎矩和膜力的理論方法，用以描述在彎矩和膜力都很重要的撓度范圍內(nèi)剛塑性圓板的力學(xué)行為，比較準(zhǔn)確地預(yù)測了Florence[7]記錄的簡支圓板在均勻載荷作用下的最終變形。然而這種近似理論分析雖然同時考慮了板的膜效應(yīng)和彎曲效應(yīng)，但沒有考慮它們的聯(lián)合效應(yīng)，即彎曲效應(yīng)和膜效應(yīng)是解耦的。Cloete 等[8]考慮徑向位移并將彎曲應(yīng)變和膜應(yīng)變耦合處理，提出了剛塑性薄圓板在沖擊載荷下的解析解，但沒有考慮結(jié)構(gòu)的彈性響應(yīng)。

近年來，研究人員開始將研究重點轉(zhuǎn)移到薄板大撓度變形的彈性效應(yīng)上。Campbell 等[9]研究了集中力作用下固支梁響應(yīng)的理論模型，將梁的響應(yīng)分為3 個階段，即彈性階段、彈塑性階段和塑性階段，并基于力矩平衡構(gòu)建了梁在不同階段的載荷-位移關(guān)系式，但模型中沒有考慮卸載階段。Karagiozova 等[10]研究了固支圓板在準(zhǔn)靜態(tài)均布載荷下的彈塑性響應(yīng)，基于能量法得到了圓板在加載和卸載階段的載荷-位移關(guān)系式。

等效單自由度（single degree-of-freedom，SDOF）模型簡單實用，輸入?yún)?shù)相對較少，在工程中常用于預(yù)測結(jié)構(gòu)在爆炸載荷作用下的動力響應(yīng)。SDOF 模型由Biggs[11]提出，其基本物理量是等效質(zhì)量、等效剛度和等效抗力等。

戰(zhàn)場上裝甲車輛防護的根本目標(biāo)是避免乘員受到致命傷害，因此車輛結(jié)構(gòu)在爆炸載荷作用下的變形不能過大，否則艙內(nèi)超壓及結(jié)構(gòu)碰撞形成的破片都將危及乘員生命。研究鋼板在爆炸載荷下的彈塑性響應(yīng)對于裝甲車輛防雷結(jié)構(gòu)設(shè)計具有重要意義。本研究針對固支彈塑性圓板在空中近爆載荷作用下的變形，建立其加載和卸載全過程的動力學(xué)模型，研究彎矩和膜力聯(lián)合承載范圍內(nèi)的撓度。鋼板承受的載荷并非均勻分布，爆轟產(chǎn)物首先作用于固支圓板的中心，隨后擴散并作用于整個圓板表面，因此，圓板中心撓度最大且最先進入塑性階段，并迅速向板邊界擴散。本研究的工況中圓板最終僅發(fā)生彈塑性大變形，而未發(fā)生破壞?；谖墨I[12]中的試驗工況建立有限元模型，通過有限元數(shù)值模擬得到空爆作用下固支圓板的動態(tài)響應(yīng)，對比動力學(xué)模型計算結(jié)果、試驗結(jié)果及數(shù)值模擬結(jié)果，驗證動力學(xué)模型的有效性，研究結(jié)果可以應(yīng)用于固支圓板在空中近爆載荷作用下的大變形預(yù)測。

1 動力學(xué)模型推導(dǎo)

1.1 載荷等效

空中近爆作用下，作用在板上的爆炸沖擊載荷具有明顯的時空分布?？刹捎媚芰康刃У姆椒▽⒉痪鶆蜉d荷轉(zhuǎn)化為等效均勻載荷[13]。近爆作用下結(jié)構(gòu)上的爆炸沖擊載荷達到峰值的時間差別很小，因此，可以假設(shè)載荷只有空間分布，即圓板上各點載荷隨時間變化的函數(shù)一致，如圖1 所示。

圖1 載荷等效示意圖Fig. 1 Equivalent load diagram

圖2 式 (4)和 式 (5)的計算結(jié)果對比Fig. 2 Comparison of calculation results between Eq. (4) and Eq. (5)

