一般壟斷下廠商最優(yōu)和社會最優(yōu)的動態(tài)優(yōu)化比較

宋建朋 鐘根元 陳志洪

(上海交通大學 安泰經(jīng)濟與管理學院，上海 200030)

0 引言

隨著社會生產(chǎn)力的發(fā)展和人民生活水平的提高，消費者對商品的購買力也在不斷提高。這為制造業(yè)廠商帶來了更大的市場，同時也對商品質(zhì)量和性價比提出了更高的要求。廠商如何進行生產(chǎn)決策，來獲得更高的收益、耗費更小的成本是一個值得研究的問題。一方面，一種商品的競爭力越來越多地依賴消費者對其質(zhì)量、功能、商譽、售后服務等諸多因素的評價，而這些因素的提高，需要企業(yè)持續(xù)進行技術(shù)創(chuàng)新投入；另一方面，通過改進生產(chǎn)技術(shù)、科學地進行生產(chǎn)管理，即過程創(chuàng)新，企業(yè)可以顯著降低商品的生產(chǎn)成本。這兩種方式都可以增加企業(yè)的生產(chǎn)者剩余，是市場經(jīng)濟中提高企業(yè)利潤的重要手段。每個創(chuàng)新型企業(yè)都會兼顧這兩方面的投資，而協(xié)調(diào)這兩方面的投入，使得企業(yè)利潤或社會福利達到最大化，本質(zhì)上是一個動態(tài)優(yōu)化的問題。

由于研究方法和模型的差異，長時間以來，研究人員對于兩種創(chuàng)新方式的關系有比較大的爭論。早期，Utterback和Abernathy(1975)研究了一個企業(yè)在特定生產(chǎn)過程的發(fā)展狀態(tài)和其選擇的競爭模式下產(chǎn)品創(chuàng)新和過程創(chuàng)新之間的關系。Martinez(1999)、Mantovani(2006)等人的研究表明產(chǎn)品創(chuàng)新和過程創(chuàng)新之間存在互補的關系。但并不是所有的研究都支持這一觀點，Lanbertini和Orsini(2015)認為企業(yè)是獨立進行產(chǎn)品創(chuàng)新和過程創(chuàng)新投入決策的。Rosenkranz(2003)的研究表明，在競爭強度較低時，企業(yè)只會采取產(chǎn)品創(chuàng)新，而Weiss(2003)卻提出了相反的看法，他認為在競爭強度較高時，企業(yè)會有逃離競爭的激勵，去投入產(chǎn)品創(chuàng)新。Adner和Levinthal(2001)指出企業(yè)會根據(jù)市場特征決定如何投入產(chǎn)品創(chuàng)新和過程創(chuàng)新。

隨著動態(tài)模型研究的不斷深入，越來越多的決策因素和市場模型正在被廣泛研究。Becker和Egger(2013)研究了技術(shù)創(chuàng)新和過程創(chuàng)新對企業(yè)出口傾向的影響；Lanbertini和Mantovani(2009)研究了多產(chǎn)品壟斷廠商的產(chǎn)品、過程創(chuàng)新的互補關系；Hasnas、Lambertini和Palestini(2014)研究了開放式創(chuàng)新環(huán)境中寡頭企業(yè)的決策；Zhong和Zhang(2017)研究了企業(yè)對產(chǎn)品創(chuàng)新、過程創(chuàng)新投入與知識積累和折舊的關系。

雖然目前研究人員關于產(chǎn)品創(chuàng)新和過程創(chuàng)新已經(jīng)有了很多的發(fā)現(xiàn)，但是很少有文章會涉及企業(yè)最優(yōu)決策的定量研究，而最優(yōu)決策的定量研究無疑可以給合理決策提供很有說服力的參考。所以，本文在保留傳統(tǒng)研究內(nèi)容的基礎上，希望通過求解最優(yōu)決策表達式，給決策方提供更加精確的參考和幫助，并且結(jié)合決策路徑的表達式，直觀地分析一些因素對于決策的影響?？偨Y(jié)來說，本文的主要貢獻在于：(1)求解出一般壟斷市場下企業(yè)最優(yōu)和社會最優(yōu)時的廠商決策最優(yōu)路徑；(2)證明了一般壟斷市場在動態(tài)條件下和靜態(tài)條件下具有相同的結(jié)論，更接近一般實際；(3)考察了利率、企業(yè)初始值等因素對企業(yè)決策的影響。

