帶混合保費(fèi)和投資復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型的生存概率

黃鴻君，覃利華

（1.廣西民族師范學(xué)院 教育科學(xué)學(xué)院，廣西 崇左 532200；2.廣西民族師范學(xué)院 數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，廣西 崇左 532200）

在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中，理賠過(guò)程為單一險(xiǎn)種的風(fēng)險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)過(guò)程，但隨著保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大以及新險(xiǎn)種的不斷開(kāi)發(fā)，用單一險(xiǎn)種的風(fēng)險(xiǎn)模型來(lái)描述風(fēng)險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)過(guò)程是有一定局限性的，因此有必要對(duì)復(fù)合Poisson 模型進(jìn)行推廣，將單一險(xiǎn)種推廣為雙險(xiǎn)種。此外，經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型假設(shè)保險(xiǎn)公司在單位時(shí)間內(nèi)收到的保費(fèi)是某一固定常數(shù)，但是保險(xiǎn)公司在實(shí)際業(yè)務(wù)中，在單位時(shí)間內(nèi)還會(huì)收到不同保費(fèi)的保單，這是服從某一分布的隨機(jī)變量。為了改進(jìn)和優(yōu)化經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型，文獻(xiàn)[1]研究了一類(lèi)常利率下帶干擾且保費(fèi)隨機(jī)的復(fù)合風(fēng)險(xiǎn)模型的生存概率所滿足的積分微分方程。文獻(xiàn)[2]研究常利率下保費(fèi)收入為復(fù)合Poisson過(guò)程，而理賠次數(shù)為復(fù)合Poisson-Geometric 過(guò)程的風(fēng)險(xiǎn)模型，得到生存概率所滿足的積分方程及其在指數(shù)分布下的具體表達(dá)式。文獻(xiàn)[3]研究一種索賠到達(dá)服從復(fù)合Poisson-Geometric 過(guò)程的二維風(fēng)險(xiǎn)模型，得到該模型的生存概率所滿足的積分微分方程。文獻(xiàn)[4]考慮常利率下存在紅利界限和隨機(jī)干擾的風(fēng)險(xiǎn)模型，得到生存概率和紅利付款的期望現(xiàn)值分別滿足的積分微分方程。文獻(xiàn)[5]建立以保費(fèi)收入服從復(fù)合Poisson 過(guò)程，理賠量服從復(fù)合Poisson-Geometric 過(guò)程的帶投資的干擾風(fēng)險(xiǎn)模型，推導(dǎo)了生存概率的積分微分方程及在保費(fèi)額和理賠量都服從指數(shù)分布下的微分方程。文獻(xiàn)[6]考慮了確定風(fēng)險(xiǎn)投資和有界分紅的復(fù)合Poisson-Geometric 風(fēng)險(xiǎn)模型，得到期望累積紅利現(xiàn)值函數(shù)所滿足的微積分方程。文獻(xiàn)[7]討論借貸利率的影響，建立了帶有干擾的雙Poisson-Geometric 的風(fēng)險(xiǎn)模型，得到無(wú)限時(shí)和有限時(shí)的相應(yīng)微積分方程。文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]均是對(duì)Poisson-Geometric 風(fēng)險(xiǎn)模型做進(jìn)一步推廣，保費(fèi)到達(dá)和索賠到達(dá)均采用Poisson-Geometric 過(guò)程，建立相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)模型，給出保費(fèi)和索賠均服從指數(shù)分布時(shí)破產(chǎn)概率的具體形式。

本研究在以上工作的基礎(chǔ)上對(duì)文獻(xiàn)[5]的模型進(jìn)行推廣，增加了固定保費(fèi)收入并把單險(xiǎn)種推廣為雙險(xiǎn)種，從而建立了保費(fèi)收取為固定保費(fèi)和隨機(jī)保費(fèi)并且?guī)в型顿Y收益復(fù)合Poisson-Geometric 過(guò)程的雙險(xiǎn)種模型，其中，固定保費(fèi)服從線性增長(zhǎng)過(guò)程，隨機(jī)保費(fèi)服從復(fù)合Poisson 分布，索賠過(guò)程均服從Poisson-Geometric計(jì)數(shù)過(guò)程。研究的目的是推導(dǎo)生存概率所滿足的積分微分方程以及當(dāng)保費(fèi)、理賠過(guò)程服從特定指數(shù)分布時(shí)所滿足的微分方程。本文將模型進(jìn)行了推廣，隨著險(xiǎn)種的多元化，應(yīng)用全期望公式與積分變換公式推導(dǎo)生存概率的積分微分方程。相比原模型，一是分類(lèi)情況增多，每個(gè)類(lèi)別進(jìn)行了一一討論；二是推導(dǎo)證明的復(fù)雜程度增加，利用線性運(yùn)算進(jìn)行了推導(dǎo)化簡(jiǎn)整理。

本研究的內(nèi)容結(jié)構(gòu)如下：第1 節(jié)為模型的建立及介紹，第2 節(jié)為研究的主要結(jié)論及證明過(guò)程，第3 節(jié)為結(jié)論。

1 模型的建立及介紹

定義1 在概率空間(Ω, F,P)上，定義保險(xiǎn)公司盈余過(guò)程為

并且θ＞0（當(dāng)θ≤0時(shí)，必然會(huì)發(fā)生破產(chǎn)）。

定義2 破產(chǎn)時(shí)刻為T(mén)= inf{t:t≥0,U(t) ＜0}(infφ= ∞)，破產(chǎn)概率為ψ(u) = Pr(T＜∞|U(0) =u)，生存概率為φ(u) = 1 -ψ(u)。

2 主要結(jié)論及證明

證明：時(shí)間dt足夠小時(shí)，結(jié)合引理1，在時(shí)間段（0，dt]內(nèi)有下面5種情況：

（1）當(dāng)隨機(jī)保費(fèi)收取，兩類(lèi)索賠發(fā)生次數(shù)均為0時(shí)，事件發(fā)生的概率為

在式（13）中，令η→∞，由引理2易知φ(∞) = 1，即φ′(∞) = 0。則

式（16）乘以(-α)加式（17），并化簡(jiǎn)得

定理得證。

3 結(jié)論

考慮到保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)過(guò)程中會(huì)受到不確定隨機(jī)干擾因素的影響以及保費(fèi)的隨機(jī)化和險(xiǎn)種的多元化，本文建立了混合保費(fèi)收取下帶有隨機(jī)干擾因素和投資復(fù)合Poisson-Geometric 過(guò)程的雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型，其更符合實(shí)際應(yīng)用背景。最終推導(dǎo)了該模型生存概率所滿足的積分微分方程，并且當(dāng)保費(fèi)、理賠過(guò)程服從特定指數(shù)分布時(shí)，得到其滿足的微分方程。本模型還可以繼續(xù)推廣，增加分紅、利率等隨機(jī)的干擾因素，這需要進(jìn)一步研究。