式中：H為圓板的初始厚度。

1.2 屈服條件

當(dāng)板撓度的量級超過板厚度時，膜力和彎矩的作用同樣重要，板元的受力分析如圖3 所示，其中：Nr為徑向膜力，Nθ為周向膜力，Mr為徑向彎矩，Mθ為周向彎矩。

圖3 板元受力分析Fig. 3 Force analysis of plate microelement

因此，如圖4 所示，采用彎矩和膜力聯(lián)合承載的屈服條件[15]

圖4 彎矩和膜力聯(lián)合承載的屈服條件Fig. 4 Yield condition of combined bending moment and membrane force

1.3 加載階段的應(yīng)力場和變形能場

固支圓板發(fā)生大變形過程中，除了形成較大的橫向撓度外，還會發(fā)生徑向和周向位移，其應(yīng)變分布為

當(dāng)固支圓板發(fā)生足夠大的橫向位移時，根據(jù)彎矩與膜力之間的不同關(guān)系，沿板的半徑可以定義3 個區(qū)域：彈性區(qū)、塑性膜區(qū)、彎矩與膜力聯(lián)合承載的塑性區(qū)，如圖5 所示。最靠近邊界的區(qū)域，即RP＜r≤R區(qū)域，為彈性區(qū)。彈性區(qū)以外的區(qū)域都是塑性區(qū)，滿足屈服條件，即式 (7) 和式 (8)，其中：0≤r≤RPN區(qū)域滿足N=n0，M= 0，結(jié)構(gòu)進入塑性流動，此時僅膜力參與承載，也就是塑性膜區(qū)域；而RPN＜r≤RP區(qū)域則是彎矩與膜力聯(lián)合參與承載的塑性區(qū)。

圖5 固支圓板發(fā)生彈塑性大變形后的應(yīng)力場分布Fig. 5 Stress field of clamped circular plate after large elastic-plastic deformation

半徑RP沿圓板半徑r分隔彈性和塑性區(qū)域，將式 ( 14) 和式( 15) 代入式( 7)可以求得

圖6 加載階段的等效質(zhì)量-彈簧-阻尼模型Fig. 6 Equivalent mass-spring-damper model in loading

1.3.1 彈性區(qū)加載

1.4 卸載階段的應(yīng)力場和變形能場

在爆炸加載過程中，彈性變形和塑性變形均隨外力增大而增大，外力卸載后，彈性變形可以恢復(fù)，塑性變形不能恢復(fù)，且塑性變形不積累變形能。與彈塑性有限元原理類似，本研究假設(shè)彈性變形與塑性變形不耦合，彈性變形積累的彈性勢能與塑性變形耗散能互不影響，具有各自獨立的分布規(guī)律，變形也有各自獨立的分布規(guī)律，即

圖7 卸載階段的等效質(zhì)量-彈簧-阻尼模型Fig. 7 Equivalent mass-spring-damper model in unloading phase

邊界處旋轉(zhuǎn)角度

1.5 外力功等效

1.6 質(zhì)量等效

根據(jù)SDOF 模型，動能與圓板動能相等，求解等效質(zhì)量

針對變形的不同階段，分析其應(yīng)力狀態(tài)，求出SDOF 模型的等效載荷、等效質(zhì)量、等效剛度、等效抗力，代入SDOF 模型的運動方程進行求解，通過多個階段的疊加，可以得到固支彈塑性圓板在空爆作用下的完整動態(tài)響應(yīng)。

2 有限元數(shù)值模擬

基于高強度圓形鋼板空中近爆試驗工況[12]，建立有限元模型，進行數(shù)值模擬計算，并與試驗結(jié)果[12]對比，驗證有限元模擬結(jié)果的有效性。

試驗中使用球形TNT 裸裝藥，從炸藥中心點起爆。靶板由上下壓板夾緊固支，上壓板的厚度為50 mm，下壓板的厚度為80 mm，靶板與上下壓板的尺寸均為 1 .5 mm×1.5 m，靶板受空爆載荷作用的范圍為半徑0.5 m 的圓。試驗布置見圖8。