本文的第一部分，對廠商最優(yōu)的生產(chǎn)決策進行了求解，并考察了利率、廠商初始值等一些外生變量對結(jié)果的影響；第二部分求解了社會最優(yōu)時的生產(chǎn)決策，并對兩者進行了對比，得到了與靜態(tài)模型相同的結(jié)論，證明了動態(tài)過程是靜態(tài)模型更接近實際的推廣；第三部分討論了利率和變量的初始值對企業(yè)決策的影響。

1 一般壟斷廠商最優(yōu)決策

根據(jù)Pan和li(2016)關于商品需求的理論，商品的銷量隨著質(zhì)量的提高而增加。商品的質(zhì)量越高，消費者對它的評價就越高，需求就會越高。據(jù)此可以假設反需求函數(shù)具有如下形式：

p=a1+a2q-a3x

(1)

在這里，本文只引入了一個質(zhì)量變量來影響價格，而在實際市場中，可能存在很多影響價格的因素，如商譽或是售后服務等。零售商可以通過廣告等營銷手段提高它的商譽，或是通過具有吸引力的售后服務來吸引消費者。這些措施都可以提高產(chǎn)品的市場需求，并且它們之間可能存在互補或是替代關系。但這些策略的研究方法和結(jié)論是類似的，為了簡化模型，本文只引入一個質(zhì)量變量，并且設它和需求的關系為線性。

根據(jù)Lanbertini和Orsini(2015)的理論，對于企業(yè)來說，可以通過投入產(chǎn)品創(chuàng)新，以提高產(chǎn)品的科技含量、功能或是感官體驗來提高消費者對產(chǎn)品的評價。但隨著時間的推移，新技術(shù)的產(chǎn)生使得這些因素變得不那么流行，類似于一種質(zhì)量“折舊”。所以，企業(yè)的產(chǎn)品創(chuàng)新變化由下式?jīng)Q定：

q=k1-δq

(2)

其中，k1是廠商的產(chǎn)品創(chuàng)新投入。另一方面，企業(yè)通過過程創(chuàng)新來降低平均成本，帶來更多的生產(chǎn)者剩余。但企業(yè)的生產(chǎn)成本也會隨著設備的老化等問題隨時間逐漸上升，所以生產(chǎn)成本的變化函數(shù)為：

c=-k2-ηc

(3)

式中，k2是廠商的過程創(chuàng)新投入。企業(yè)投入技術(shù)創(chuàng)新和過程創(chuàng)新所帶來的成本是：

(4)

成本正比于技術(shù)投入水平的二次方，是因為這兩項投入帶來的邊際收益是遞減的。對于一個特定的廠商，給定決策變量產(chǎn)品創(chuàng)新投入k1、過程創(chuàng)新投入k2、狀態(tài)變量質(zhì)量q、生產(chǎn)成本c的初始值k10、k20、q0和c0，模型的最決策優(yōu)路徑就固定下來。接下來對變量的路徑進行求解。

企業(yè)每個時期的利潤為銷售額減去生產(chǎn)成本和創(chuàng)新的投入成本：

(5)

設利率為r(t),為了簡化模型，可以假設利率在較長時間內(nèi)保持穩(wěn)定，即r(t)=r,由Chenavaz(2012)關于企業(yè)利潤流最大化要求的研究可知：

(6)

所以，當期漢密爾頓函數(shù)為：

(7)

根據(jù)最優(yōu)化的一階條件，以及乘子方程可以列出：

(8)

聯(lián)立此微分方程組和式(2)、(3)，得到一個七元的一階線性非齊次微分方程組。其中，未知數(shù)為控制變量k1、k2、x，狀態(tài)變量q、c和共態(tài)變量m1、m2。而a1、a2、a3、α、β、δ、η是常數(shù)，其數(shù)值可以根據(jù)行業(yè)的統(tǒng)計信息求得。