圖8 試驗布置Fig. 8 Test setup

試驗工況如表1 所示。

表1 3 種高強度鋼的試驗參數(shù)[12]Table 1 Test parameters of three kinds of high strength steel[12]

按照試驗工況，通過顯式有限元動力分析軟件LS-DYNA 建立有限元模型，對TNT 爆炸沖擊波在空氣中的傳播及其與固支圓板的相互作用進行模擬。空氣和上下壓板采用六面體網(wǎng)格劃分，壓板采用剛體材料模型描述，靶板采用二維網(wǎng)格劃分，基于任意拉格朗日-歐拉（arbitrary Lagrangian-Eulerian，ALE）算法進行數(shù)值模擬分析。圖9 為有限元模型示意圖。各工況下模擬得到的中心點位移-時間曲線如圖10 所示。

圖9 有限元模型Fig. 9 Finite element model

圖10 各工況下有限元數(shù)值模擬得到的中心點位移-時間曲線Fig. 10 Displacement-time curves of center point by finite element simulation under various calculation cases

數(shù)值模擬計算得到的靶板中心點最大位移和最終位移與試驗結(jié)果的對比如表2 所示。所有工況下有限元數(shù)值模擬結(jié)果與試驗結(jié)果的相對誤差均在10%以內(nèi)，說明有限元模擬的空中近爆作用下固支圓板的變形結(jié)果與試驗結(jié)果較吻合。

表2 各工況下試驗與有限元模擬得到的中心點位移對比Table 2 Comparison of center point displacements between test and finite element simulation under various calculation cases

3 動力學(xué)模型驗證

根據(jù)有限元計算結(jié)果，選取6 和10 kg TNT 空爆作用于圓板時距圓心0～0.5 mm 范圍的峰值壓力載荷，擬合得到的峰值壓力分布函數(shù)如圖11 所示。

圖11 峰值壓力點及其擬合函數(shù)Fig. 11 Peak pressure points and fitting functions

將擬合出的函數(shù)代入式 (2) 得 到等效均勻載荷峰值，并代入式 (61) 可 得等效均勻載荷p(t)。經(jīng)過擬合，得到ta=0，b=1，td=5×10-4s，6 和10 kg TNT 空爆下的等效均勻峰值壓力分別為48.3 和83.7 MPa。

以工況1 為例，通過計算WPM、WPB、WPNM，可將變形過程分為5 個階段。

(1) 階段1（0～WPM）

在此階段，整個圓板均未屈服，完全處于彈性狀態(tài)，將等效載荷、等效質(zhì)量、等效剛度、等效抗力代入運動方程

由此，通過多個階段的疊加可以得到工況1 時固支彈塑性圓板在空爆作用下的完整動態(tài)響應(yīng)。分別計算6 種工況下彈塑性圓板中心點位移隨時間的變化曲線，并與數(shù)值模擬得到的圓板中心點撓度進行對比，如圖12 所示。從圖12 可以看出，在相同當(dāng)量的爆炸載荷作用下，彈塑性圓板材料的屈服強度越高，其中心點的最大位移和最終位移越小。這是由于材料的屈服強度越高，圓板加載后期的等效剛度和等效抗力越大，中心點速度衰減得越快，從而導(dǎo)致中心點的最大位移和最終位移越小。近爆條件下固支彈塑性圓板的變形過程受多種因素的影響，因此，有限元數(shù)值模擬得到的彈塑性圓板中心點位移隨時間變化曲線不是振幅逐漸衰減的理想的簡諧振動曲線。

圖12 各工況下動力學(xué)模型計算結(jié)果與試驗及有限元數(shù)值模擬結(jié)果的對比Fig. 12 Comparison of dynamic model results with test and finite element simulation results under various cases