利用常數(shù)變異法進行推導，可以得到控制變量和狀態(tài)變量的最終解為

其中，k10、k20、q0、c0是對應變量的初始值，λ、f、g分別由式(10)～(13)決定：

μ1λ4+μ2λ3+μ3λ2+μ4λ+μ5=0

(9)

參數(shù)部分的含義如下：

(10)

(11)

(12)

將q和x代入式(1)得到價格的表達式為：

(13)

為了簡化過于復雜的表達式及結(jié)果，可以將解析式里的常數(shù)取一些典型的數(shù)值。如前文所述，數(shù)值的選取取決于具體行業(yè)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，參考Lambertini和Mantovani(2009)、Hatch和Mowery(1998)、嚴海寧和朱勁松(2008)的研究成果得到表1的數(shù)據(jù):

表1 數(shù)值計算的參數(shù)取值

取變量的初始值均為0.01，得到：f=0.2724，g=1.1642

結(jié)論1：廠商最優(yōu)的條件下，模型的解存在一個具有穩(wěn)定性的鞍點均衡。

由式(9)，代入數(shù)據(jù)后，利用matlab求解得的四個值為：

λ1=0.1000+0.5907i

λ2=0.1000+0.5907i

λ3=0.2630+0.0000i

λ4=-0.0630+0.0000i

因為只存在一個具有負實部的解，說明在此情況下，企業(yè)存在一個鞍點均衡。但是解的情況依賴于參數(shù)的選取，當參數(shù)變化時，需要代入此式求解進行穩(wěn)定性的驗證。

根據(jù)上文所述的過程，得到了控制變量、決策變量關于時間的完整表達式，據(jù)此畫出變量路徑的圖像(見圖1～6)：

圖1 產(chǎn)品創(chuàng)新最優(yōu)路徑

圖2 過程創(chuàng)新最優(yōu)路徑

圖3 產(chǎn)量最優(yōu)路徑

圖4 產(chǎn)品價格最優(yōu)路徑

可以定義變量在完成95%的改變量時基本達到穩(wěn)態(tài)，也就是圖5中所對應的第48單位時間。

圖5 產(chǎn)品質(zhì)量最優(yōu)路徑

結(jié)論2：在壟斷廠商最優(yōu)條件下，廠商對產(chǎn)品創(chuàng)新和過程創(chuàng)新的投入之間存在互補關系。

圖6 產(chǎn)品成本最優(yōu)路徑

證明：將決策變量對時間求導，得

代入數(shù)據(jù)得

可以看到，產(chǎn)品創(chuàng)新和過程創(chuàng)新的投入均隨時間而增加，即在最優(yōu)決策時，隨著產(chǎn)品創(chuàng)新投入的增加，需要搭配更多的過程創(chuàng)新，反之亦然。所以兩種創(chuàng)新方式具有互補效應，與Mantovani(2006)的研究結(jié)果相符。進一步地，由

可知在本文的模型條件下，k1、k2的技術(shù)替代率為定值，企業(yè)對兩種技術(shù)創(chuàng)新追加的投資是成比例的。

2 社會最優(yōu)決策

(14)

列出當期漢密爾頓函數(shù)：

(15)

沿用上節(jié)的解法，解出變量的最優(yōu)路徑為

(16)

λ2、f2、g2分別由式(17)～(19)決定:

ρ1λ4+ρ2λ3+ρ3λ2+ρ4λ+ρ5=0

(17)

其中：

(18)

(19)

(20)

代入數(shù)據(jù)得λ2=-0.064，f2=0.2363，g2=1.1372。

結(jié)論3：在動態(tài)的一般壟斷市場情況下，社會最優(yōu)和企業(yè)利益最大化具有和靜態(tài)模型相同的結(jié)論，即社會最優(yōu)時產(chǎn)品的供給量較高，價格較低，且等于生產(chǎn)成本。證明如下：

將式(16)中x的表達式代入需求函數(shù)，得到

p=(c0-g2)eλ2t+g2=c

(21)

即在社會最優(yōu)條件下，廠商對產(chǎn)品的定價等于成本。代入數(shù)據(jù)，可以得到價格和產(chǎn)量的路徑，并和廠商利潤最大化做比較(見圖7、8)：