通過動力學(xué)模型計算各個工況的中心點位移，并與試驗結(jié)果進行對比，結(jié)果如表3 所示。從表3可以看出，6 種工況下SDOF 模型計算結(jié)果與試驗結(jié)果之間的誤差表現(xiàn)出相似的趨勢，即計算得到的圓板中心點最大位移相對于試驗值偏小，而最終位移相對于試驗值偏大，導(dǎo)致這些誤差的原因可能有以下3 方面：(1) SDOF 模型采用固支邊界條件，然而在試驗中很難實現(xiàn)對靶板的理想剛性約束，往往會在邊界處產(chǎn)生一定的滑移，另外，多次爆炸沖擊作用后，試驗臺架的約束作用不可避免地減弱，導(dǎo)致試驗測量的中心點最大位移偏大；(2) 試驗中空爆載荷并非均勻載荷，爆轟產(chǎn)物首先作用于圓板中心，隨后逐漸向周圍擴散，且圓板的實際變形過程并非嚴(yán)格遵循形函數(shù)，導(dǎo)致動力學(xué)模型計算得到的中心點最大位移小于實際最大位移；(3) 由于實際的金屬材料存在不同程度的應(yīng)變強化效應(yīng)和應(yīng)變率效應(yīng)，而動力學(xué)模型將材料簡化為理想彈塑性本構(gòu)模型，計算出的等效抗力偏小，導(dǎo)致求解的中心點最終位移相對于試驗位移偏大。

表3 各工況下動力學(xué)模型計算結(jié)果與試驗結(jié)果的對比Table 3 Comparison between dynamic model results and test results under various cases

將動力學(xué)模型計算的中心點最終位移代入式 (3)，得到靶板變形后的輪廓線，并與試驗輪廓線進行對比，結(jié)果如圖13 所示。從圖13 可以看出，各工況下動力學(xué)模型計算得到的靶板輪廓線與試驗結(jié)果擬合較好，因此，式 (3)可以較好地描述空中近爆作用下固支圓板的變形輪廓。

圖13 各工況下動力學(xué)模型與試驗得到的靶板輪廓線的對比Fig. 13 Comparison of circular plate deformations between dynamic model and test under various cases

總的來說，動力學(xué)模型計算的中心點位移與試驗結(jié)果的最大相對誤差未超過15%，符合工程模型的誤差要求，可為結(jié)構(gòu)抗爆設(shè)計提供快速算法。

4 結(jié) 論

(1) 通過6 種工況的對比分析可知，等效SDOF 模型計算結(jié)果與試驗及數(shù)值模擬結(jié)果的偏差在合理范圍內(nèi)，采用等效SDOF 方法可以較準(zhǔn)確地預(yù)測空爆載荷作用下固支圓板的變形情況?？紤]到SDOF模型的計算效率比有限元數(shù)值模擬的計算效率高，因此，本研究發(fā)展的單自由度方法可為裝甲車輛防爆結(jié)構(gòu)設(shè)計提供技術(shù)支撐。

(2) 質(zhì)量-彈簧-阻尼模型的計算結(jié)果是振幅逐漸衰減的簡諧振動曲線。然而，由于固支圓板的實際運動過程受多種因素影響，如試驗中很難做到剛性約束，臺架多次爆炸沖擊后難免有變形，邊界約束能力減弱等，實際鋼板變形并非嚴(yán)格按照形函數(shù)發(fā)生，并且實際材料并非理想的彈塑性，存在不同程度的應(yīng)變強化效應(yīng)和應(yīng)變率效應(yīng)，因此，SDOF 模型對系統(tǒng)固有頻率和振幅的估計存在一定誤差。

(3) 如果將固支圓板看作一個系統(tǒng)，空爆載荷視為系統(tǒng)的輸入，固支圓板上各點發(fā)生的振動視為系統(tǒng)的輸出，那么，系統(tǒng)動力響應(yīng)分析的準(zhǔn)確與否不僅取決于系統(tǒng)描述的準(zhǔn)確性，同時還取決于輸入載荷描述的準(zhǔn)確性。由于精確描述近場爆炸載荷十分困難，因此，通過LS-DYNA 分析結(jié)果擬合得到作用在圓板上的爆炸載荷是一種可行的方法。當(dāng)然，改善爆炸載荷模型精度的方法都有益于提升本研究所建立的SDOF 模型的預(yù)測結(jié)果。