圖7 廠商最優(yōu)和社會最優(yōu)的產(chǎn)品數(shù)量對比

圖8 廠商最優(yōu)和社會最優(yōu)的產(chǎn)品價格對比

可以看出，在社會最優(yōu)條件下，產(chǎn)品的價格更低，產(chǎn)量更高，此時消費者具有更高的福利水平。這和靜態(tài)一般壟斷模型的結(jié)論是相同的。

3 利率和初始值對決策的影響

決策變量的表達式中折舊和比例常數(shù)等參數(shù)一般是經(jīng)濟的外生變量，是企業(yè)難以控制并且相對穩(wěn)定的。利率不僅在很大程度上被政府作為工具來使用，而且對企業(yè)的投資決策具有重大影響，所以比較具有研究意義。在本文的模型中，利率不僅影響了企業(yè)的利潤水平，同時通過影響λ的值，影響了企業(yè)達到穩(wěn)態(tài)的時間：

由式(23)、(24)可求出，為保證穩(wěn)態(tài)時決策變量值為正，即

前文研究了r=0.2水平下的模型，下文通過研究r變化時企業(yè)利潤最大化決策中產(chǎn)量和價格的變化，來說明利率對企業(yè)決策的影響。利率對企業(yè)其他決策、狀態(tài)變量也有類似的影響，限于篇幅暫不做討論。

根據(jù)式(22)作出r-λ圖像：

由圖9可知，在r從0.12增加的過程中，λ也單調(diào)增加，且恒為負，所以產(chǎn)量x和價格p的表達式為

圖9 r-λ關系

結(jié)論4：隨著利率絕對值的減少，到達穩(wěn)態(tài)所需時間將會增加，即利率越高，企業(yè)決策調(diào)整的周期越長。

從經(jīng)濟學角度直觀地解釋，利率的增加使得投入技術(shù)創(chuàng)新資金的機會成本升高，企業(yè)將會降低創(chuàng)新力度，緩慢地革新技術(shù)。初始值對企業(yè)決策的影響，可以從變量的表達式來分析，限于篇幅，本文只討論產(chǎn)品創(chuàng)新和過程創(chuàng)新的初始值對相應企業(yè)決策的影響。

由k1的表達式k1=(k10-δf)eλt+δf，可知：

結(jié)論5：當k10<δf時，k1會逐漸增加，即企業(yè)應逐步增加產(chǎn)品創(chuàng)新的投入。

這是因為產(chǎn)品質(zhì)量“折舊效應”造成了消費者保留價格下降，它帶來的利潤損失大于企業(yè)“節(jié)省”的技術(shù)投入費用。此時，企業(yè)增加過程創(chuàng)新的投入是有利的，因為投入過程創(chuàng)新所帶來的利潤將比技術(shù)投入的費用更加可觀。

同理，由k2的表達式k2=(k20-ηg)eλt+ηg，可知：

結(jié)論6：當K20<ηg時，企業(yè)應該增加過程創(chuàng)新的投入。

與產(chǎn)品創(chuàng)新的原理相同，這是因為過程創(chuàng)新的成本項(資金的機會成本)小于利潤項(成本下降帶來的利潤上升)，所以此時企業(yè)需要增加過程創(chuàng)新的投資。

4 總結(jié)

本文對具有產(chǎn)品創(chuàng)新和過程創(chuàng)新的一般壟斷市場的動態(tài)最優(yōu)決策進行了求解。與已有的動態(tài)模型相比，本文的主要貢獻在于研究方法上的創(chuàng)新。通過求解完整的動態(tài)決策路徑，不僅驗證了兩種創(chuàng)新方式的互補關系，得到了和Mantovani等人相同的結(jié)論，也比較了社會福利最大化和企業(yè)利潤最大化的不同決策，取得了與靜態(tài)模型相同的結(jié)論，說明動態(tài)模型是靜態(tài)模型更實際的推廣。同時，作為應用，本文討論了一些參數(shù)如利率和變量的初始值對企業(yè)決策的影響，這也是目前的動態(tài)研究中很少涉及的部分。本文的局限性在于所研究的一般壟斷市場只是一個簡化了的模型，在現(xiàn)實社會中并不常見。在今后的研究將著力對更符合現(xiàn)實的復雜市場模型進行描述和分析求解，以期得到更有價值的發(fā)現(xiàn)。